Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Non-linear dynamics
Tok studiów:
2013/2014
Kod:
JCS-2-305-CM-s
Wydział:
Fizyki i Informatyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Computer Methods in Science and Technology
Kierunek:
Applied Computer Science
Semestr:
3
Profil kształcenia:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Angielski
Forma i tryb studiów:
Stacjonarne
Osoba odpowiedzialna:
prof. dr hab. Kułakowski Krzysztof (kulakowski@fis.agh.edu.pl)
Osoby prowadzące:
prof. dr hab. Kułakowski Krzysztof (kulakowski@fis.agh.edu.pl)
Krótka charakterystyka modułu

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Powiązania z EKK Sposób weryfikacji efektów kształcenia (forma zaliczeń)
Wiedza
M_W001 Student zna podstawowe pojęcia z zakresu jakościowej analizy nieliniowych równań różniczkowych i rozumie pytania i problemy sformułowane przy użyciu tych pojęć Aktywność na zajęciach,
Kolokwium
M_W002 Student zna podstawowe pojęcia z zakresu jakościowej analizy równań iteracyjnych i rozumie pytania i problemy sformułowane przy użyciu tych pojęć Aktywność na zajęciach,
Kolokwium
Umiejętności
M_U001 Student umie zastosować do układów nieliniowych podstawowe narzędzia matematyczne: metoda izoklin, formy Jordana, teoria bifurkacji Kolokwium
M_U002 Student umie zastosować do nieliniowych układów iteracyjnych podstawowe narzędzia matematyczne: największy wskaźnik Lapunowa, wymiar fraktalny atraktora Kolokwium
Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Forma zajęć
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Inne
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
E-learning
Wiedza
M_W001 Student zna podstawowe pojęcia z zakresu jakościowej analizy nieliniowych równań różniczkowych i rozumie pytania i problemy sformułowane przy użyciu tych pojęć + - - - - - - - - - -
M_W002 Student zna podstawowe pojęcia z zakresu jakościowej analizy równań iteracyjnych i rozumie pytania i problemy sformułowane przy użyciu tych pojęć + - - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Student umie zastosować do układów nieliniowych podstawowe narzędzia matematyczne: metoda izoklin, formy Jordana, teoria bifurkacji - + - - - - - - - - -
M_U002 Student umie zastosować do nieliniowych układów iteracyjnych podstawowe narzędzia matematyczne: największy wskaźnik Lapunowa, wymiar fraktalny atraktora - + - - - - - - - - -
Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład:

1. Elementarne metody analizy zagadnień dwuwymiarowych
(Elementary methods of analysis of 2-dimensional problems)
• Stabilność punktu stałego (Stability of fixed points)
• Linearyzacja, formy Jordana (Linearization, Jordan forms)
• Całka ruchu, izokliny, portret fazowy (Constant of motion, isoclines, phase portrait)
• Metoda przybliżona znajdowania trajektorii w pobliżu punktu stałego (Approximated calculation of trajectories near a fixed point)

2. Wybrane metody jakościowe (selected qualitative methods)

• Funkcja Lapunowa i jej zastosowanie. Funkcja ograniczająca (Lyapunov function and her applications. Bounding function)
• Diagram Tr-Det (Diagram Determinant-Trace)
• Podprzestrzeń niezmiennicza (Invariant manifold)
• Typy punktów stałych (Types of fixed points)
• Indeksy Poincare i ich własności (poincare indices and their properties)
• Test dywergencji. Kryterium Dulaca (Divergence test. Dulac criterion)
• Twierdzenie Poincare-Bendixona (Poincare-Bendixon theorem)
• Symbole Landaua (Landau symbols)
• Rezonanse (Resonances)
• Twierdzenie Poincare o linearyzacji (Poincare theorem on linearization)

3. Przybliżone metody analityczne (Approximated analytical methods)

• Rachunek zaburzeń (Perturbation calculus)
• Metoda dwóch skal czasu (Method of two time scales)

4. Bifurkacje w równaniach różniczkowych (Bifurcations in differentia equations)

• Bifurkacja siodło-węzeł (Saddle-node bifurcation)
• Bifurkacja transkrytyczna (Transcritical bifurcation)
• Bifurkacja typu widły (Pitchfork bifurcation)
• Bifurkacja Hopfa (Hopf bifurcation)

5. Bifurkacje w równaniach iteracyjnych (Bifurcations in difference equations)

• Stabilność punktu stałego w równaniach iteracyjnych (Stability of fixed points in difference equations)
• Bifurkacje w równaniach iteracyjnych (Bifurcations in difference equations)
• Bifurkacja podwojenia okresu (Period-doubling bifurcation)
• Równanie logistyczne (Logistic equation)

6. Elementy dynamiki symbolicznej (Elements of symbolic dynamics)

• Porządek Szarkowskiego (Sharkovskii ordering)
• Cykle superstabilne (Superstable cycles)
• Technika Word Lifting (Word Lifting technique)
• Uniwersalność strukturalna (Structural universality)
• Jęzory Arnolda (Arnold tongues)
• Drzewo Farey i diabelskie schody (Farey tree and devil staircases)

7. Analiza danych (Data analysis)

• Wymiar fraktalny (Fractal dimension)
• Wskaźniki Lapunowa. Hipoteza Li-Yorke (Lyapunov indices. Li-Yorke conjecture)
• Eksperyment FPU (Experiment Fermi-Pasta-Ulam)
• Miara niezmiennicza. Równanie Frobeniusa-Perrona (Invariant measure. Frobenius-Perron equation)
• Funkcja korelacji (Correlation function)
• Przesunięcie Bernoulliego (Bernoulli shift)
• Mieszanie (Mixing)
• Dyfuzja deterministyczna (Deterministic diffusion)
• Analiza R/S. Prawo Hursta (R/S analysis. Hurst law)
• Multifraktale (Multifractals)

Ćwiczenia audytoryjne:

1. Metody badania układów dynamicznych z czasem ciągłym
Efekty kształcenia:
Student potrafi skonstruować portret fazowy
Student potrafi zidentyfikować punkty stałe i określić ich stabilność
Student potrafi użyć form normalnych do formalnego zapisu rozwiązania
2-wym. równania liniowego
Student potrafi określić całkę ruchu
Student potrafi zastosować funkcję Lapunowa
Student potrafi zastosować kryterium Dulaca
Student potrafi zastosować rachunek zaburzeń
Student potrafi zidentyfikować bifurkacje w układzie
2. Metody badania układów dynamicznych z czasem dyskretnym
Efekty kształcenia:
Student potrafi zidentyfikować punkty stałe i określić ich stabilność
Student potrafi zidentyfikować bifurkacje w układzie
Student potrafi obliczyć numerycznie największy wykładnik Lapunowa
Student potrafi obliczyć numerycznie wymiar fraktalny atraktora metodą pudełkową

Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 80 godz
Punkty ECTS za moduł 3 ECTS
Udział w wykładach 30 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 15 godz
Udział w ćwiczeniach audytoryjnych 15 godz
Przygotowanie do zajęć 20 godz
Pozostałe informacje
Sposób obliczania oceny końcowej:

Ćwiczenia audytoryjne zakończą się zaliczeniem. Ocena z ćwiczeń będzie ustalane zgodnie ze skalą ocen obowiązującą w regulaminie AGH, przyporządkowującą procent opanowania materiału konkretnej ocenie (Par.13, pkt.1). Nota końcowa będzie notą z ćwiczeń.

Wymagania wstępne i dodatkowe:

Mechanika na poziomie elementarnym (Elementary mechanics)

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

• P. Glendinning, Stability, instability and chaos
• H. G. Schuster, Chaos deterministyczny

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

Nie podano dodatkowych publikacji

Informacje dodatkowe:

I – Sposób i tryb wyrównania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:
Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa. Jeżeli na opuszczonych przez studenta zajęciach było kolokwium, student może nadrobić stracone punkty jeżeli otrzyma wyższą notę z kolokwiów na których się pojawił. Studenci którzy nie uzyskali zaliczenia mogą przystąpić do kolokwium poprawkowego pod koniec semestru.
II – Zasady zaliczania zajęć: ćwiczenia audytoryjnych
Podstawą zaliczenia są oceny z kolokwiów, których 3-4 odbywa się w semestrze. Studenci którzy nie uzyskali zaliczenia mogą przystąpić do kolokwium poprawkowego pod koniec semestru.