Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Algebra
Tok studiów:
2014/2015
Kod:
IIN-1-105-s
Wydział:
Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Informatyka
Semestr:
1
Profil kształcenia:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma i tryb studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Osoba odpowiedzialna:
dr hab. Przybyło Jakub (przybylo@wms.mat.agh.edu.pl)
Osoby prowadzące:
Krótka charakterystyka modułu

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Powiązania z EKK Sposób weryfikacji efektów kształcenia (forma zaliczeń)
Wiedza
M_W001 zna pojęcie liczby zespolonej oraz różnych jej postaci, a także jej interpretację geometryczną, ma wiedzę pozwalającą mu swobodnie działać na liczbach zespolonych, obliczać ich pierwiastki i rozwiązywać równania wielomianowe w dziedzinie zespolonej IN1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W002 ma wiedzę z rachunku wektorowego, ze szczególnym naciskiem na przestrzeń R^n, wie co to podprzestrzeń wektorowa, jej baza, wymiar IN1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W003 ma wiedzę z rachunku macierzowego, pozwalającą mu działać na macierzach, interpretować odwzorowania liniowe i układy równań liniowych poprzez macierze, obliczać wyznaczniki, znajdować macierze odwrotne i stosować te umiejętności do rozwiązywania układów równań liniowych o stałych współczynnikach IN1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W004 ma wiedzę z podstaw geometrii analitycznej w przestrzeni R^3 IN1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W005 zna definicję odwzorowania liniowego, jej macierzy oraz ich podstawowe własności, posiada wiedzę umożliwiającą mu wyznaczanie podprzestrzeni własnych i diagonalizację endomorfizmu oraz macierzy kwadratowej IN1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
Kompetencje społeczne
M_K001 ma świadomość kultury matematycznej; podejmuje starania, aby przekazywać zdobytą wiedzę w sposób powszechnie zrozumiały IN1A_K05 Odpowiedź ustna
Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Forma zajęć
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Inne
E-learning
Wiedza
M_W001 zna pojęcie liczby zespolonej oraz różnych jej postaci, a także jej interpretację geometryczną, ma wiedzę pozwalającą mu swobodnie działać na liczbach zespolonych, obliczać ich pierwiastki i rozwiązywać równania wielomianowe w dziedzinie zespolonej + + - - - - - - - - -
M_W002 ma wiedzę z rachunku wektorowego, ze szczególnym naciskiem na przestrzeń R^n, wie co to podprzestrzeń wektorowa, jej baza, wymiar + + - - - - - - - - -
M_W003 ma wiedzę z rachunku macierzowego, pozwalającą mu działać na macierzach, interpretować odwzorowania liniowe i układy równań liniowych poprzez macierze, obliczać wyznaczniki, znajdować macierze odwrotne i stosować te umiejętności do rozwiązywania układów równań liniowych o stałych współczynnikach - + - - - - - - - - -
M_W004 ma wiedzę z podstaw geometrii analitycznej w przestrzeni R^3 + + - - - - - - - - -
M_W005 zna definicję odwzorowania liniowego, jej macierzy oraz ich podstawowe własności, posiada wiedzę umożliwiającą mu wyznaczanie podprzestrzeni własnych i diagonalizację endomorfizmu oraz macierzy kwadratowej + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 ma świadomość kultury matematycznej; podejmuje starania, aby przekazywać zdobytą wiedzę w sposób powszechnie zrozumiały + - - - - - - - - - -
Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład:
  1. Relacje (3 godz.)

    Podstawowe definicje i przykłady relacji. Relacja odwrotna i złożenie relacji. Relacja równoważności – definicja, klasy równoważności, zbiór ilorazowy, podstawowe własności klas równoważności. Zbiory uporządkowane (częściowo/liniowo, słabo/silnie) – definicje i przykłady, definicja łańcucha. Elementy wyróżnione zbioru uporządkowanego – element największy/najmniejszy, element maksymalny/minimalny, majorant/minoranta, kres górny/dolny.

  2. Diagonalizacja endomorfizmów i macierzy (3 godz.)

    Definicja wartości, wektora i podprzestrzeni własnej endomorfizmu. Definicja wielomianu charakterystycznego oraz tw. o wykorzystaniu wielomianu charakterystycznego do wyznaczania wartości i wektorów własnych endomorfizmów. Tw. o liniowej niezależności wektorów odpowiadających różnym wartościom własnym. Diagonalizowalność endomorfizmów – definicja, tw. o warunku koniecznym i wystarczającym na diagonalizowalność w terminach bazy złożonej z wektorów własnych endomorfizmu, tw. o warunku koniecznym i wystarczającym na diagonalizowalność wndomorfizmów w terminach wymiarów jej podprzestrzeni własnych, przykłady. Diagonalizacja macierzy.

  3. Liczby zespolone (4 godz.)

    Podstawowe oznaczenia z teorii mnogości, iloczyn kartezjański zbiorów. Definicja liczby zespolonej. Postać algebraiczna liczby zespolonej. Działania na liczbach zespolonych. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych, działań na liczbach zespolonych oraz sprzężenia liczby zespolonej. Postać trygonometryczna liczby zespolonej – działania na liczbach w postaci trygonometrycznej, wzór de Moivre’a. Pierwiastkowanie liczb zespolonych. Postać wykładnicza liczby zespolonej. Rozwiązywanie równań wielomianowych (tw. Bezouta, tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu, zasadnicze twierdzenie algebry, tw. o pierwiastkach zespolonych wielomianu rzeczywistego).

  4. Przestrzeń wektorowa (3 godz.)

    Definicja przestrzeni wektorowej, przykłady (w szczególności R^n), własności działań w przestrzeni wektorowej. Podprzestrzeń wektorowa – definicje, przykłady, równoważne charakteryzacje podprzestrzeni. Liniowa niezależność wektorów (definicja i przykłady), twierdzenie o warunku koniecznym i wystarczającym na liniową zależność wektorów. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej (definicje, przykłady, własności). Reper bazowy, współrzędne wektora w ustalonej bazie.

  5. Układy równań liniowych (2 godz.)

    Definicja macierzy głównej układu, macierzy (kolumny) wyrazów wolnych oraz macierzy uzupełnionej, macierzowa postać układu. Definicja układu jednorodnego/niejednorodnego, oznaczonego, nieoznaczonego, sprzecznego. Tw. Cramera oraz wzory Cramera (wyrażające postać rozwiązania układu kwadratowego). Tw. Kroneckera-Capellego oraz twierdzenie o wymiarze przestrzeni rozwiązań. Metoda Gaussa rozwiązywania układów równań, przykłady.

  6. Geometria analityczna (4 godz.)

    Przestrzenie euklidesowe – odległość, norma euklidesowa, standardowy iloczyn skalarny. Własności iloczynu skalarnego, nierówność Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza, własności normy, definicja kąta między wektorami. Przestrzeń E_3 – układ prawoskrętny, iloczyn mieszany (definicja, wzór i własności). Wzór na pole równoległoboku rozpinanego przez dwa wektory oraz na objętość równoległościanu rozpinanego przez trzy wektory, przykłady. Równania opisujące płaszczyzny i proste w R^3. Odległość płaszczyzn, odległość punktu od prostej, wzajemne położenie i odległość dwóch prostych, wzajemne położenie płaszczyzn oraz prostej i płaszczyzny.

  7. Macierze (1 godz.)

    Definicja macierzy, macierzy transponowanej, zerowej, kwadratowej, diagonalnej, jednostkowej, trójkątnej, symetrycznej. Działania na macierzach i ich własności, przykłady.

  8. Macierz odwrotna (1 godz.)

    Definicja, tw. o postaci macierzy odwrotnej (wyk. macierz dopełnień algebraicznych), macierze nieosobliwe. Własności macierzy odwrotnych. Wyznaczanie macierzy odwrotnych za pomocą algorytmu Gaussa oraz poprzez powiązanie macierzy z układem równań.

  9. Struktury algebraiczne (2 godz.)

    Definicja i własności działania wewnętrznego. Definicja grupy (przemiennej), pierścienia (przemiennego, z jednością, całkowitego), ciała oraz ich przykłady.

  10. Wyznacznik (2 godz.)

    Permutacje – inwersja, transpozycja, znak i parzystość permutacji. Definicja („permutacyjna”) wyznacznika macierzy kwadratowej. Własności wyznaczników macierzy, tw. Cauchy’ego. Minory, dopełnienia algebraiczne elementów macierzy kwadratowej, tw. Laplace’a.

  11. Rząd macierzy (1 godz.)

    Definicja, operacje elementarne na macierzach, postać schodkowa macierzy, algorytm Gaussa sprowadzania macierzy do postaci schodkowej, interpretacja rzędu w terminach minorów.

  12. Odwzorowania liniowe (2 godz.)

    Definicja odwzorowania liniowego, warunki równoważne na liniowość odwzorowania, przykłady. Jądro i obraz odwzorowania liniowego – tw. o sumie wymiarów jądra i obrazu, tw. o warunkach równoważnych na różnowartościowość/surjektywność/bijektywność odwzorowania liniowego. Tw. o warunku koniecznym i wystarczającym na izomorficzność skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych.

  13. Reprezentacja macierzowa odwzorowania liniowego (2 godz.)

    Definicja macierzy równania liniowego i jej własności (reprezentacja macierzowa odwzorowania liniowego), przykłady. Tw. o równości rzędu odwzorowania liniowego oraz rzędu jego dowolnej macierzy. Tw. o macierzy odwzorowania pomnożonego przez skalar, sumy odwzorowań, złożenia odwzorowań oraz odwzorowania odwrotnego do danego. Definicja i własności macierzy przejścia od jednej bazy do drugiej, tw. o zmianie macierzy odwzorowania przy zmianie baz przestrzeni, przykłady.

Ćwiczenia audytoryjne:

Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów. Przewidziane są 2 kolokwia w ciągu semestru.

Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 150 godz
Punkty ECTS za moduł 5 ECTS
Udział w wykładach 30 godz
Udział w ćwiczeniach audytoryjnych 30 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 75 godz
Przygotowanie do zajęć 15 godz
Pozostałe informacje
Sposób obliczania oceny końcowej:

1. Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny końcowej OK jest otrzymanie pozytywnej oceny
z ćwiczeń i z egzaminu. Przy czym warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
2. Po obliczeniu oceny średniej ważonej według wzoru SW = 0,49SOC+0,51SOE, gdzie SOC jest średnią arytmetyczną ocen uzyskanych we wszystkich terminach zaliczeń z ćwiczeń, a SOE jest średnią arytmetyczną ocen uzyskanych we wszystkich terminach z egzaminu, ocena końcowa OK jest obliczana według zależności:
if SW >4.75 then OK:=5.0 (bdb) else
if SW >4.25 then OK:=4.5 (db) else
if SW >3.75 then OK:=4.0 (db) else
if SW >3.25 then OK:=3.5 (dst) else OK:=3 (dst)

Wymagania wstępne i dodatkowe:

Wiedza matematyczna z zakresu szkoły średniej.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

1. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2002
2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 2, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2005
3. Z. Furdzik, J. Maj-Kluskowa, A. Kulczycka, M. Sękowska, Nowoczesna matematyka dla inżynierów. Część I: Algebra
4. A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

Nie podano dodatkowych publikacji

Informacje dodatkowe:

Brak