Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Analiza matematyczna 1
Tok studiów:
2014/2015
Kod:
ITE-1-107-s
Wydział:
Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Teleinformatyka
Semestr:
1
Profil kształcenia:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma i tryb studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Osoba odpowiedzialna:
dr Adamus Lech (adamus@agh.edu.pl)
Osoby prowadzące:
dr Adamus Lech (adamus@agh.edu.pl)
Krótka charakterystyka modułu

Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej oraz wielu zmiennych. Równania różniczkowe pierwszego rzędu oraz liniowe wyższych rzędów.

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Powiązania z EKK Sposób weryfikacji efektów kształcenia (forma zaliczeń)
Wiedza
M_W001 Ma wiedzę z rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej; umie korzystać z pochodnej w zadaniach optymalizacyjnych, w obliczeniach przybliżonych, w badaniu funkcji TE1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W002 Ma wiedzę z rachunku całkowego funkcji jednej zmiennej; zna zastosowanie całek oznaczonych TE1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W003 Ma wiedzę z rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych; umie znajdywać ekstrema takich funkcji TE1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W004 Ma wiedzę z rachunku całkowego funkcji wielu zmiennych; zna zastosowanie całek wielokrotnych TE1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
Kompetencje społeczne
M_K001 Ma świadomość kultury matematycznej; podejmuje starania, aby przekazywać zdobytą wiedzę w sposób powszechnie zrozumiały TE1A_K06 Prezentacja
Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Forma zajęć
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Inne
E-learning
Wiedza
M_W001 Ma wiedzę z rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej; umie korzystać z pochodnej w zadaniach optymalizacyjnych, w obliczeniach przybliżonych, w badaniu funkcji + + - - - - - - - - -
M_W002 Ma wiedzę z rachunku całkowego funkcji jednej zmiennej; zna zastosowanie całek oznaczonych + + - - - - - - - - -
M_W003 Ma wiedzę z rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych; umie znajdywać ekstrema takich funkcji + + - - - - - - - - -
M_W004 Ma wiedzę z rachunku całkowego funkcji wielu zmiennych; zna zastosowanie całek wielokrotnych + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Ma świadomość kultury matematycznej; podejmuje starania, aby przekazywać zdobytą wiedzę w sposób powszechnie zrozumiały - + - - - - - - - - -
Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład:

1. Logika (1 godz.)
Podstawowe funktory logiczne i kwantyfikatory. Prawa de Morgana dla zdań logicznych. Pojęcie warunku koniecznego i warunku wystarczającego. Zasada kontrapozycji. Podstawy teorii mnogości. Prawa de Morgana dla zbiorów. Iloczyn kartezjański zbiorów. Podstawowe zbiory liczb zawarte w zbiorze liczb rzeczywistych. Kres górny i dolny zbioru liczb.
2. Funkcje (2 godz.)
Definicja odwzorowania, funkcji. Pojęcie dziedziny i przeciwdziedziny, obrazu i przeciwobrazu zbioru. Wykres funkcji. Restrykcja funkcji. Funkcja parzysta, nieparzysta, okresowa, ograniczona, monotoniczna. Pojęcie injekcji, surjekcji, bijekcji. Składanie funkcji, funkcja odwrotna.
3. Przegląd funkcji elementarnych (2 godz.)
Funkcje wielomianowe (podstawowe twierdzenia o dzieleniu wielomianów, o pierwiastkach wielomianu). Funkcje wymierne (w tym homograficzna). Funkcje potęgowe. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne (jako wzajemnie do siebie odwrotne). Funkcje trygonometryczne. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji elementarnej.
4. Ciągi i ich granice (2 godz.)
Definicja ciągu i przykłady ciągów arytmetycznych, geometrycznych, innych. Zasada indukcji matematycznej. Definicje rekurencyjne – przykłady. Własności ciągów (ograniczoność, monotoniczność). Definicja granicy ciągu liczbowego i jej interpretacja graficzna. Działania arytmetyczne na granicach ciągów. Symbole oznaczone i nieoznaczone. WK i WW zbieżności ciągu. Liczba Eulera. Tw. o 3 ciągach. Tw. d’Alemberta.
5. Granice i ciągłość funkcji (3 godz.)
Pojęcie otoczenia i sąsiedztwa. Pojęcie punktu skupienia zbioru. Definicja Heinego granicy funkcji. Granice niewłaściwe. Działania arytmetyczne na granicach. Tw. o 3 funkcjach. Tw. o granicy złożenia. Granice jednostronne. Definicja funkcji ciągłej. Ciągłość jednostronna. Ciągłość złożenia oraz funkcji odwrotnej. Tw. o wprowadzaniu granicy do argumentu funkcji ciągłej. Tw. Weierstrassa i tw. Darboux. Tw. o lokalnym zachowaniu znaku funkcji ciągłej.
6. Pochodna funkcji (3 godz.)
Definicja pochodnej funkcji w punkcie i jej interpretacja geometryczna oraz fizyczna. Różniczka funkcji i różniczkowalność funkcji. Pochodne jednostronne. Wzór Peano. Tw. o ciągłości funkcji różniczkowalnej. Odwzorowanie pochodne. Działania arytmetyczne na pochodnych funkcji. Pochodna złożenia i pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne funkcji elementarnych.
7. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego i ich zastosowania (2 godz.)
Reguła de l’Hospitala i jej zastosowanie w liczeniu granic funkcji i wyznaczaniu asymptot. Asymptoty pionowe i ukośne wykresu funkcji. Tw. Rolle’a i Lagrange’a i ich zastosowanie w badaniu monotoniczności funkcji.
8. Pochodne wyższych rzędów i wzór Taylora (2 godz.)
Definicja n-tej pochodnej. Klasa C^n oraz C-nieskończoność funkcji. Tw. Taylora. Wzór Maclaurina. Zastosowania, np. wyliczenie z przybliżeniem liczby Eulera.
9. Ekstrema lokalne (2 godz.)
Definicja maksimum, minimum lokalnego. Tw. Fermata. Warunki wystarczające istnienia ekstremum lokalnego. Ekstrema globalne. Zadania optymalizacyjne.
10. Badanie przebiegu zmienności funkcji (2 godz.)
Wypukłość wykresu funkcji i jej związek z drugą pochodną. Punkty przegięcia. Badanie funkcji i szkicowanie wykresów.
11. Całka nieoznaczona (7 godz.)
Definicja funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej. Podstawowe wzory. Uwaga o całkach nieelementarnych. Najprostsze metody całkowania (liniowość całki, całkowanie przez części i przez podstawienie). Algorytm całkowania funkcji wymiernych (ułamki proste). Całkowanie funkcji niewymiernych. Trzy podstawienia Eulera. Metoda współczynników nieoznaczonych. Całkowanie funkcji trygonometrycznych.
12. Całka oznaczona Riemanna (3 godz.)
Definicja całki oznaczonej Riemanna. WK i WW całkowalności. Liniowość, addytywność względem przedziału całkowania całki oznaczonej. Tw. całkowe o wartości średniej. Funkcja górnej granicy całkowania. Dwa podstawowe twierdzenia rachunku całkowego – związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną.
13. Całka niewłaściwa (2 godz.)
Definicja całki niewłaściwej. Bezwzględna zbieżność całki niewłaściwej. Kryterium porównawcze.
14. Zastosowanie całki oznaczonej (4 godz.)
Współrzędne biegunowe. Obliczanie pól powierzchni obszarów płaskich zadanych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych. Krzywe w R^n i ich parametryzacje. Obliczanie długości krzywych. Obliczanie objętości i pól powierzchni brył obrotowych.
15. Funkcje hiperboliczne (1 godz.)
Definicje, wykresy, własności.
16. Funkcje wielu zmiennych (3 godz.)
Przykłady funkcji wielu zmiennych. Otoczenie i sąsiedztwo punktu w R^n. Zbiory otwarte, domknięte, ograniczone, zwarte, spójne w R^n. Granica ciągu punktów w R^n. Granica funkcji wielu zmiennych. Granice iterowane. Funkcje ciagłe. Własności funkcji ciągłych (tw. Weierstrassa, tw. Darboux, tw. o zachowaniu znaku).
17. Pochodna funkcji wielu zmiennych (4 godz.)
Pochodna kierunkowa, pochodna cząstkowa i ich interpretacje geometryczne. Różniczka zupełna i jej interpretacja geometryczna. Związki różniczki zupełnej z pochodnymi kierunkowymi i cząstkowymi. Własności różniczki zupełnej. Macierzowy zapis różniczki. Gradient funkcji. Różniczka funkcji wektorowej. Macierz Jacobiego. Różniczka złożenia odwzorowań.
18. Ekstrema funkcji wielu zmiennych (6 godz.)
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Tw. Schwarza. Różniczka rzędu drugiego i jej macierzowy zapis. Definicja maksimum i minimum lokalnego. WK istnienia ekstremum lokalnego. WW istnienia ekstremum lokalnego. Określoność drugiej różniczki – tw. Sylvestera. Ekstrema warunkowe. Metoda mnożników Lagrange’a. Ekstrema globalne.
19. Pole wektorowe (2 godz.)
Definicja pola wektorowego. Potencjał pola. Rotacja. Dywergencja. Operatory różniczkowe nabla i laplasjan.
20. Całka podwójna (3 godz.)
Całka Riemanna w prostokącie. Interpretacja geometryczna. Własności całki podwójnej. Całka po obszarze normalnym i regularnym. Zamiana całki podwójnej na iterowane. Zmiana zmiennych w całce podwójnej. Zatosowania całek podwójnych.
21. Całka potrójna (4 godz.)
Całka Riemanna w prostopadłościanie. Własności całki potrójnej. Całka po obszarze normalnym i regularnym. Zamiana całki potrójnej na iterowane. Zmiana zmiennych w całce potrójnej. Współrzędne walcowe i sferyczne. Zastosowania całek potrójnych. Informacja o całkach wielokrotnych

Ćwiczenia audytoryjne:

1. Przypomnienie wiadomości ze szkoły (logika, funkcje) (4 godz.)
2. Ciągi i ich granice (3 godz.)
3. Funkcje i ich granice. Ciągłość funkcji (3 godz.)
4. Pochodne funkcji jednej zmiennej i ich zastosowanie (12 godz.)
5. 1. kolokwium (2 godz.)
6. Całki nieoznaczone (8 godz.)
7. Całki oznaczone i ich zastosowania (6 godz.)
8. 2. kolokwium (2 godz.)
9. Granice funkcji wielu zmiennych (3 godz.)
10. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych i jego zastosowania (10 godz.)
11. Całki wielokrotne (5 godz.)
12. 3. kolokwium (2 godz.)

Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 240 godz
Punkty ECTS za moduł 8 ECTS
Udział w wykładach 60 godz
Udział w ćwiczeniach audytoryjnych 60 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 60 godz
Przygotowanie do zajęć 60 godz
Pozostałe informacje
Sposób obliczania oceny końcowej:

1. Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny końcowej OK jest otrzymanie pozytywnej oceny
z ćwiczeń i z egzaminu. Przy czym warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
2. Po obliczeniu oceny średniej ważonej według wzoru SW = 0,49SOC+0,51SOE, gdzie SOC jest średnią arytmetyczną ocen uzyskanych we wszystkich terminach zaliczeń z ćwiczeń, a SOE jest średnią arytmetyczną ocen uzyskanych we wszystkich terminach z egzaminu, ocena końcowa OK jest obliczana według zależności:
if SW >4.75 then OK:=5.0 (bdb) else
if SW >4.25 then OK:=4.5 (db) else
if SW >3.75 then OK:=4.0 (db) else
if SW >3.25 then OK:=3.5 (dst) else OK:=3 (dst)

Wymagania wstępne i dodatkowe:

Wiedza matematyczna z zakresu szkoły średniej. W drugiej części wykładu wymagana jest wiedza z algebry (rachunek macierzowy, odwzorowania liniowe).

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

1. G. Decewicz, W. Żakowski, Matematyka cz. 1, WNT, Warszawa, 1979
2. W. Żakowski, W. Kołodziej, Matematyka cz. 2, WNT, Warszawa, 1974
3. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa, 1999
4. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa, 1993
5. W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, PWN, Warszawa, 2001

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Adamus, Janusz; Adamus, Lech; Yeo, Anders, On the Meyniel condition for Hamiltonicity in bipartite digraphs, Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 16, No. 1 (2014), 293-302.

2. Adamus, Janusz; Adamus, Lech, A degree condition for cycles of maximum length in bipartite digraphs, Discrete Math. 312, No. 6 (2012), 1117-1122.

3. Adamus, Lech, Edge condition for long cycles in bipartite graphs, Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 11 , No. 2, 25–32 (2009).

Informacje dodatkowe:

Brak