Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Analiza matematyczna
Course of study:
2015/2016
Code:
BIT-1-101-s
Faculty of:
Geology, Geophysics and Environmental Protection
Study level:
First-cycle studies
Specialty:
-
Field of study:
Applied Computer Science
Semester:
1
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Bożek Bogusław (bozek@agh.edu.pl)
Academic teachers:
dr Zabawa Tomasz (zabawa@agh.edu.pl)
Module summary

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence
M_K001 Student posiada umiejętność współpracy i posiada zdolność do samokształcenia IT1A_K01, IT1A_K03 Test
Skills
M_U001 Student potrafi rozwiązywać typowe zadania z zakresu analizy matematycznej IT1A_U01, IT1A_U02 Test
M_U002 Student zna typowe zastosowania metod analizy matematycznej do rozwiązywania zagadnień inżynierskich IT1A_U15, IT1A_U06 Test
Knowledge
M_W001 Student posiada wiedzę z zakresu analizy matematycznej i jej zastosowań IT1A_W01 Examination,
Test
M_W002 Student posiada wiedzę w zakresie metod matematycznych niezbędną do rozwiązywania praktycznych zagadnień obliczeniowych IT1A_W08 Examination,
Test
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Others
E-learning
Social competence
M_K001 Student posiada umiejętność współpracy i posiada zdolność do samokształcenia - + - - - - - - - - -
Skills
M_U001 Student potrafi rozwiązywać typowe zadania z zakresu analizy matematycznej + + - - - - - - - - -
M_U002 Student zna typowe zastosowania metod analizy matematycznej do rozwiązywania zagadnień inżynierskich - + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Student posiada wiedzę z zakresu analizy matematycznej i jej zastosowań + - - - - - - - - - -
M_W002 Student posiada wiedzę w zakresie metod matematycznych niezbędną do rozwiązywania praktycznych zagadnień obliczeniowych + - - - - - - - - - -
Module content
Lectures:

1. Elementy logiki matematycznej, teorii mnogości, definicja funkcji, definicja iniektywności, suriektywności i bijektywności funkcji, definicja złożenia funkcji, funkcja odwrotna.
2. Ciągi liczbowe, własności (monotoniczność, ograniczoność), podciągi, definicja granicy, liczenie granic. Liczba e. Twierdzenie o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych. Twierdzenia: o zachowaniu nierówności w granicy, o ciągu monotonicznym i ograniczonym, o trzech ciągach. Symbole nieoznaczone. Przestrzeń metryczna, definicja kuli, zbieżność ciągu w przestrzeni, własności ciągów zbieżnych.
3. Szeregi liczbowe, proste kryteria zbieżności szeregów. Szeregi bezwzględnie i warunkowo zbieżne. Twierdzenie Riemanna. Iloczyn Cauchy’ego szeregów. Szeregi funkcyjne – zbieżność punktowa. Definicja i własności funkcji ekspotencjalnej. Funkcja logarytmiczna.
4. Definicja granicy funkcji w punkcie. Liczenie granic funkcji wielu i jednej zmiennej rzeczywistej. Twierdzenie o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji, o zachowaniu nierówności w granicy, o trzech funkcjach.
5. Funkcje ciągłe. Własności funkcji ciągłych: o lokalnym zachowaniu znaku, własności Darboux, Weierstrassa o przyjmowaniu wartości najmniejszej i największej na przedziale domkniętym i ograniczonym. Twierdzenie o granicy złożenia funkcji ciągłych.
6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej rzeczywistej – podstawowe definicje i twierdzenia. Twierdzenie Rolla, Lagrange’a, Taylora. Wyznaczanie ekstremów lokal\-nych – warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum.
7. Symbole nieoznaczone. Reguła de l’Hospitala.
8. Formy liniowe, dwuliniowe i kwadratowe. Określoność formy kwadratowej. Twierdzenie Sylwestera.
9. item Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych – podstawowe definicje (w tym definicja różniczkowalności funkcji i różniczki funkcji w punkcie, definicje pochodnych cząstkowych, kierunkowych, definicja gradientu funkcji, macierzy Hessego) i twierdzenia. Twierdzenie Taylora. Wyznaczanie ekstremów lokalnych – warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum.
10. Funkcja pierwotna. Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego m.in. twierdzenia o całkowaniu przez części i przez podstawienie, o wartości średniej. Efektywne wyznaczaczanie pierwotnej dla pewnych klas funkcji. Wzory rekurencyjne.
11. Całka oznaczona – definicje i twierdzenia. Zmiana zmiennych w całce oznaczonej. Zastosowania całki oznaczonej: geometryczne (pole obszaru płaskiego, objętość bryły obrotowej, długość krzywej) i fizyczne (praca). Całki niewłaściwe – wzmianka.
12. Całki wielokrotne, całki iterowane. Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce wielokrotnej i przykłady jego zastosowań. Geometryczne i fizyczne zastosowania całek wielokrotnych.
13. Całka krzywoliniowa skierowana i jej własności. Twierdzenie o zamianie na całkę oznaczoną. Twierdzenie Greena i jego zastosowania. Twierdzenie o całce krzywoliniowej w polu potencjalnym. Całka krzywoliniowa nieskierowana.
14. powierzchniowy, definicja i własności całki powierzchniowej niezorientowanej. Płat powierzchniowy zorientowany. Definicja całki powierzchniowej zorientowanej i jej podstawowe własności. Twierdzenie o zamianie na całkę podwójną. Strumień pola wektorowego. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego.

Auditorium classes:

1. Elementy logiki matematycznej, teorii mnogości, definicja funkcji, definicja iniektywności, suriektywności i bijektywności funkcji, definicja złożenia funkcji, funkcja odwrotna.
2. Ciągi liczbowe, własności (monotoniczność, ograniczoność), podciągi, definicja granicy, liczenie granic. Liczba e. Twierdzenie o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych. Twierdzenia: o zachowaniu nierówności w granicy, o ciągu monotonicznym i ograniczonym, o trzech ciągach. Symbole nieoznaczone. Przestrzeń metryczna, definicja kuli, zbieżność ciągu w przestrzeni, własności ciągów zbieżnych.
3. Szeregi liczbowe, proste kryteria zbieżności szeregów. Szeregi bezwzględnie i warunkowo zbieżne. Twierdzenie Riemanna. Iloczyn Cauchy’ego szeregów. Szeregi funkcyjne – zbieżność punktowa. Definicja i własności funkcji ekspotencjalnej. Funkcja logarytmiczna.
4. Definicja granicy funkcji w punkcie. Liczenie granic funkcji wielu i jednej zmiennej rzeczywistej. Twierdzenie o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji, o zachowaniu nierówności w granicy, o trzech funkcjach.
5. Funkcje ciągłe. Własności funkcji ciągłych: o lokalnym zachowaniu znaku, własności Darboux, Weierstrassa o przyjmowaniu wartości najmniejszej i największej na przedziale domkniętym i ograniczonym. Twierdzenie o granicy złożenia funkcji ciągłych.
6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej rzeczywistej – podstawowe definicje i twierdzenia. Twierdzenie Rolla, Lagrange’a, Taylora. Wyznaczanie ekstremów lokal\-nych – warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum.
7. Symbole nieoznaczone. Reguła de l’Hospitala.
8. Formy liniowe, dwuliniowe i kwadratowe. Określoność formy kwadratowej. Twierdzenie Sylwestera.
9. item Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych – podstawowe definicje (w tym definicja różniczkowalności funkcji i różniczki funkcji w punkcie, definicje pochodnych cząstkowych, kierunkowych, definicja gradientu funkcji, macierzy Hessego) i twierdzenia. Twierdzenie Taylora. Wyznaczanie ekstremów lokalnych – warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum.
10. Funkcja pierwotna. Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego m.in. twierdzenia o całkowaniu przez części i przez podstawienie, o wartości średniej. Efektywne wyznaczaczanie pierwotnej dla pewnych klas funkcji. Wzory rekurencyjne.
11. Całka oznaczona – definicje i twierdzenia. Zmiana zmiennych w całce oznaczonej. Zastosowania całki oznaczonej: geometryczne (pole obszaru płaskiego, objętość bryły obrotowej, długość krzywej) i fizyczne (praca). Całki niewłaściwe – wzmianka.
12. Całki wielokrotne, całki iterowane. Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce wielokrotnej i przykłady jego zastosowań. Geometryczne i fizyczne zastosowania całek wielokrotnych.
13. Całka krzywoliniowa skierowana i jej własności. Twierdzenie o zamianie na całkę oznaczoną. Twierdzenie Greena i jego zastosowania. Twierdzenie o całce krzywoliniowej w polu potencjalnym. Całka krzywoliniowa nieskierowana.
14. powierzchniowy, definicja i własności całki powierzchniowej niezorientowanej. Płat powierzchniowy zorientowany. Definicja całki powierzchniowej zorientowanej i jej podstawowe własności. Twierdzenie o zamianie na całkę podwójną. Strumień pola wektorowego. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego.

Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 168 h
Module ECTS credits 6 ECTS
Participation in lectures 42 h
Realization of independently performed tasks 40 h
Participation in auditorium classes 56 h
Preparation for classes 30 h
Additional information
Method of calculating the final grade:

Ocena końcowa = 50% oceny z egzaminu + 50% oceny z ćwiczeń

Prerequisites and additional requirements:

Prerequisites and additional requirements not specified

Recommended literature and teaching resources:
  • F.Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych, Warszawa, PWN, 1979.
  • G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2, 3, Warszawa, PWN, 1986.
  • M. Gewert, Z. Skoczylas, zestawy książek Analiza matematyczna 1 i Analiza matematyczna 2, Wrocław, Oficyna GiS, 2002.
  • W. Stankiewicz, J. Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych,cz. 1 i 2, Warszawa, PWN, 1995.
  • G.N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1977.
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

Additional scientific publications not specified

Additional information:

udział „teoretycznych” punktów ECTS: 6