Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Równania różniczkowe
Course of study:
2015/2016
Code:
BIT-1-205-s
Faculty of:
Geology, Geophysics and Environmental Protection
Study level:
First-cycle studies
Specialty:
-
Field of study:
Applied Computer Science
Semester:
2
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Bożek Bogusław (bozek@agh.edu.pl)
Academic teachers:
dr Figura Bogdan (figura@agh.edu.pl)
Module summary

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence
M_K001 Student posiada umiejętność współpracy i posiada zdolność do samokształcenia IT1A_K01, IT1A_K03, IT1A_K05 Test
Skills
M_U001 Student potrafi rozwiązywać typowe równania różniczkowe IT1A_U01, IT1A_U06 Test
M_U002 Student potrafi ułożyć równanie różniczkowe dla prostych zagadnień technicznych, rozwiązać je i przeanalizować otrzymane rozwiązania IT1A_U15 Test
Knowledge
M_W001 Student posiada wiedzę z zakresu równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych i ich zastosowań w fizyce i naukach technicznych IT1A_W01 Examination,
Test
M_W002 Student posiada wiedzę z zakresu modelowania matematycznego i zna modele różniczkowe kilku zagadnień technicznych IT1A_W08 Examination,
Test
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Others
E-learning
Social competence
M_K001 Student posiada umiejętność współpracy i posiada zdolność do samokształcenia + + - - - - - - - - -
Skills
M_U001 Student potrafi rozwiązywać typowe równania różniczkowe + + - - - - - - - - -
M_U002 Student potrafi ułożyć równanie różniczkowe dla prostych zagadnień technicznych, rozwiązać je i przeanalizować otrzymane rozwiązania + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Student posiada wiedzę z zakresu równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych i ich zastosowań w fizyce i naukach technicznych + + - - - - - - - - -
M_W002 Student posiada wiedzę z zakresu modelowania matematycznego i zna modele różniczkowe kilku zagadnień technicznych + + - - - - - - - - -
Module content
Lectures:

1. Omówienie przedmiotu i zalecanej literatury. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych zwyczajnych. Formalna definicja równania różniczkowego i jego rozwiązania, postać ogólna i normalna. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania różniczkowego rzędu pierwszego. Sprowadzanie równania różniczkowego rzędu n-tego do układu równań różniczkowych rzędu pierwszego.
2. Proste typy równań różniczkowych: o zmiennych rozdzielonych, jednorodne, zupełne (wyznaczanie czynnika całkującego), Clairauta, Lagrange’a.
3. Równania i układy równań różniczkowych liniowych:
• Istnienie i postać rozwiązania.
• Skalarne równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Równanie Bernoulliego. Równanie Riccatiego.
• Skalarne równanie różniczkowe n-tego rzędu. Wrońskian. Fundamentalny układ rozwiązań. Metoda uzmienniania stałych. Obniżanie rzędu równania różniczkowego. Zasada superpozycji. Równania różniczkowe n-tego rzędu o współczynnikach stałych. Metoda przewidywań.
• Układ skalarnych równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. Układ fundamentalny rozwiązań. Metoda uzmienniania stałych.
• Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach. Metoda wektorów i wartości własnych. Sprowadzanie macierzy do postaci Jordana. Rowiązywanie układu x’=Ax przez sprowadzenie macierzy układu do postaci Jordana.
4. Poszukiwanie rozwiązań równań różniczkowych w postaci szeregów potęgowych. Twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej. Osobliwe punkty regularne równań rzędu drugiego. Równanie indeksowe. Szeregi Frobeniusa.
5. Stabilność rozwiązań równań różniczkowych. Twierdzenie o ciągłej zależności rozwiązania od warunków początkowych. Stabilność, lokalna asymptotyczna stabilność i globalna asymptotyczna stabilność rozwiązania równania różniczkowego – definicje. Twierdzenie Lapunowa. Zastosowanie do układu x’=Ax i do równania skalarnego x’=f(x). Problem Routha-Hurwitza.
6. Punkty osobliwe równań różniczkowych. Klasyfikacja. Zastosowania w teorii sterowania.
7. Rachunek operatorowy. Transformata Laplace’a. Niektóre własności transformaty. Wyznaczanie transformaty na podstawie równania różniczkowego. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty. Twierdzenia o rozkładzie, przesunięciu rzeczywistym, przesunięciu zespolonym, splocie. Zastosowanie transformaty Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych.
8. Wzmianka o równaniach różniczkowych cząstkowych. Klasyfikacja równań liniowych. Przykłady zagadnień fizycznych opisywanych równaniami cząstkowymi.

Auditorium classes:

1. Omówienie przedmiotu i zalecanej literatury. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych zwyczajnych. Formalna definicja równania różniczkowego i jego rozwiązania, postać ogólna i normalna. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania różniczkowego rzędu pierwszego. Sprowadzanie równania różniczkowego rzędu n-tego do układu równań różniczkowych rzędu pierwszego.
2. Proste typy równań różniczkowych: o zmiennych rozdzielonych, jednorodne, zupełne (wyznaczanie czynnika całkującego), Clairauta, Lagrange’a.
3. Równania i układy równań różniczkowych liniowych:
• Istnienie i postać rozwiązania.
• Skalarne równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Równanie Bernoulliego. Równanie Riccatiego.
• Skalarne równanie różniczkowe n-tego rzędu. Wrońskian. Fundamentalny układ rozwiązań. Metoda uzmienniania stałych. Obniżanie rzędu równania różniczkowego. Zasada superpozycji. Równania różniczkowe n-tego rzędu o współczynnikach stałych. Metoda przewidywań.
• Układ skalarnych równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. Układ fundamentalny rozwiązań. Metoda uzmienniania stałych.
• Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach. Metoda wektorów i wartości własnych. Sprowadzanie macierzy do postaci Jordana. Rowiązywanie układu x’=Ax przez sprowadzenie macierzy układu do postaci Jordana.
4. Poszukiwanie rozwiązań równań różniczkowych w postaci szeregów potęgowych. Twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej. Osobliwe punkty regularne równań rzędu drugiego. Równanie indeksowe. Szeregi Frobeniusa.
5. Stabilność rozwiązań równań różniczkowych. Twierdzenie o ciągłej zależności rozwiązania od warunków początkowych. Stabilność, lokalna asymptotyczna stabilność i globalna asymptotyczna stabilność rozwiązania równania różniczkowego – definicje. Twierdzenie Lapunowa. Zastosowanie do układu x’=Ax i do równania skalarnego x’=f(x). Problem Routha-Hurwitza.
6. Punkty osobliwe równań różniczkowych. Klasyfikacja. Zastosowania w teorii sterowania.
7. Rachunek operatorowy. Transformata Laplace’a. Niektóre własności transformaty. Wyznaczanie transformaty na podstawie równania różniczkowego. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty. Twierdzenia o rozkładzie, przesunięciu rzeczywistym, przesunięciu zespolonym, splocie. Zastosowanie transformaty Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych.
8. Wzmianka o równaniach różniczkowych cząstkowych. Klasyfikacja równań liniowych. Przykłady zagadnień fizycznych opisywanych równaniami cząstkowymi.

Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 144 h
Module ECTS credits 5 ECTS
Participation in lectures 28 h
Realization of independently performed tasks 30 h
Participation in auditorium classes 56 h
Preparation for classes 30 h
Additional information
Method of calculating the final grade:

Ocena końcowa = 50% oceny z egzaminu + 50% oceny z ćwiczeń

Prerequisites and additional requirements:

Wiedza ze szkoły średniej i kurs analizy matematycznej.

Recommended literature and teaching resources:

A.F. Filippow, Zbiór zadań z równań różniczkowych, Izd. Nauka, Moskwa 1973.
Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne (teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych), Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999.
K.K.Ponomariew, Układanie i rozwiązywanie równań różniczkowych w zagadnieniach technicznych, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1969.
W.Stankiewicz, J.Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, Część II, PWN, Warszawa 1983.
D.G.Zill, Differential Equations with Boundary-Value Problems, PWS-KENT Publishing Company, Boston, 1986.

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

Additional scientific publications not specified

Additional information:

udział „teoretycznych” punktów ECTS: 5