Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Analiza matematyczna
Tok studiów:
2015/2016
Kod:
BIT-1-101-s
Wydział:
Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Informatyka Stosowana
Semestr:
1
Profil kształcenia:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma i tryb studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Osoba odpowiedzialna:
dr hab. Bożek Bogusław (bozek@agh.edu.pl)
Osoby prowadzące:
dr Zabawa Tomasz (zabawa@agh.edu.pl)
Krótka charakterystyka modułu

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Powiązania z EKK Sposób weryfikacji efektów kształcenia (forma zaliczeń)
Wiedza
M_W001 Student posiada wiedzę z zakresu analizy matematycznej i jej zastosowań IT1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W002 Student posiada wiedzę w zakresie metod matematycznych niezbędną do rozwiązywania praktycznych zagadnień obliczeniowych IT1A_W08 Egzamin,
Kolokwium
Umiejętności
M_U001 Student potrafi rozwiązywać typowe zadania z zakresu analizy matematycznej IT1A_U01, IT1A_U02 Kolokwium
M_U002 Student zna typowe zastosowania metod analizy matematycznej do rozwiązywania zagadnień inżynierskich IT1A_U15, IT1A_U06 Kolokwium
Kompetencje społeczne
M_K001 Student posiada umiejętność współpracy i posiada zdolność do samokształcenia IT1A_K01, IT1A_K03 Kolokwium
Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Forma zajęć
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Inne
E-learning
Wiedza
M_W001 Student posiada wiedzę z zakresu analizy matematycznej i jej zastosowań + - - - - - - - - - -
M_W002 Student posiada wiedzę w zakresie metod matematycznych niezbędną do rozwiązywania praktycznych zagadnień obliczeniowych + - - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Student potrafi rozwiązywać typowe zadania z zakresu analizy matematycznej + + - - - - - - - - -
M_U002 Student zna typowe zastosowania metod analizy matematycznej do rozwiązywania zagadnień inżynierskich - + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Student posiada umiejętność współpracy i posiada zdolność do samokształcenia - + - - - - - - - - -
Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład:

1. Elementy logiki matematycznej, teorii mnogości, definicja funkcji, definicja iniektywności, suriektywności i bijektywności funkcji, definicja złożenia funkcji, funkcja odwrotna.
2. Ciągi liczbowe, własności (monotoniczność, ograniczoność), podciągi, definicja granicy, liczenie granic. Liczba e. Twierdzenie o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych. Twierdzenia: o zachowaniu nierówności w granicy, o ciągu monotonicznym i ograniczonym, o trzech ciągach. Symbole nieoznaczone. Przestrzeń metryczna, definicja kuli, zbieżność ciągu w przestrzeni, własności ciągów zbieżnych.
3. Szeregi liczbowe, proste kryteria zbieżności szeregów. Szeregi bezwzględnie i warunkowo zbieżne. Twierdzenie Riemanna. Iloczyn Cauchy’ego szeregów. Szeregi funkcyjne – zbieżność punktowa. Definicja i własności funkcji ekspotencjalnej. Funkcja logarytmiczna.
4. Definicja granicy funkcji w punkcie. Liczenie granic funkcji wielu i jednej zmiennej rzeczywistej. Twierdzenie o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji, o zachowaniu nierówności w granicy, o trzech funkcjach.
5. Funkcje ciągłe. Własności funkcji ciągłych: o lokalnym zachowaniu znaku, własności Darboux, Weierstrassa o przyjmowaniu wartości najmniejszej i największej na przedziale domkniętym i ograniczonym. Twierdzenie o granicy złożenia funkcji ciągłych.
6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej rzeczywistej – podstawowe definicje i twierdzenia. Twierdzenie Rolla, Lagrange’a, Taylora. Wyznaczanie ekstremów lokal\-nych – warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum.
7. Symbole nieoznaczone. Reguła de l’Hospitala.
8. Formy liniowe, dwuliniowe i kwadratowe. Określoność formy kwadratowej. Twierdzenie Sylwestera.
9. item Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych – podstawowe definicje (w tym definicja różniczkowalności funkcji i różniczki funkcji w punkcie, definicje pochodnych cząstkowych, kierunkowych, definicja gradientu funkcji, macierzy Hessego) i twierdzenia. Twierdzenie Taylora. Wyznaczanie ekstremów lokalnych – warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum.
10. Funkcja pierwotna. Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego m.in. twierdzenia o całkowaniu przez części i przez podstawienie, o wartości średniej. Efektywne wyznaczaczanie pierwotnej dla pewnych klas funkcji. Wzory rekurencyjne.
11. Całka oznaczona – definicje i twierdzenia. Zmiana zmiennych w całce oznaczonej. Zastosowania całki oznaczonej: geometryczne (pole obszaru płaskiego, objętość bryły obrotowej, długość krzywej) i fizyczne (praca). Całki niewłaściwe – wzmianka.
12. Całki wielokrotne, całki iterowane. Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce wielokrotnej i przykłady jego zastosowań. Geometryczne i fizyczne zastosowania całek wielokrotnych.
13. Całka krzywoliniowa skierowana i jej własności. Twierdzenie o zamianie na całkę oznaczoną. Twierdzenie Greena i jego zastosowania. Twierdzenie o całce krzywoliniowej w polu potencjalnym. Całka krzywoliniowa nieskierowana.
14. powierzchniowy, definicja i własności całki powierzchniowej niezorientowanej. Płat powierzchniowy zorientowany. Definicja całki powierzchniowej zorientowanej i jej podstawowe własności. Twierdzenie o zamianie na całkę podwójną. Strumień pola wektorowego. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego.

Ćwiczenia audytoryjne:

1. Elementy logiki matematycznej, teorii mnogości, definicja funkcji, definicja iniektywności, suriektywności i bijektywności funkcji, definicja złożenia funkcji, funkcja odwrotna.
2. Ciągi liczbowe, własności (monotoniczność, ograniczoność), podciągi, definicja granicy, liczenie granic. Liczba e. Twierdzenie o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych. Twierdzenia: o zachowaniu nierówności w granicy, o ciągu monotonicznym i ograniczonym, o trzech ciągach. Symbole nieoznaczone. Przestrzeń metryczna, definicja kuli, zbieżność ciągu w przestrzeni, własności ciągów zbieżnych.
3. Szeregi liczbowe, proste kryteria zbieżności szeregów. Szeregi bezwzględnie i warunkowo zbieżne. Twierdzenie Riemanna. Iloczyn Cauchy’ego szeregów. Szeregi funkcyjne – zbieżność punktowa. Definicja i własności funkcji ekspotencjalnej. Funkcja logarytmiczna.
4. Definicja granicy funkcji w punkcie. Liczenie granic funkcji wielu i jednej zmiennej rzeczywistej. Twierdzenie o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji, o zachowaniu nierówności w granicy, o trzech funkcjach.
5. Funkcje ciągłe. Własności funkcji ciągłych: o lokalnym zachowaniu znaku, własności Darboux, Weierstrassa o przyjmowaniu wartości najmniejszej i największej na przedziale domkniętym i ograniczonym. Twierdzenie o granicy złożenia funkcji ciągłych.
6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej rzeczywistej – podstawowe definicje i twierdzenia. Twierdzenie Rolla, Lagrange’a, Taylora. Wyznaczanie ekstremów lokal\-nych – warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum.
7. Symbole nieoznaczone. Reguła de l’Hospitala.
8. Formy liniowe, dwuliniowe i kwadratowe. Określoność formy kwadratowej. Twierdzenie Sylwestera.
9. item Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych – podstawowe definicje (w tym definicja różniczkowalności funkcji i różniczki funkcji w punkcie, definicje pochodnych cząstkowych, kierunkowych, definicja gradientu funkcji, macierzy Hessego) i twierdzenia. Twierdzenie Taylora. Wyznaczanie ekstremów lokalnych – warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum.
10. Funkcja pierwotna. Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego m.in. twierdzenia o całkowaniu przez części i przez podstawienie, o wartości średniej. Efektywne wyznaczaczanie pierwotnej dla pewnych klas funkcji. Wzory rekurencyjne.
11. Całka oznaczona – definicje i twierdzenia. Zmiana zmiennych w całce oznaczonej. Zastosowania całki oznaczonej: geometryczne (pole obszaru płaskiego, objętość bryły obrotowej, długość krzywej) i fizyczne (praca). Całki niewłaściwe – wzmianka.
12. Całki wielokrotne, całki iterowane. Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce wielokrotnej i przykłady jego zastosowań. Geometryczne i fizyczne zastosowania całek wielokrotnych.
13. Całka krzywoliniowa skierowana i jej własności. Twierdzenie o zamianie na całkę oznaczoną. Twierdzenie Greena i jego zastosowania. Twierdzenie o całce krzywoliniowej w polu potencjalnym. Całka krzywoliniowa nieskierowana.
14. powierzchniowy, definicja i własności całki powierzchniowej niezorientowanej. Płat powierzchniowy zorientowany. Definicja całki powierzchniowej zorientowanej i jej podstawowe własności. Twierdzenie o zamianie na całkę podwójną. Strumień pola wektorowego. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego.

Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 168 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w wykładach 42 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 40 godz
Udział w ćwiczeniach audytoryjnych 56 godz
Przygotowanie do zajęć 30 godz
Pozostałe informacje
Sposób obliczania oceny końcowej:

Ocena końcowa = 50% oceny z egzaminu + 50% oceny z ćwiczeń

Wymagania wstępne i dodatkowe:

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  • F.Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych, Warszawa, PWN, 1979.
  • G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2, 3, Warszawa, PWN, 1986.
  • M. Gewert, Z. Skoczylas, zestawy książek Analiza matematyczna 1 i Analiza matematyczna 2, Wrocław, Oficyna GiS, 2002.
  • W. Stankiewicz, J. Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych,cz. 1 i 2, Warszawa, PWN, 1995.
  • G.N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1977.
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

Nie podano dodatkowych publikacji

Informacje dodatkowe:

udział „teoretycznych” punktów ECTS: 6