Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Równania różniczkowe
Tok studiów:
2015/2016
Kod:
BIT-1-205-s
Wydział:
Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Informatyka Stosowana
Semestr:
2
Profil kształcenia:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma i tryb studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Osoba odpowiedzialna:
dr hab. Bożek Bogusław (bozek@agh.edu.pl)
Osoby prowadzące:
dr Figura Bogdan (figura@agh.edu.pl)
Krótka charakterystyka modułu

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Powiązania z EKK Sposób weryfikacji efektów kształcenia (forma zaliczeń)
Wiedza
M_W001 Student posiada wiedzę z zakresu równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych i ich zastosowań w fizyce i naukach technicznych IT1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W002 Student posiada wiedzę z zakresu modelowania matematycznego i zna modele różniczkowe kilku zagadnień technicznych IT1A_W08 Egzamin,
Kolokwium
Umiejętności
M_U001 Student potrafi rozwiązywać typowe równania różniczkowe IT1A_U01, IT1A_U06 Kolokwium
M_U002 Student potrafi ułożyć równanie różniczkowe dla prostych zagadnień technicznych, rozwiązać je i przeanalizować otrzymane rozwiązania IT1A_U15 Kolokwium
Kompetencje społeczne
M_K001 Student posiada umiejętność współpracy i posiada zdolność do samokształcenia IT1A_K01, IT1A_K03, IT1A_K05 Kolokwium
Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Forma zajęć
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Inne
E-learning
Wiedza
M_W001 Student posiada wiedzę z zakresu równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych i ich zastosowań w fizyce i naukach technicznych + + - - - - - - - - -
M_W002 Student posiada wiedzę z zakresu modelowania matematycznego i zna modele różniczkowe kilku zagadnień technicznych + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Student potrafi rozwiązywać typowe równania różniczkowe + + - - - - - - - - -
M_U002 Student potrafi ułożyć równanie różniczkowe dla prostych zagadnień technicznych, rozwiązać je i przeanalizować otrzymane rozwiązania + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Student posiada umiejętność współpracy i posiada zdolność do samokształcenia + + - - - - - - - - -
Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład:

1. Omówienie przedmiotu i zalecanej literatury. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych zwyczajnych. Formalna definicja równania różniczkowego i jego rozwiązania, postać ogólna i normalna. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania różniczkowego rzędu pierwszego. Sprowadzanie równania różniczkowego rzędu n-tego do układu równań różniczkowych rzędu pierwszego.
2. Proste typy równań różniczkowych: o zmiennych rozdzielonych, jednorodne, zupełne (wyznaczanie czynnika całkującego), Clairauta, Lagrange’a.
3. Równania i układy równań różniczkowych liniowych:
• Istnienie i postać rozwiązania.
• Skalarne równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Równanie Bernoulliego. Równanie Riccatiego.
• Skalarne równanie różniczkowe n-tego rzędu. Wrońskian. Fundamentalny układ rozwiązań. Metoda uzmienniania stałych. Obniżanie rzędu równania różniczkowego. Zasada superpozycji. Równania różniczkowe n-tego rzędu o współczynnikach stałych. Metoda przewidywań.
• Układ skalarnych równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. Układ fundamentalny rozwiązań. Metoda uzmienniania stałych.
• Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach. Metoda wektorów i wartości własnych. Sprowadzanie macierzy do postaci Jordana. Rowiązywanie układu x’=Ax przez sprowadzenie macierzy układu do postaci Jordana.
4. Poszukiwanie rozwiązań równań różniczkowych w postaci szeregów potęgowych. Twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej. Osobliwe punkty regularne równań rzędu drugiego. Równanie indeksowe. Szeregi Frobeniusa.
5. Stabilność rozwiązań równań różniczkowych. Twierdzenie o ciągłej zależności rozwiązania od warunków początkowych. Stabilność, lokalna asymptotyczna stabilność i globalna asymptotyczna stabilność rozwiązania równania różniczkowego – definicje. Twierdzenie Lapunowa. Zastosowanie do układu x’=Ax i do równania skalarnego x’=f(x). Problem Routha-Hurwitza.
6. Punkty osobliwe równań różniczkowych. Klasyfikacja. Zastosowania w teorii sterowania.
7. Rachunek operatorowy. Transformata Laplace’a. Niektóre własności transformaty. Wyznaczanie transformaty na podstawie równania różniczkowego. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty. Twierdzenia o rozkładzie, przesunięciu rzeczywistym, przesunięciu zespolonym, splocie. Zastosowanie transformaty Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych.
8. Wzmianka o równaniach różniczkowych cząstkowych. Klasyfikacja równań liniowych. Przykłady zagadnień fizycznych opisywanych równaniami cząstkowymi.

Ćwiczenia audytoryjne:

1. Omówienie przedmiotu i zalecanej literatury. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych zwyczajnych. Formalna definicja równania różniczkowego i jego rozwiązania, postać ogólna i normalna. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania różniczkowego rzędu pierwszego. Sprowadzanie równania różniczkowego rzędu n-tego do układu równań różniczkowych rzędu pierwszego.
2. Proste typy równań różniczkowych: o zmiennych rozdzielonych, jednorodne, zupełne (wyznaczanie czynnika całkującego), Clairauta, Lagrange’a.
3. Równania i układy równań różniczkowych liniowych:
• Istnienie i postać rozwiązania.
• Skalarne równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Równanie Bernoulliego. Równanie Riccatiego.
• Skalarne równanie różniczkowe n-tego rzędu. Wrońskian. Fundamentalny układ rozwiązań. Metoda uzmienniania stałych. Obniżanie rzędu równania różniczkowego. Zasada superpozycji. Równania różniczkowe n-tego rzędu o współczynnikach stałych. Metoda przewidywań.
• Układ skalarnych równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. Układ fundamentalny rozwiązań. Metoda uzmienniania stałych.
• Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach. Metoda wektorów i wartości własnych. Sprowadzanie macierzy do postaci Jordana. Rowiązywanie układu x’=Ax przez sprowadzenie macierzy układu do postaci Jordana.
4. Poszukiwanie rozwiązań równań różniczkowych w postaci szeregów potęgowych. Twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej. Osobliwe punkty regularne równań rzędu drugiego. Równanie indeksowe. Szeregi Frobeniusa.
5. Stabilność rozwiązań równań różniczkowych. Twierdzenie o ciągłej zależności rozwiązania od warunków początkowych. Stabilność, lokalna asymptotyczna stabilność i globalna asymptotyczna stabilność rozwiązania równania różniczkowego – definicje. Twierdzenie Lapunowa. Zastosowanie do układu x’=Ax i do równania skalarnego x’=f(x). Problem Routha-Hurwitza.
6. Punkty osobliwe równań różniczkowych. Klasyfikacja. Zastosowania w teorii sterowania.
7. Rachunek operatorowy. Transformata Laplace’a. Niektóre własności transformaty. Wyznaczanie transformaty na podstawie równania różniczkowego. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty. Twierdzenia o rozkładzie, przesunięciu rzeczywistym, przesunięciu zespolonym, splocie. Zastosowanie transformaty Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych.
8. Wzmianka o równaniach różniczkowych cząstkowych. Klasyfikacja równań liniowych. Przykłady zagadnień fizycznych opisywanych równaniami cząstkowymi.

Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 144 godz
Punkty ECTS za moduł 5 ECTS
Udział w wykładach 28 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 30 godz
Udział w ćwiczeniach audytoryjnych 56 godz
Przygotowanie do zajęć 30 godz
Pozostałe informacje
Sposób obliczania oceny końcowej:

Ocena końcowa = 50% oceny z egzaminu + 50% oceny z ćwiczeń

Wymagania wstępne i dodatkowe:

Wiedza ze szkoły średniej i kurs analizy matematycznej.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

A.F. Filippow, Zbiór zadań z równań różniczkowych, Izd. Nauka, Moskwa 1973.
Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne (teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych), Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999.
K.K.Ponomariew, Układanie i rozwiązywanie równań różniczkowych w zagadnieniach technicznych, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1969.
W.Stankiewicz, J.Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, Część II, PWN, Warszawa 1983.
D.G.Zill, Differential Equations with Boundary-Value Problems, PWS-KENT Publishing Company, Boston, 1986.

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

Nie podano dodatkowych publikacji

Informacje dodatkowe:

udział „teoretycznych” punktów ECTS: 5