Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Matematyczne podstawy mechaniki kwantowej
Tok studiów:
2016/2017
Kod:
AMA-3-408-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia III stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
4
Profil kształcenia:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Angielski
Forma i tryb studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Osoba odpowiedzialna:
dr hab. Kużel Sergiusz (kuzhel@agh.edu.pl)
Osoby prowadzące:
dr hab. Kużel Sergiusz (kuzhel@agh.edu.pl)
Krótka charakterystyka modułu

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Powiązania z EKK Sposób weryfikacji efektów kształcenia (forma zaliczeń)
Wiedza
M_W001 Zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii operatorów samosprzężonych. MA3A_W01 Egzamin,
Aktywność na zajęciach
M_W002 Posiada pogłębioną wiedzę na temat teorii spektralnej oraz potrafi omówić konkretne przykłady Hamiltonianów mechaniki kwantowej MA3A_W01 Egzamin,
Aktywność na zajęciach
M_W003 Rozumie znaczenie postulatów mechaniki kwantowej MA3A_W01 Egzamin,
Aktywność na zajęciach
Umiejętności
M_U001 Zna zasady metody kwantowania oraz potrafi obliczyć widmo szczególnych Hamiltonianów MA3A_U01 Egzamin,
Aktywność na zajęciach
M_U002 Rozumie w jaki sposób teoria operatorów samosprzężonych może być zastosowana w badaniach mechaniki kwantowej MA3A_U01 Egzamin,
Aktywność na zajęciach
Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Forma zajęć
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Inne
E-learning
Wiedza
M_W001 Zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii operatorów samosprzężonych. + + - - - - - - - - -
M_W002 Posiada pogłębioną wiedzę na temat teorii spektralnej oraz potrafi omówić konkretne przykłady Hamiltonianów mechaniki kwantowej + + - - - - - - - - -
M_W003 Rozumie znaczenie postulatów mechaniki kwantowej + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Zna zasady metody kwantowania oraz potrafi obliczyć widmo szczególnych Hamiltonianów + + - - - - - - - - -
M_U002 Rozumie w jaki sposób teoria operatorów samosprzężonych może być zastosowana w badaniach mechaniki kwantowej + + - - - - - - - - -
Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład:
PL

1. Wstępne pojęcia matematyczne. Operatory domknięte i domykalne w przestrzeni Hilberta. Różnica między operatorami ograniczonymi a nieograniczonymi. Pojęcia operatora sprzężonego. Operatory symetryczne i samosprzężone. Części widma oraz ich sens fizyczny. Specjalne klasy operatorów samosprzężonych. Widmo operatora mnożenia. Funkcja spektralna operatora samosprzężonego. Opis widma za pomocą funkcji spektralnej. Relacje komutacyjne. Funkcje operatorów samosprzężonych. Przykłady zastosowania rachunku funkcyjnego dla operatorów samosprzężonych. Grupy operatorów unitarnych. Twierdzenie Stone’a.

2. Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej. Sformułowanie głównych postulatów mechaniki kwantowej. Stany i obserwable. Związek pomiędzy obserwablami a operatorami samosprzężonymi. Rola widma w pomiarze obserwabli. Sens fizyczny wartości własnych. Koncepcja jednocześnie wymiernych obserwabli. Uniwersalny dualizm korpuskularno-falowy. Operator energii (Hamiltonian). Równanie Schrödingera. Reprezentacje Schrodingera i Heisenberga mechaniki kwantowej.

3. Różniczkowanie obserwabli względem czasu. Metody kwantyzacji. Relacje komutacyjne Heisenberga. Sprzężone obserwabli. Relacja nieoznaczoności. Relacja nieoznaczoności położenie-pęd.

4. Oscylator harmoniczny. Operatory anihilacji i kreacji. Swobodna cząstka w przestrzeni 3D. Spin cząstki. Fermiony i bozony. Identyczne cząstki.

5. Radialne równanie Schrödingera. Rozpraszania teoria. Rozpraszanie cząstek Rozpraszanie cząstek na potencjale. Teoria rozpraszania Laxa-Philipsa.

6. Superpozycja kwantowa. Paradoks kota Schrödingera. Idea kryptografii kwantowej.

7. Koncepcja PT-symetrycznej mechaniki kwantowej. Obserwable jak operatory samosprzężone w przestrzeni Kreina. Koncepcja nieokreślonej metryki. C-symetria i niezłamana PT-symetria. Osobliwości spektralne, wyjątkowe punkty i zastosowanie w optyce.

EN

1. Mathematical preliminaries. Closed and closable operators in a Hilbert space. The difference between bounded and unbounded operators. The consept of adjoint operator. Symmetric and self-adjoint operators. The parts of the spectrum and their physical meaning. Special classes of self-adjoint operators. The spectrum of the multiplication operator. Spectral function of a self-adjoint operator. Description of spectrum in terms of spectral function. Commutation relations. Functions of a self-adjoint operators. Examples of application of functional calculus for self-adjoint operators. One-parameter groups of unitary operators. Stone theorem.


2. General concepts of Quantum mechanics. Formulation of basic postulates of QM. States and observables in QM. Relationship between observables and self-adjoint operators. The role of spectrum in the measurement of observables. Physical meaning of eigenvalues. The concept of simultaneously measurable observables. Universal wave-particle duality. The energy operator (Hamiltonian) Schrodinger equation. Schrodinger and Heisenberg pictures of QM.


3. Time differentiation of observables. Quantization methods. Heisenberg commutation relations. Canonically conjugate observables. Uncertainty relations. Heisenberg uncertainty relations.


4. Harmonic oscillator. Annihilation and creation operators The free particle in 3D-space. Particles with spin. Fermions and bosons. Identical particles.


5. The radial Schrodinger equation. Scattering theory. Scattering of a one-dimensional particle by a potential barrier. Scattering by a potential center. The Lax-Phillips scattering.


6. Quantum superposition. The Schrodinger’s cat paradox. The idea of quantum cryptography.


7. The concept of PT-symmetric Quantum Mechanics. Observables as self-adjoint operators in Krein space. The concept of indefinite metric. C-symmetry and unbroken PT-symmetry. Spectral singularities, exceptional points and application in optics.

Ćwiczenia audytoryjne:

Zajęcia ćwiczeniowe

Ilustracja tematów prezentowanych podczas wykładów Dyskusja i rozwiązanie różnych przykładów i konkretnych problemów.

Auditorium classes

Illustration of topics presented during lectures. Discussion and solution of various examples and particular problems.

Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 114 godz
Punkty ECTS za moduł 4 ECTS
Udział w wykładach 28 godz
Udział w ćwiczeniach audytoryjnych 28 godz
Przygotowanie do zajęć 28 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 28 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Pozostałe informacje
Sposób obliczania oceny końcowej:

Egzamin

Wymagania wstępne i dodatkowe:

Podstawowa wiedza z zakresu analizy funkcjonalnej i teorii prawdopodobieństwa

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

1. Leon A. Takhtajan, Quantum Mechanics for Mathematicians, Graduate Studies in Mathematics, v. 95, AMS, 2008.

2. L.D. Faddeev and O.A. Yakubovskii, Lectures on Quantum Mechanics for Mathematics Students, Student Math. Library, v. 47, AMS, 2000.

3. F.A. Berezin and M.A. Shubin, Schrödinger Equation, Kluwer, 1991.

4. John von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, Princeton University Press, 1996.

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

S. Albeverio and S. Kuzhel, PT-Symmetric Operators in Quantum Mechanics: Krein Spaces Methods, in `Non-Selfadjoint Operators in Quantum Physics: Mathematical Aspects’, Fabio Bagarello, Jean-Pierre Gazeau, Franciszek H. Szafraniec, and Miloslav Znojil, editors, 2015 John Wiley Sons, Inc.

Informacje dodatkowe:

Brak