Module also offered within study programmes:
General information:
Annual:
2017/2018
Code:
AMA-2-087-MZ-s
Name:
Elements of the Spectral Perturbations Theory
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Matematyka w zarządzaniu
Field of study:
Mathematics
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
prof. dr hab. Prykarpatski Anatolij (prykanat@agh.edu.pl)
Academic teachers:
prof. dr hab. Prykarpatski Anatolij (prykanat@agh.edu.pl)
Module summary

Teoria perturbacji jest podstawą analizy mat. zjawisk. Analizę zaczyna się zwykle od prostego problemu, który łatwo rozwiązać wykorzystując go jako przybliżenie rozwiązania rzeczywistego problemu.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence
M_K001 Potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, także w językach obcych i zna ograniczenia swojej wiedzy. MA2A_K02, MA2A_K01, MA2A_K06 Report,
Scientific paper
Skills
M_U001 Potrafi prezentować i przeprowadzać dowody, w których stosuje w razie potrzeby również narzędzia z innych działów matematyki MA2A_U14 Report,
Scientific paper
M_U002 Potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i piśmie, przedstawić poprawne rozumowanie matematyczne, formułować twierdzenia i definicje MA2A_U03, MA2A_K05, MA2A_U01, MA2A_U02 Report,
Scientific paper
Knowledge
M_W001 Posiada wiedzę na temat zasad poprawnego formułowania definicji i twierdzeń matematycznych oraz zasad poprawnej prezentacji dowodów matematycznych MA2A_W02, MA2A_W06 Scientific paper
M_W002 Rozumie i docenia znaczenie uczciwości intelektualnej w działaniach własnych i innych osób. MA2A_K04 Report,
Scientific paper
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Others
E-learning
Social competence
M_K001 Potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, także w językach obcych i zna ograniczenia swojej wiedzy. - - - - - + - - - - -
Skills
M_U001 Potrafi prezentować i przeprowadzać dowody, w których stosuje w razie potrzeby również narzędzia z innych działów matematyki - - - - - + - - - - -
M_U002 Potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i piśmie, przedstawić poprawne rozumowanie matematyczne, formułować twierdzenia i definicje - - - - - + - - - - -
Knowledge
M_W001 Posiada wiedzę na temat zasad poprawnego formułowania definicji i twierdzeń matematycznych oraz zasad poprawnej prezentacji dowodów matematycznych - - - - - + - - - - -
M_W002 Rozumie i docenia znaczenie uczciwości intelektualnej w działaniach własnych i innych osób. - - - - - + - - - - -
Module content
Seminar classes:
  1. Teoria perturbacji jest podstawą dla nowoczesnej analizy matematycznej zjawisk i procesów ewolucyjnych w matematyce stosowanej. Teoria perturbacji jest dzisiaj częścią nauki o ogromnym znaczeniu teoretycznym i praktycznym. Dokładnie zaczęła się ona w latach 1926/27 wraz z pracami Rayleigha i Schrodingera przy badaniu widma operatorów różniczkowych mechaniki kwantowej. Obecnie metody perturbacyjne mają ogromną bibliografię liczoną w tysiącach pozycji i pozostają niezmiennie w użyciu.

    Analizę zaczyna się zwykle od prostego problemu, który łatwo rozwiązać, tzw. „problemu bez perturbacj” i wykorzystuje się go jako przybliżenie rozwiązania bardziej skomplikowanego problemu, który różni się od podstawowego tylko istnieniem pewnych małych składnikow. Rozwiązania poszukuje się w postaci kolejnych przybliżeń rozwiązania podstawowego, przedstawionego najczęściej w postaci szeregu potęgowego pewnego małego parametru. Generalnie metody perturbacyjne mogą być sformułowane w następującym sensie. Zbadajmy jak perturbacje (małe) wielkości nominalnego parametru mogą zmienić rozwiązanie rozważanego problemu. Założmy, że rozwiązanie problemu, powiedzmy x0, odpowiada macierzy wspołczynnikow A. Podstawowy problem teorii perturbacji jest następujący: jak zmieni się rozwiązanie, jeżeli macierz A zmieni wartość na A+αB, gdzie α jest pewnym małym parametrem, a B jest perturbacją. Poszukujemy rozwiązania w postaci szeregu jednorodnych składnikow zależnych od macierzy perturbacji B,
    tzn. postaci x:=x₀+αx₁+α²x₂ +α³x₂ +… (1).

    Jeżeli ograniczymy rozważania do dwóch pierwszych składnikow szeregu (1), mówimy o metodzie perturbacji I rzędu, jeżeli do trzech to II rzędu itd. W metodach perturbacyjnych poważne trudności są związane z koniecznością wykonywania dużej ilości obliczeń analitycznych. Jako wynik otrzymujemy zbiór klasycznych zadań, które zwykle rozwiązujemy na drodze numerycznej lub analitycznej.
    W przypadku gdy A oraz B są operatorami w przestrzeni Hilberta, potrzebujemy zbadać perturbacje widma operatora A, co jest powiązane z własnościami jego rezolwenty oraz reprezentacji analitycznej odpowiedniej miary spektralnej. Wszystko to daje możliwość skonstruowania efektywnych wzorów na widmo dla perturbacji widma operatora A w zalezności od struktury operatora perturbacji B.

    Jako zastosowania są proponowane ciekawe zagadnienia z nowoczesnej mechaniki kwantowej i teorii rozpraszania ważnej dla fizyki cząstek elementarnych.

  2. teoria perturbacji operatorów samosprzeżonych

    \documentclass{article}
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \usepackage{amsfonts}

    %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
    %TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
    %TCIDATA{Codepage=65001}
    %TCIDATA{}
    %TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
    %TCIDATA{Created=Tuesday, April 07, 2015 08:29:24}
    %TCIDATA{LastRevised=Tuesday, May 02, 2017 17:25:16}
    %TCIDATA{}
    %TCIDATA{}
    %TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}

    \newtheorem{theorem}{Theorem}
    \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
    \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
    \newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
    \newtheorem{case}[theorem]{Case}
    \newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
    \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
    \newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
    \newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
    \newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
    \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
    \newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
    \newtheorem{example}[theorem]{Example}
    \newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
    \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
    \newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
    \newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
    \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
    \newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
    \newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
    \newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
    \newenvironment{proof}1[Proof]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
    \input{tcilatex}

    \begin{document}

    \textbf{Spektralna} \textbf{Teoria Perturbacji Operator\’{o}w }

    \bigskip

    Mamy dobrze zdefioniowany samosprz\k{e}\.{z}ony zwarty (Hermitowski)
    operator $A:H\rightarrow H$ w przestrzeni Hilberta $\ H,$ tj. $A^{\ast }=A,$
    oraz jego samosprz\k{e}\.{z}on\k{a} perturbacj\k{e} $\delta A:H\rightarrow
    H. $ Widmo operatora $A$ uwa\.{z}a si\k{e} \.{z}e jest znane – to dyskretne
    liczby $\lambda \in \mathbb{R},j\in \mathbb{Z}{+},$ oraz jego
    ortonormowane funkcje w\l asne $\varphi \in H,j\in \mathbb{Z}{+},$ tj.%
    \begin{equation}
    A\varphi _{j}=\lambda _{j}\varphi _{j},\text{ \ \ \ \ \ }(\varphi
    _{j},\varphi _{k})=\delta {jk} \label{P1}
    \end{equation}%
    dla wszystkich $j,k\in \mathbb{Z}
    {+}.$

    \textbf{Powstaje problem: }znalez\‘{c} widmo operatora $A+\delta
    A:H\rightarrow H,$ \ gdy perturbacja $\delta A$ jest bardzoo ma\l a, tj.
    norma $||\delta A||$ jest ograniczona i d\k{a}\.{z}y do zera, $||\delta
    A||\rightarrow 0$ w zaleno\’{s}ci od wewnetrznych parametr\‘{o}w. W tym celu
    s\k{a} rozpatrywane\textit{\ } funkcje $\psi \in H,j\in \mathbb{Z}{+},$
    - odpowiednie funkcje w\l asne operatora $A+\delta A,$ oraz $\mu \in
    \mathbb{R},j\in \mathbb{Z}
    {+},$ jego warto\’{s}ci w\l asne, tj.%
    \begin{equation}
    (A+\delta A)\psi _{j}=\mu _{j}\psi _{j}. \label{P2}
    \end{equation}%
    St\k{a}d otrzymujemy, \.{z}e
    \begin{equation}
    \delta A\psi _{j}=(\mu -A)\psi , \label{P3}
    \end{equation}%
    dla wzystkich $j\in \mathbb{Z}
    {+}.$ Poniewa\.{z} operator jest Hermitowski,
    tj. $(\varphi ,A\psi )=(A\varphi ,\psi )$ dla dowowlnych $\varphi ,\psi \in
    H $ oraz $j\in \mathbb{Z}
    {+}$ z\ (\ref{P3}) otrzymujemy, \.{z}e
    \begin{equation}
    (\varphi _{j},\delta A\psi _{j})=(\varphi _{j},(\mu _{j}-A)\psi _{j})=(\mu
    _{j}-\lambda _{j})(\varphi _{j},\psi _{j}). \label{P4}
    \end{equation}

    Tak wi\k{e}c, mamy dla wszystkich $j\in \mathbb{Z}_{+}$:%
    \begin{equation}
    \delta \lambda _{j}:=\mu _{j}-\lambda _{j}=\frac{(\varphi _{j},\delta A\psi
    _{j})}{(\varphi _{j},\psi )}. \label{P5}
    \end{equation}%
    Znajdziermy teraz wz\’{o}r dla funkcji w\l asnej $\psi \in H,$ $j\in
    \mathbb{Z}
    {+}.$ Skorzystamy z rozwini\k{e}cia po funkcjach w\l asnych w
    postaci%
    \begin{equation}
    \psi :=\sum_{k\in \mathbb{Z}{+}}\varphi c{kj}, \label{P6}
    \end{equation}%
    gdzie liczby $c
    {kj}=(\psi _{j},\varphi ),j,k\in \mathbb{Z},$ tj.
    \begin{eqnarray}
    \psi {j} &=&\sum{k\in \mathbb{Z}
    {+}}\varphi _{k}(\varphi ,\psi
    )=(\sum{k\in \mathbb{Z}
    {+}}\varphi _{k}\otimes \varphi _{k})\text{ }%
    \psi = \label{P7} \\
    &=&\varphi c{jj}+(\sum
    {k\neq j}\varphi _{k}\otimes \varphi _{k})\psi
    _{j}:=\varphi _{j}c_{jj}+P_{j}\psi , \nonumber
    \end{eqnarray}%
    gdzie operator
    \begin{equation}
    P
    {j}:=\mathbf{1}-\varphi _{j}\otimes \varphi =\sum{k\neq j}\varphi
    \otimes \varphi {k} \label{P8a}
    \end{equation}%
    jest operatorem rzutowania, tj $P_{j}^{2}=P_{j}$ dla wszystkich $j\in
    \mathbb{Z}_{+},$\ poniewa\.{z} z \ (\ref{P7}) zachodzi, \.{z}\k{e} wyra\.{z}%
    enie tensorowe $\sum
    {j\in \mathbb{Z}
    {+}}\varphi \otimes \varphi $
    jest dok\l adnie operatorem jednostkowym, tj.%
    \begin{equation}
    \sum
    {k\in \mathbb{Z}
    {+}}\varphi _{k}\otimes \varphi _{k}=\mathbf{1.}
    \label{P8b}
    \end{equation}

    Podstawiamy teraz wz\‘{o}r (\ref{P7}) w (\ref{P3}):%
    \begin{equation}
    \ (\ \lambda _{j}-A)\psi _{j}=(\lambda _{j}-A-\delta A+\delta A)\psi
    _{j}=(\lambda _{j}-\mu _{j}+\delta A)\psi , \label{P9}
    \end{equation}%
    albo
    \begin{equation}
    P
    {j}(\ \lambda _{j}-A)\psi =P{j}(\lambda _{j}-\mu \delta A)\psi
    {j} \label{P10}
    \end{equation}%
    dla wszystkich $j\in \mathbb{Z}
    {}.$ Ze wzoru (\ref{P10}) oraz warunku
    przemienno\’{s}ci $P
    {j}(A-\lambda )=(A-\lambda )P{j}$ mo\.{z}na
    otrzyma\’{c}%
    \begin{equation}
    P
    {j}\psi =P{j}(\lambda _{j}-A)^{-1}(\lambda _{j}-\mu +\delta
    A)\psi {j} \label{P11}
    \end{equation}%
    dla wszystkich $j\in \mathbb{Z}
    {+}.$ \ Teraz, przypominaj\k{a}c \ (\ref{P7}%
    ), znajdujemy z \ (\ref{P11}) dla wszystkich $j\in \mathbb{Z}
    {+}$ wyra\.{z}%
    enie dla funkcji w\l asnych $\psi _{j}\in H:$%
    \begin{equation}
    \psi =c{jj}\varphi _{j}+P_{j}(\lambda _{j}-A)^{-1}(\lambda _{j}-\mu
    _{j}+\delta A)\psi _{j}. \label{P12}
    \end{equation}

    R\‘{o}wno\’{s}\‘{c} \ (\ref{P12}) daje si\k{e} lekko ziterowa\’{c}, co daje
    wz\’{o}r
    \begin{equation}
    \psi =c_{jj}\sum_{n\in \mathbb{Z}_{+}}[P{j}(\lambda
    _{j}-A)^{-1}(\lambda _{j}-\mu _{j}+\delta A)]^{n}\varphi \ \label{P13}
    \end{equation}%
    dla wszystkich $j\in \mathbb{Z}
    {+}.$

    Teraz, stosuj\k{a}c wz\‘{o}r \ (\ref{P5}) oraz to, \.{z}e operator $\delta A$
    jest samospr\.{z}\k{e}zony, otzrymujemy ostatecznie dla wszystkich $j\in
    \mathbb{Z}_{+}$ \ rozk\l ad:
    \begin{equation}
    \begin{array}{c}
    \delta \lambda =\sum_{n\in \mathbb{Z}{+}}(\delta A\varphi ,[\frac{%
    P
    {j}}{(\lambda _{j}-A)}(\lambda _{j}-\mu _{j}+\delta A)]^{n}\varphi _{j}).%
    \end{array}
    \label{P14}
    \end{equation}%
    z dok\l adno\’{s}ci\k{a} $O(||\delta A||^{3}),$ gdy $||\delta A||\rightarrow
    0.$ Zauwa\.{z}my, \.{z}e wektor $\delta A\varphi _{j}\in H,j\in \mathbb{Z}%
    {+},$ mo\.{z}\k{e} by\‘{c} rozwini\k{e}ty w szereg
    \[
    \delta A\varphi =(\sum{k\in \mathbb{Z}
    {+}}\varphi _{k}\otimes \varphi
    )\delta A\varphi =\sum{k\in \mathbb{Z}{+}}\varphi _{k}(\varphi
    _{k},\delta A\varphi _{j}),
    \]%
    co na podstawie \ (\ref{P14}) prowadzi do wzoru:\bigskip
    \[
    \begin{array}{c}
    \delta \lambda _{j}=(\varphi ,\delta A\varphi )+\sum{k\neq j\in
    \mathbb{Z}
    {+}}\frac{(\varphi _{k},\delta A\varphi _{j})^{2}}{(\lambda
    _{j}-\lambda _{k})}+O(||\delta A||^{3}),%
    \end{array}%
    \]%
    poniewa\.{z} $(\varphi _{k},\varphi )=0$ dla $j\neq k\in \mathbb{Z}{+}.$
    Wi\k{e}c ostateczny wz\’{o}r dla perturbacji w\l asno\’{s}ci w\l asnej jest:

    \begin{equation}
    \delta \lambda _{j}=(\varphi ,\delta A\varphi )+\sum{k\neq j\in
    \mathbb{Z}
    {+}}\frac{(\varphi _{k},\delta A\varphi _{j})^{2}}{\lambda
    _{j}-\lambda _{k}}+O(||\delta A||^{3}). \label{P15}
    \end{equation}

    \textbf{Literatura. }

    1. Tosio Kato. Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag,
    Berlin Heidelberg New York 1980

    2. Krzysztof Maurin, Metody przestrzeni Hilberta, PWN, Warszawa 1959

    \end{document}

Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 60 h
Module ECTS credits 2 ECTS
Participation in seminar classes 30 h
Preparation for classes 30 h
Additional information
Method of calculating the final grade:

Ocena za referat i aktywność na zajęciach.

Prerequisites and additional requirements:

Wiedza z zakresu: analizy matematycznej, wstępu do teorii spektralnej operatorów, elementy analizy zespolonej.

Recommended literature and teaching resources:

1. Bellman R: Introduction to m matrix analysis. New York : Mc-Graw-Hill Book
Company, 1976.

2. Gelfand I.M.: Wykłady z algebry liniowej. Warszawa: PWN, 1971.

3. Gomuliński A., Witkowski M.: Mechanika budowli: kurs dla zaawansowanych.
Warszawa: Oficyna Wyd. Pol. Warszawskiej, 1993.

4. Kato T.: Perturbation theory for linear operators. Berlin : Springer-Verlag, 1966.

6. Kiełbasiński A., Schwetlick H.: Numerische lineare Algebra. Berlin: VEB Deutcher
Verlag der Wissenschaften , 1988.

7. Korn G.A., Korn T.M.: Matematyka dla pracownikow naukowych i inżynierow. Cz. I.
Warszawa: PWN, 1983.

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. Yu.A. Mitropolsky, V.H. Samoylenko, Differential-difference dynamical systems, associtated with the difference dirac operator, and their complete integrability, Ukrainian Math. J. 37 (1985) 2, 180–186

2. A.K. Prykarpatsky, Elements of the integrability theory of discrete dynamical systems, Ukrainian Math. J. 39 (1987) 1, 298–301 [in Russian].

3. D. Blackmore, A.K. Prykarpatsky, V. Samoylenko, Nonlinear dynamical systems of mathematical physics: spectral and differential-geometric integrability analysis, World Scientific, New York, 2011.

4. N.N. Bogolubov (Jr.), A.K. Prykarpatsky, Inverse periodic problem for a discrete approximation of the nonlinear Schrödinger equation, Dokl. AN SSSR 265 (1982) 5, 1103–1108.

5. Yu.A. Mitropolsky, N.N. Bogolubov (Jr.), A.K. Prykarpatsky, V.H. Samoylenko, Integrable dynamical systems: differential-geometric and spectral aspects, Naukova Dumka, Kyiv, 1987 [in Russian].

Additional information:

Korzystny bardzo także podręcznik:

8. Krzysztof Maurin, Metody przestrzeni Hilberta, PWN, Warszawa 1959