Module also offered within study programmes:
General information:
Annual:
2017/2018
Code:
AMA-2-023-MZ-s
Name:
Elements of approximation theory
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Matematyka w zarządzaniu
Field of study:
Mathematics
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Wronicz Zygmunt (wronicz@agh.edu.pl)
Academic teachers:
dr hab. Wronicz Zygmunt (wronicz@agh.edu.pl)
dr Mielczarek Dominik (dmielcza@wms.mat.agh.edu.pl)
Module summary

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence
M_K001 Wie, że matematyki należy uczyć się ze zrozumieniem, zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Skills
M_U001 Umie wykorzystać twierdzenia i metody rachunku różniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych w zagadnieniach wyznaczania elementów najlepszej aproksymacji Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_U002 Umie wyznaczać szereg Fouriera danej funkcji Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Knowledge
M_W001 Zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) aproksymacyjne w przestrzeni liniowej unormowanej i przestrzeni Hilberta Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_W002 Zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) teorii funkcji giętych Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Others
E-learning
Social competence
M_K001 Wie, że matematyki należy uczyć się ze zrozumieniem, zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia + - - - - - - - - - -
Skills
M_U001 Umie wykorzystać twierdzenia i metody rachunku różniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych w zagadnieniach wyznaczania elementów najlepszej aproksymacji + - - - - - - - - - -
M_U002 Umie wyznaczać szereg Fouriera danej funkcji + - - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) aproksymacyjne w przestrzeni liniowej unormowanej i przestrzeni Hilberta + - - - - - - - - - -
M_W002 Zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) teorii funkcji giętych + - - - - - - - - - -
Module content
Lectures:
  1. Aproksymacja w przestrzeni unormowanej

    Podstawowe twierdzenie aproksymacyjne w przestrzeni
    liniowej unormowanej. Własności najlepszej aproksymacji.

  2. Maksymalne funkcjonały liniowe

    Aproksymacja jednostajna funkcji ciągłych.

  3. Aproksymacja w przestrzeni Hilberta

    Twierdzenie aproksymacyjne w przestrzeni Hilberta.Układy
    ortonormalne, nierówność Bessla, równość Parsevala.

  4. Twierdzenie Haara-Kołmogorowa

    Twierdzenie Haara-Kołmogorowa o jednoznaczności. Wielomiany algebraiczne i trygonometryczne najlepszej aproksymacji. Wielomiany Czebyszewa.

  5. Charakteryzacja elementów optymalnych w przestrzeni funkcji ciągłych na zbiorach zwartych

    Twierdzenie Kołmogorowa. Warunek Haara, układy Czebyszewa.

  6. Twierdzenie o zbieżności szeregu Fouriera Funkcje o wahaniu skończonym, Twierdzenie o zbieżności szeregu Fouriera funkcji o wahaniu ograniczonym (bd). Twierdzenie Fejera.
  7. Wielomiany Bernsteina. Twierdzenia Weierstrassa i Stone’a-Weierstrassa.
  8. Twierdzenie o jednoznaczności najlepszej aproksymacji
  9. Nierówności Bernsteina i Markowa.
  10. Funkcje gięte (splines). Podstawowe własności.
  11. Szeregi Fouriera, podstawowe własności
  12. Wielomiany ortogonalne
  13. Aproksymacja w przestrzeni Lp (CD)
  14. Interpolacja i najlepsza aproksymacja w przestrzeni Lp.
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 106 h
Module ECTS credits 4 ECTS
Participation in lectures 28 h
Realization of independently performed tasks 60 h
Examination or Final test 4 h
Contact hours 14 h
Additional information
Method of calculating the final grade:
  1. Ocenę końcową wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    SW = OE,
    gdzie OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  2. Ocena końcowa OK jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW > 4.75, to OK:=5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW > 4.25, to OK:=4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW > 3.75, to OK:=4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW > 3.25, to OK:=3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW > 3.00, to OK:=3.0 (dst).
Prerequisites and additional requirements:

Prerequisites and additional requirements not specified

Recommended literature and teaching resources:
  1. N.J.Achiezer, Teoria aproksymacji, Warszawa 1957.
  2. E.W.Cheney, Introduction to approximation theory, AMS Chelsea Publishing, 1998.
  3. C.De Boor, A guide to spline theory, Springer-Verlag 1978.
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. Szlachtowska, Ewa; Mielczarek, Dominik
Eigenvalue problem for the weighted p-Laplacian.
Tatra Mt. Math. Publ. 63, 269-281 (2015).

2. Szlachtowska, Ewa; Mielczarek, Dominik
Generalized duality mapping. (English) Zbl 06459673
J. Indian Math. Soc., New Ser. 82, No. 1-2, 169-183 (2015).

3. Mielczarek, Dominik; Rydlewski, Jerzy; Szlachtowska, Ewa
On the solvability of Dirichlet problem for the weighted p-Laplacian.
Discuss. Math., Differ. Incl. Control Optim. 34, No. 1, 89-103 (2014).

4. Góra, Michał; Mielczarek, Dominik
Comments on “Necessary and sufficient stability condition of fractional-order interval linear systems”.
Automatica 50, No. 10, 2734-2735 (2014).

5. Rydlewski, Jerzy P.; Mielczarek, Dominik
On the maximum likelihood estimator in the generalized beta regression model.
Opusc. Math. 32, No. 4, 761-774 (2012).

6. Szlachtowska, Ewa; Mielczarek, Dominik
On the uniqueness of minimal projections in Banach spaces. (English) Zbl 1245.41007
Opusc. Math. 32, No. 3, 579-590 (2012).

7. Mielczarek, Dominik
Minimal and co-minimal projections in spaces of continuous functions.
Opusc. Math. 30, No. 4, 457-464 (2010).

8. Mielczarek, Dominik
The unique minimality of an averaging projection. Monatsh. Math. 154, No. 2, 157-171 (2008).

9. Mielczarek, Dominik
Minimal projections onto spaces of symmetric matrices.
Zesz. Nauk. Uniw. Jagiell. 1290, Univ. Iagell. Acta Math. 44, 69-82 (2006).

Additional information:

None