Module also offered within study programmes:
General information:
Annual:
2017/2018
Code:
AMA-2-115-MZ-s
Name:
Probability Theory
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Matematyka w zarządzaniu
Field of study:
Mathematics
Semester:
1
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. inż. Szkutnik Zbigniew (szkutnik@agh.edu.pl)
Academic teachers:
dr hab. inż. Szkutnik Zbigniew (szkutnik@agh.edu.pl)
dr Przybyłowicz Paweł (pprzybyl@agh.edu.pl)
dr Nosek Konrad (konosek@agh.edu.pl)
dr Ćmiel Bogdan (cmielbog@mat.agh.edu.pl)
Module summary

Rozszerzony kurs rachunku prawdopodobieństwa. Rozkłady warunkowe. Twierdzenia graniczne. Łańcuch Markowa. Przykłady procesów stochastycznych.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence
M_K001 rozumie ograniczoność własnej wiedzy i potrzebę dalszego kształcenia MA2A_K02, MA2A_K01 Activity during classes,
Oral answer
Skills
M_U001 zna główne techniki dowodzenia twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa wykorzystujące aparat teorii miary i funkcji zespolonych i potrafi je stosować MA2A_U03, MA2A_U07, MA2A_U01, MA2A_U13, MA2A_U02, MA2A_U14, MA2A_U04 Activity during classes,
Test,
Oral answer
M_U002 Zna podstawowe modele probabilistyczne i potrafi je stosować w zagadnieniach praktycznych MA2A_U11, MA2A_U18 Activity during classes,
Test,
Oral answer
Knowledge
M_W001 ma pogłębioną wiedzę z opartego na teorii miary rachunku prawdopodobieństwa ze szczególnym uwzględnieniem warunkowej wartości oczekiwanej i twierdzeń granicznych i rozumie jego związki z innymi działami matematyki MA2A_W01, MA2A_W02 Activity during classes,
Test,
Oral answer
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Others
E-learning
Social competence
M_K001 rozumie ograniczoność własnej wiedzy i potrzebę dalszego kształcenia + + - - - - - - - - -
Skills
M_U001 zna główne techniki dowodzenia twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa wykorzystujące aparat teorii miary i funkcji zespolonych i potrafi je stosować + + - - - - - - - - -
M_U002 Zna podstawowe modele probabilistyczne i potrafi je stosować w zagadnieniach praktycznych + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 ma pogłębioną wiedzę z opartego na teorii miary rachunku prawdopodobieństwa ze szczególnym uwzględnieniem warunkowej wartości oczekiwanej i twierdzeń granicznych i rozumie jego związki z innymi działami matematyki + + - - - - - - - - -
Module content
Lectures:

1. Przypomnienie pojęcia wektora losowego, w szczególności wektora o wielowymiarowym rozkładzie normalnym oraz transformacje wektorów losowych. Sigma-podciała i częściowa informacja, prawdopodobieństwo warunkowe względem sigma-ciała, twierdzenie o istnieniu regularnych rozkładów warunkowych (bd).

2. Przypadki szczególne regularnych rozkładów warunkowych: wektory o rozkładach ciągłych, dyskretnych i przypadek mieszany. Rozkład ujemny dwumianowy i jego interpretacje aktuarialne.

3. Warunkowa wartość oczekiwana (WWO) względem sigma-ciała: definicja, istnienie, związek z regularnymi rozkładami warunkowymi, własności.

4. Własności WWO (c.d.), przykłady zastosowań, funkcja regresji.

5. Przypomnienie pojęć zbieżności z prawdopodobieństwem jeden i zbieżności według prawdopodobieństwa dla zmiennych losowych, twierdzenie Scheffego, słaba zbieżność.

6. Lemat Słuckiego, konstrukcja Skorochoda, charakteryzacje słabej zbieżności.

7. Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych i ich własności.

8. Własności funkcji charakterystycznych (c.d.). W szczególności: twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a i twierdzenie Levy’ego-Cramera.

9. Centralne twierdzenia graniczne Lindeberga-Levy’ego, Moivre’a-Laplace’a, Lindeberga (bd) i Lapunowa.

10. Słaba zbieżność wektorów losowych, funkcje charakterystyczne wektorów losowych,
wielowymiarowy zdegenerowany rozkład normalny, twierdzenie Cramera-Wolda, twierdzenie Lindeberga-Levy’ego dla wektorów losowych.

11. Rozkład wielomianowy i jego asymptotyka, zbieżność wektorów losowych według prawdopodobieństwa i z prawdopodobieństwem jeden, twierdzenie Riesza.

12. Twierdzenie o odwzorowaniu ciągłym (czyli o zbieżności transformowanych ciągów wektorów losowych), rozkłady form kwadratowych wektorów normalnych, zastosowanie do zbadania asymptotyki „statystyki chi-kwadrat”, asymptotyczna normalność, metoda delta.

13. Łańcuchy Markowa: definicje i podstawowe własności.

14. Pojęcie i przykłady procesów stochastycznych: twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu (bd), funkcje wartości oczekiwanej i autokowariancji, procesy stacjonarne, procesy gaussowskie, proces Poissona, proces Ornsteina-Uhlenbecka, proces Wienera.

Auditorium classes:
Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

Rozwiązywanie zadań dotyczących treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 112 h
Module ECTS credits 4 ECTS
Participation in lectures 30 h
Realization of independently performed tasks 20 h
Participation in auditorium classes 30 h
Contact hours 10 h
Preparation for classes 20 h
Examination or Final test 2 h
Additional information
Method of calculating the final grade:

Ocena końcowa jest oceną z zaliczenia ćwiczeń audytoryjnych.

Prerequisites and additional requirements:

Zaliczony „Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa"

Recommended literature and teaching resources:
  1. Jakubowski J., Sztencel R. – “Wstęp do teorii prawdopodobieństwa”, Script, 2001..
  2. Billingsley, P. – “Prawdopodobieństwo i miara”, PWN, 1987.
  3. Feller, W. – “Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa”, tom I, II, PWN, 1977..
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. Nosek, Konrad; Szkutnik, Zbigniew Change-point detection in a shape-restricted regression model;
Statistics 48, No. 3, 641-656 (2014).

2. Szkutnik, Zbigniew; Grzyb, Łukasz; A note on consistent estimation of Kullback-Leibler discrepancy in Poisson regression; J. Stat. Plann. Inference 142, No. 6, 1619-1622 (2012).

3. Szkutnik, Zbigniew; On the Durbin-Wagle randomization device and some of its applications;
J. Multivariate Anal. 109, 103-108 (2012).

4. Majerski, P.; Szkutnik, Z.; A note on asymptotic expansions for the power of perturbed tests;
J. Stat. Plann. Inference 141, No. 12, 3736-3743 (2011).

5. Szkutnik, Zbigniew; A note on minimax rates of convergence in the Spektor-Lord-Willis problem;
Opusc. Math. 30, No. 2, 203-207 (2010).

6. Majerski, Piotr; Szkutnik, Zbigniew
Approximations to most powerful invariant tests for multinormality against some irregular alternatives;
Test 19, No. 1, 113-130 (2010).

7. Nosek, K.; Szkutnik, Z.; A power study of k-linear-r-ahead recursive residuals test for change-point in finite sequences; J. Stat. Comput. Simulation 78, No. 11-12, 1201-1213 (2008).

8. Dudek, Anna; Szkutnik, Zbigniew; Minimax unfolding spheres’ size distribution from linear sections; Stat. Sin. 18, No. 3, 1063-1080 (2008).

9. Szkutnik, Zbigniew; Unfolding spheres size distribution from linear sections with B-splines and EMDS algorithm; Opusc. Math. 27, No. 1, 151-165 (2007).

10. Szkutnik, Zbigniew
B-splines and discretization in an inverse problem for Poisson processes.
J. Multivariate Anal. 93, No. 1, 198-221 (2005).

Additional information:

None