Module also offered within study programmes:
General information:
Annual:
2017/2018
Code:
AMA-2-211-MZ-s
Name:
Numerical Methods for Ordinary Differential Equations
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Matematyka w zarządzaniu
Field of study:
Mathematics
Semester:
2
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr Przybyłowicz Paweł (pprzybyl@agh.edu.pl)
Academic teachers:
dr Mączka Czesław (czmaczka@agh.edu.pl)
dr Przybyłowicz Paweł (pprzybyl@agh.edu.pl)
dr Góra Michał (gora@agh.edu.pl)
Module summary

Modele matematyczne i ich własności numeryczne kilku zagadnień technicznych i fizycznych, algorytmy ich rozwiązania i przeprowadzenia symulacji komputerowych tych zagadnień.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence
M_K001 Potrafi precyzyjnie formułować pytania, zna ograniczenia własnej wiedzy, potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, Internecie także w językach obcych MA2A_K02, MA2A_K01, MA2A_K06 Activity during classes,
Test,
Oral answer
Skills
M_U001 Potrafi konstruować schematy różnicowe rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych MA2A_U20 Activity during classes,
Test,
Oral answer
M_U002 Rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów, metod i procesów obliczeniowych MA2A_U19 Activity during classes,
Test,
Oral answer
M_U003 Swobodnie posługuje się narzędziami analizy w tym elementami analizy zespolonej, rachunku różniczkowego i całkowego, orientuje się w klasycznych metodach rozwiązywania równań różniczkowych MA2A_U06, MA2A_U05 Activity during classes,
Test,
Oral answer
Knowledge
M_W001 Zna metody numeryczne stosowane do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych MA2A_W10, MA2A_W11 Activity during classes,
Test,
Oral answer
M_W002 Zna przykłady modeli matematycznych kilku zagadnień technicznych i fizycznych, algorytmy ich rozwiązania i przeprowadzenia symulacji komputerowych tych zagadnień MA2A_W07 Activity during classes,
Test,
Oral answer
M_W003 Zna matematyczne podstawy teorii algorytmów i konstrukcji schematów rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych MA2A_W06, MA2A_W11 Activity during classes,
Test,
Oral answer
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Others
E-learning
Social competence
M_K001 Potrafi precyzyjnie formułować pytania, zna ograniczenia własnej wiedzy, potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, Internecie także w językach obcych + + - - - - - - - - -
Skills
M_U001 Potrafi konstruować schematy różnicowe rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych + + - - - - - - - - -
M_U002 Rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów, metod i procesów obliczeniowych + + - - - - - - - - -
M_U003 Swobodnie posługuje się narzędziami analizy w tym elementami analizy zespolonej, rachunku różniczkowego i całkowego, orientuje się w klasycznych metodach rozwiązywania równań różniczkowych + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Zna metody numeryczne stosowane do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych + + - - - - - - - - -
M_W002 Zna przykłady modeli matematycznych kilku zagadnień technicznych i fizycznych, algorytmy ich rozwiązania i przeprowadzenia symulacji komputerowych tych zagadnień + + - - - - - - - - -
M_W003 Zna matematyczne podstawy teorii algorytmów i konstrukcji schematów rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych + + - - - - - - - - -
Module content
Lectures:
  1. Podstawowe definicje i twierdzenia z teorii równań różniczkowych zwyczajnych

    Definicje i twierdzenia przydatne w dalszej części wykładu: istnienie, jednoznaczność i ciągła zależność rozwiązań. Analityczne rozwiązywanie wybranych typów równań, w tym układów równań liniowych i równań wyższych rzędów. Punkty stacjonarne i ich stabilność.

  2. Zasady konstruowania schematów różnicowych

    Metody Taylora. Ogólna postać schematu Rungego-Kutty, Wyprowadzenie metody typu jawnego. Macierz Butchera.

  3. Rząd metody jednokrokowej

    Rząd metody jednokrokowej, błąd lokalny i jego oszacowanie. Twierdzenie o zgodności schematu. Zbieżność schematu jednokrokowego – definicja zbieżności i dwa twierdzenia o zbieżności.

  4. Pojęcie zero-stabilności schematu jednokrokowego

    Twierdzenie o zero-stabilności i zgodności schematu. Absolutna stabilność, przykłady wyznaczania obszarów absolutnej stabilności schematu.

  5. Definicja równania różnicowego i jego rozwiązania

    Bazy rozwiązań równania jednorodnego, funkcja generująca oraz metoda przewidywania dla równania niejednorodnego.

  6. Schematy wielokrokowe

    Definicja i przykłady schematów wielokrokowych, wyznaczanie współczynników dla tych metod. Wyznaczanie rzędu. Definicja stabilności i twierdzenie o stabilności schematu wielokrokowego.

  7. Rząd schematu wielokrokowego

    Twierdzenie o rzędzie liniowego schematu wielokrokowego – (pierwsza bariera stabilności Dalquista).

  8. Twierdzenie o zbieżności schematu wielokrokowego

    Pojęcie własności root condition i twierdzenie o zbieżności schematu wielokrokowego. Twierdzenie o współczynnikach schematu symetrycznego.

  9. Zbieżności liniowego schematu wielokrokowego

    Dowód twierdzenia o zbieżności liniowego schematu wielokrokowego. Pojęcie sztywności problemu różniczkowego.

  10. Sztywność układu równań różniczkowych

    Przykłady, wskaźnik sztywności, schematy A-stabilne. Analiza stabilności schematu BDF (metody różnic wstecznych). Szkic dowodu twierdzenia o stabilności schematu BDF.

  11. Stabilności metody różnicowej

    Twierdzenie o stabilności metody różnicowej dla problemu brzegowego.

  12. Metoda wariacyjna Ritza-Rayleigha

    Metoda wariacyjna Ritza-Rayleigha, konstrukcja baz przestrzeni rozwiązań.

  13. Metody zmiennokrokowe

    Ogólne metody zmiennokrokowe, zasady konstrukcji i przykłady zastosowań tych metod.

  14. Metody strzału i różnicowa dla problemu brzegowego
Auditorium classes:
Program ćwiczeń jest zgodny z programem wykładów

Rozwiązywanie zadań ilustrujący treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 109 h
Module ECTS credits 4 ECTS
Participation in lectures 30 h
Preparation for classes 42 h
Participation in auditorium classes 30 h
Contact hours 5 h
Examination or Final test 2 h
Additional information
Method of calculating the final grade:

zaliczenie

Prerequisites and additional requirements:

Prerequisites and additional requirements not specified

Recommended literature and teaching resources:
  1. A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, WNT 1999.
  2. J.C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, Wiley 2003.
  3. C.H. Edwards, D.E. Penney, Differential equations and linear algebra, Prentice Hall 2001
  4. D. Dubin, Numerical and analytical methods for scientists and engineers using Mathematica, Wiley 2003.
  5. E. Hairer, S. Norsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I, Springer, 2000
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. Kacewicz B., Przybyłowicz P. (2008) „Optimal adaptive solution of initial-value problems with unknown singularities” , Journal of Complexity 24, 455–476.

2. Kacewicz B., Przybyłowicz P. (2014), „Optimal solution of a class of non-autonomous initial-value problems with unknown singularities”, Journal of Computational and Applied Mathematics 261, 364-377,

3. Kacewicz B., Przybyłowicz P. (2014), „Optimal adaptive solution of piecewise regular systems of IVPs with unknown switching hypersurface”, Applied Mathematics and Computation 228, 116-127

4. Kacewicz B., Przybyłowicz P. (2015), „Complexity of the derivative-free solution of systems of IVPs with unknown singularity hypersurface”, Journal of Complexity 31, 75-97

Additional information:

None