Module also offered within study programmes:
General information:
Annual:
2017/2018
Code:
AMA-2-216-MZ-s
Name:
Spectral Theory of Differential Equations
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Matematyka w zarządzaniu
Field of study:
Mathematics
Semester:
2
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
prof. zw. dr hab. Cojuhari Petru (cojuhari@agh.edu.pl)
Academic teachers:
prof. zw. dr hab. Cojuhari Petru (cojuhari@agh.edu.pl)
Module summary

Operatory różniczkowe w różnych przestrzeniach oraz dziedzinach, ich związek z zagadnieniami brzegowymi.
Własności spektralne.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Skills
M_U001 Student potrafi określić asymptotykę wartości własnych i funkcji własnych operatorów różniczkowych. Zna twierdzenie o rozwinięciu według funkcji własnych. MA2A_W03, MA2A_U01 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_U002 Student orientuje się w zagadnieniach brzegowych półograniczonych oraz zna metody konstrukcji samosprzężonych rozszerzeń operatorów różniczkowych. MA2A_W01 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_U003 Student umie zastosować metody teorii spektralnej operatorów różniczkowych do podstawowych zagadnień fizyki matematycznej, fizyki teoretycznej oraz zagadnień inżynierskich. MA2A_U17, MA2A_U16 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Knowledge
M_W001 Student umie zdefiniować operatory różniczkowe w różnych przestrzeniach oraz dziedzinach i zna ich związek z zagadnieniami brzegowymi. MA2A_W01 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_W002 Student zna własności operatorów różniczkowych symetrycznych oraz samosprzężonych. MA2A_W01 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_W003 Student potrafi skonstruować i zbadać rezolwenty operatorów różniczkowych oraz wyznaczyć ich widma. MA2A_W01 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_W004 Student orientuje się w teorii operatorów Sturma-Liouville’a. MA2A_W01 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Others
E-learning
Skills
M_U001 Student potrafi określić asymptotykę wartości własnych i funkcji własnych operatorów różniczkowych. Zna twierdzenie o rozwinięciu według funkcji własnych. + + - - - - - - - - -
M_U002 Student orientuje się w zagadnieniach brzegowych półograniczonych oraz zna metody konstrukcji samosprzężonych rozszerzeń operatorów różniczkowych. + + - - - - - - - - -
M_U003 Student umie zastosować metody teorii spektralnej operatorów różniczkowych do podstawowych zagadnień fizyki matematycznej, fizyki teoretycznej oraz zagadnień inżynierskich. + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Student umie zdefiniować operatory różniczkowe w różnych przestrzeniach oraz dziedzinach i zna ich związek z zagadnieniami brzegowymi. + + - - - - - - - - -
M_W002 Student zna własności operatorów różniczkowych symetrycznych oraz samosprzężonych. + + - - - - - - - - -
M_W003 Student potrafi skonstruować i zbadać rezolwenty operatorów różniczkowych oraz wyznaczyć ich widma. + + - - - - - - - - -
M_W004 Student orientuje się w teorii operatorów Sturma-Liouville’a. + + - - - - - - - - -
Module content
Lectures:

1. Przestrzenie Hilberta. Przestrzenie typu L_2. Klasy Sobolewa W_2^l.
2. Operator różniczkowania na skończonym odcinku. Domkniętość operatora. Warunki brzegowe.
3. Operatory symetryczne i samosprzężone. Indeksy defektu.
4. Samosprzężone rozszerzenia operatorów symetrycznych. Wzory von Neumanna.
5. Indeksy defektu operatora różniczkowego. Samosprzężone rozszerzenia operatora różniczkowania.
6. Rezolwenta operatora różniczkowego. Widmo operatora różniczkowego.
7. Operator różniczkowy na półosi. Maksymalny operator. Widmo i rezolwenta operatora. Przypadek operatora różniczkowego na całej osi.
8. Operator Sturma-Liouville’a (przypadek regularny). Podstawowe własności.
9. Charakter widma samosprzężonych rozszerzeń operatora Sturma-Liouville’a. Teoria Sturma.
10. Asymptotyka wartości własnych i funkcji własnych. Rozwinięcie według funkcji własnych.
11. Operatory półograniczone. Samosprzężone rozszerzenia metodą Friedrichsa (rozszerzenia sztywne). Przykłady zastosowań do operatorów typu Sturma-Liouville’a.
12. Operatory Sturma-Liouville’a na półosi (przypadek osobliwy). Twierdzenie o rozwinięciu. Okrąg i punkt Weyla.
13. Całkowy wzór na rezolwenty. Funkcja Weyla-Titchmarsha.
14. Operator energii. Równanie Schrödingera. Kryteria samosprzężoności operatora Schrödingera. Charakter widma. Zagadnienie rozpraszania. Operatory falowe. Warunki istnienia. Macierz (operator) rozproszenia.

Auditorium classes:
Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

Rozwiązywanie zadań ilustrujących treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 154 h
Module ECTS credits 6 ECTS
Participation in lectures 30 h
Realization of independently performed tasks 50 h
Participation in auditorium classes 30 h
Preparation for classes 30 h
Examination or Final test 4 h
Contact hours 10 h
Additional information
Method of calculating the final grade:
  1. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  2. Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    SW = 1/3 OC + 2/3 OE,
    gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń,
    a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  3. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).
Prerequisites and additional requirements:

Wiedza z zakresu analizy matematycznej, teorii równań różniczkowych oraz analizy numerycznej na poziomie absolwenta studiów matematycznych I-go stopnia.

Recommended literature and teaching resources:
  1. M. S. Birman, M. Z. Solomyak, Spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert spaces, D.R. Publ. Company, Dordrecht, Holland, 1987 .
  2. E. B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge Univ. Press, 1995.
  3. K. Yosida, Lectures on differential and integral equations, Intercience Publ. INC., New York, London, 1960.
  4. T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin, 1966.# S. G. Krein /red., Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 1967.
  5. W. Mlak, Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta, Warszawa, PWN, 1987.
  6. K. Maurin, Metody przestrzeni Hilberta, Warszawa, PWN, 1967.
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Triplets of closely embedded Hilbert spaces, Integral Equations Oper. Theory 81, No. 1, 1-33 (2015).

2) Cojuhari, P.A.; Grod, A.; Kuzhel, S; On the S-matrix of Schrödinger operators with non-symmetric zero-range potentials, J. Phys. A, Math. Theor. 47, No. 31, Article ID 315201, 23 p. (2014).

3) Cojuhari, P.A.; On the discrete spectrum of a linear operator pencil arizing in transport theory,
Methods Funct. Anal. Topol. 20, No. 1, 10-16 (2014).

4) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Triplets of closely embedded Dirichlet type spaces on the unit polydisc, Complex Anal. Oper. Theory 7, No. 5, 1525-1544 (2013).

5) Cojuhari, Petru A.; Kuzhel, Sergii; Lax-Phillips scattering theory for 𝒫𝒯-symmetric ρ-perturbed operators, J. Math. Phys. 53, No. 7, 073514, 17 p. (2012).

6) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Embeddings, operator ranges, and Dirac operators,
Complex Anal. Oper. Theory 5, No. 3, 941-953 (2011).

7) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Closely embedded Kreĭn spaces and applications to Dirac operators, J. Math. Anal. Appl. 376, No. 2, 540-550 (2011).

8) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Closed embeddings of Hilbert spaces,
J. Math. Anal. Appl. 369, No. 1, 60-75 (2010).

9) Cojuhari, Petru A.; Nowak, Michał A. ;Projection-iterative methods for a class of difference equations,
Integral Equations Oper. Theory 64, No. 2, 155-175 (2009).

10) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Kreĭn spaces induced by symmetric operators.
J. Oper. Theory 61, No. 2, 347-367 (2009).

11) Cojuhari, P.A. Discrete spectrum in the gaps for perturbations of periodic Jacobi matrices.
J. Comput. Appl. Math. 225, No. 2, 374-386 (2009).

12) Cojuhari, Petru; Janas, Jan; Unbounded Jacobi matrices with empty absolutely continuous spectrum.
Bull. Pol. Acad. Sci., Math. 56, No. 1, 39-51 (2008).

13) Cojuhari, P.A.; Gomilko, A.M.; On the characterization of scalar type spectral operators.
Stud. Math. 184, No. 2, 121-132 (2008).

14) Cojuhari, P.A. On the spectrum of a class of block Jacobi matrices.
Bakonyi, Mihály (ed.) et al., Operator theory, structured matrices, and dilations. Tiberiu Constantinescu memorial volume. Bucharest: Theta (ISBN 978-973-87899-0-6). Theta Series in Advanced Mathematics 7, 137-152 (2007).

15) Cojuhari, Petru A.; Janas, Jan
Discreteness of the spectrum for some unbounded Jacobi matrices; Acta Sci. Math. 73, No. 3-4, 649-667 (2007).

16) Cojuhari, Petru A. Finiteness of eigenvalues of the perturbed Dirac operator;
Janas, Jan (ed.) et al., Operator theory, analysis and mathematical physics. Mainly the lectures of the international conference on operator theory and its applications in mathematical physics, OTAMP 2004, Bedlewo, Poland, July 6–11, 2004. Basel: Birkhäuser (ISBN 978-3-7643-8134-9/hbk; 978-3-7643-8135-6/e-book). Operator Theory: Advances and Applications 174, 1-7 (2007).

17) Cojuhari, P.A. Estimates of the discrete spectrum of a linear operator pencil; J. Math. Anal. Appl. 326, No. 2, 1394-1409 (2007).

Additional information:

None