Module also offered within study programmes:
General information:
Annual:
2017/2018
Code:
AMA-2-304-MZ-s
Name:
Nonlinear and Chaotic Vibrations
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Matematyka w zarządzaniu
Field of study:
Mathematics
Semester:
3
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Capiński Maciej (mcapinsk@agh.edu.pl)
Academic teachers:
dr hab. Capiński Maciej (mcapinsk@agh.edu.pl)
Module summary

Pojęcia i twierdzenia teorii drgań harmonicznych. Całkowanie jakościowe.,Pojęcie chaosu deterministycznego. Bifurkacje. Inne zagadnienia.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence
M_K001 rozumie potrzebę pogłębiania swojej wiedzy, docenia pracę w grupie, umie dobrze formułować pytania MA2A_K01, MA2A_K03 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Skills
M_U001 umie określać warunki początkowe rozwiązań okresowych MA2A_U10, MA2A_U16, MA2A_U05 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_U003 umie klasyfikować proste bifurkacje cowymiaru 1 MA2A_U10, MA2A_U17, MA2A_W07 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_U004 umie badać stabilność rozwiązań okresowych MA2A_U17, MA2A_U09, MA2A_U08, MA2A_U19 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Knowledge
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii drgań harmonicznych, wie co to jest całkowanie jakościowe, zna pojęcie chaosu deterministycznego MA2A_W04, MA2A_W05, MA2A_W06, MA2A_W07 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_W002 zna pojęcie bifurkacji MA2A_W06, MA2A_W07 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Others
E-learning
Social competence
M_K001 rozumie potrzebę pogłębiania swojej wiedzy, docenia pracę w grupie, umie dobrze formułować pytania + + - - - - - - - - -
Skills
M_U001 umie określać warunki początkowe rozwiązań okresowych + + - - - - - - - - -
M_U003 umie klasyfikować proste bifurkacje cowymiaru 1 + + - - - - - - - - -
M_U004 umie badać stabilność rozwiązań okresowych + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii drgań harmonicznych, wie co to jest całkowanie jakościowe, zna pojęcie chaosu deterministycznego + + - - - - - - - - -
M_W002 zna pojęcie bifurkacji - - - - - - - - - - -
Module content
Lectures:
  1. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań

    Istnienie i jednoznaczność rozwiązań, układy liniowe, potoki i podprzestrzenie niezmiennicze, układy nieliniowe.

  2. Liniowe i nieliniowe układy dyskretne

    Orbity okresowe, sekcje i odwzorowania Poincarégo, strukturalna stabilność.

  3. Wstęp do teorii chaosu Przykłady: równania Van der Pola, Duffinga, Lorenza
  4. Teoria bifurkacji

    Przykłady bifurkacji, rozmaitości centralne, twierdzenie o rozmaitości centralnej, twierdzenie o rozmaitości normalnie hiperbolicznej, bifurkacja Hopfa.

  5. Formy normalne

    Formy normalne i algorytm sprowadzania do formy normalnej.

  6. Metoda uśredniania

    Uśrednianie i odwzorowania Poincarégo, przykłady, lokalne bifurkacje.

  7. Metoda Melnikova

    Przykład zastosowania w równaniach Duffinga, oraz wahadła.

  8. Przykłady sprowadzania do formy normalnej
  9. Metoda Melnikova na przykładzie perturbacji orbity homoklinicznej
  10. Metoda Melnikova dla wyżej wymiarowych układów Hamiltonowskich
  11. Stabilność orbit subharmonicznych
  12. Podkowa Smale'a jako przykład niezmienniczego zbioru hiperboliczneg
  13. Hiperboliczne zbiory niezmiennicze i ich stabilność.
  14. Atraktory chaotyczne i ich stabilność, strukturalna stabilność
  15. Dynamika symboliczna, chaos, i metody topologiczne
Auditorium classes:
Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

Rozwiązywanie problemów (głównie związanych z zagadnieniami praktycznymi) ilustrujących treści przekazywanych na kolejnych wykładach

Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 155 h
Module ECTS credits 6 ECTS
Participation in lectures 30 h
Realization of independently performed tasks 50 h
Participation in auditorium classes 30 h
Preparation for classes 30 h
Examination or Final test 5 h
Contact hours 10 h
Additional information
Method of calculating the final grade:
  1. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  2. Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    SW = 1/3 OC + 2/3 OE,
    gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń,
    a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  3. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).
Prerequisites and additional requirements:

Prerequisites and additional requirements not specified

Recommended literature and teaching resources:

J. Guckenheimer, P. Holmes, Nonlinear Oscilations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields.

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. Capiński, Maciej ; Computer assisted existence proofs of Lyapunov orbits at L 2 and transversal intersections of invariant manifolds in the Jupiter–Sun PCR3BP;
SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 11, No. 4, 1723-1753, electronic only (2012).

2. Capiński, Maciej; Zastawniak, Tomasz;
Numerical methods in finance with C++;
Mastering Mathematical Finance. Cambridge: Cambridge University Press (2012).

3. Capiński, Maciej J.; Simó, Carles;
Computer assisted proof for normally hyperbolic invariant manifolds;
Nonlinearity 25, No. 7, 1997-2026 (2012).

4. Capiński, Maciej J.; Roldán, Pablo; Existence of a center manifold in a practical domain around L 1 in the restricted three-body problem; SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 11, No. 1, 285-318, electronic only (2012).

5. Capiński, Maciej J.; Zgliczyński, Piotr; Cone conditions and covering relations for topologically normally hyperbolic invariant manifolds; Discrete Contin. Dyn. Syst. 30, No. 3, 641-670 (2011).

Additional information:

None