Module also offered within study programmes:
General information:
Annual:
2017/2018
Code:
AMA-2-310-MZ-s
Name:
Numerical Methods for Partial Differential Equations
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Matematyka w zarządzaniu
Field of study:
Mathematics
Semester:
3
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Responsible teacher:
dr Sapa Lucjan (sapa@agh.edu.pl)
Academic teachers:
dr Sapa Lucjan (sapa@agh.edu.pl)
Module summary

Metody numeryczne (różnicowe i wariacyjne) służące do przybliżonego rozwiązywania liniowych i nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych. Twierdzenia dotyczące zbieżności i stabilności.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence
M_K001 Student rozumie potrzebę dokształcania się oraz podnoszenia swoich kompetencji osobistych i zawodowych. MA2A_K01 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_K002 Student angażuje się w dyskusję w grupie, jak również z prowadzącym i potrafi dobrze sformułować swoje argumenty. MA2A_K02 Activity during classes,
Oral answer
M_K003 Student potrafi samodzielnie wyszukiwać odpowiednią literaturę, także w językach obcych. MA2A_K06 Activity during classes,
Oral answer
Skills
M_U001 Student umie stosować i przedstawiać zagadnienia związane z metodami numerycznymi równań różniczkowych cząstkowych. MA2A_U13 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_U002 Student umie wykorzystywać w dowodach wybranych twierdzeń narzędzia z analizy rzeczywistej, funkcjonalnej i numerycznej oraz z teorii nierówności różniczkowych i różnicowych. MA2A_U14 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Knowledge
M_W001 Student ma pogłębioną wiedzę z teorii metod numerycznych równań różniczkowych i różniczkowo-funkcyjnych cząstkowych. Student zna powiązania teorii metod numerycznych z innymi działami matematyki, a w szczególności analizy rzeczywistej, funkcjonalnej i numerycznej oraz równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych. Ponadto zna przykłady równań różniczkowych, które mają zastosowanie w praktyce. MA2A_W07, MA2A_W04 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_W002 Student zna metody numeryczne (różnicowe i wariacyjne) służące do przybliżonego rozwiązywania liniowych i nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych. Potrafi również dowodzić niektóre ważne twierdzenia dotyczące zbieżności i stabilności. MA2A_W10 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Others
E-learning
Social competence
M_K001 Student rozumie potrzebę dokształcania się oraz podnoszenia swoich kompetencji osobistych i zawodowych. - - - - + - - - - - -
M_K002 Student angażuje się w dyskusję w grupie, jak również z prowadzącym i potrafi dobrze sformułować swoje argumenty. - - - - + - - - - - -
M_K003 Student potrafi samodzielnie wyszukiwać odpowiednią literaturę, także w językach obcych. - - - - + - - - - - -
Skills
M_U001 Student umie stosować i przedstawiać zagadnienia związane z metodami numerycznymi równań różniczkowych cząstkowych. - - - - + - - - - - -
M_U002 Student umie wykorzystywać w dowodach wybranych twierdzeń narzędzia z analizy rzeczywistej, funkcjonalnej i numerycznej oraz z teorii nierówności różniczkowych i różnicowych. - - - - + - - - - - -
Knowledge
M_W001 Student ma pogłębioną wiedzę z teorii metod numerycznych równań różniczkowych i różniczkowo-funkcyjnych cząstkowych. Student zna powiązania teorii metod numerycznych z innymi działami matematyki, a w szczególności analizy rzeczywistej, funkcjonalnej i numerycznej oraz równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych. Ponadto zna przykłady równań różniczkowych, które mają zastosowanie w praktyce. - - - - + - - - - - -
M_W002 Student zna metody numeryczne (różnicowe i wariacyjne) służące do przybliżonego rozwiązywania liniowych i nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych. Potrafi również dowodzić niektóre ważne twierdzenia dotyczące zbieżności i stabilności. - - - - + - - - - - -
Module content
Conversation seminar:
  1. Usystematyzowanie i uzupełnienie podstawowych pojęć

    Określoność formy kwadratowej, określoność macierzy, macierz z dominującą diagonalą, macierz dodatnia, macierz dodatniego typu, macierz monotoniczna, macierz rzutująca, macierz unormowana względem zadanej podprzestrzeni, norma wektorowa i macierzowa, zgodność norm, forma liniowa i dwuliniowa. Twierdzenie o zależności określoności macierzy z dominacją diagonali (bd.). Twierdzenia o zasadzie maksimum dla dowolnej macierzy i macierzy znormalizowanej (bd.). Warunek konieczny i wystarczający monotoniczności macierzy (bd). Twierdzenie o zależności monotoniczności macierzy z zasadą maksimum (bd.). Twierdzenie o rozszerzonej zasadzie maksimum dla macierzy (bd.). Twierdzenie o zależności macierzy dodatniego typu z monotonicznością (bd.).

  2. Klasyfikacja liniowych i semiliniowych równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu

    Definicja nieliniowego równania różniczkowo-funkcyjnego cząstkowego drugiego rzędu typu parabolicznego
    i eliptycznego w sensie Waltera. Przykładowe modele fizyczne. Wzór Taylora z różnymi postaciami reszty (bd.). Twierdzenie o wartości średniej w przestrzeniach Banacha (bd.). Wprowadzenie do teorii metod numerycznych: definicja zgodności, rzędu aproksymacji, zbieżności, stabilności i dobrego postawienia metody.

  3. Klasyczne równania fizyki oraz wybrane metody rozwiązywania zagadnień początkowych i brzegowych z nimi związanych Metoda różnicowa dla dwuwymiarowego równania Poissona

    z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Dyskretyzacja, funkcja siatkowa, ilorazy różnicowe. Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności. Metody różnicowe dla wielowymiarowych nieliniowych równań eliptycznych z warunkiem brzegowym typu Dirichleta (informacyjnie). Metody rozwiązywania niejawnych schematów różnicowych (metoda Gaussa, metoda Banacha, metoda Newtona).

  4. Metody różnicowe jawne

    Metody różnicowe jawne dla wielowymiarowych nieliniowych równań różniczkowych parabolicznych z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Dyskretyzacja, funkcja siatkowa, podstawowe ilorazy różnicowe. Twierdzenie o szybkości aproksymacji ilorazami różnicowymi (bd.). Twierdzenie o nierównościach różnicowych. Definicja uogólnionego warunku Perrona. Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności.

  5. Twierdzenie o jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego parabolicznego z warunkiem brzegowym typu Dirichleta Zastosowanie rozważanych metod różnicowych do równania przewodnictwa cieplnego. Poprawiona metoda różnicowa dla równań quasi-liniowych. Metody różnicowo-funkcyjne jawne dla wielowymiarowych nieliniowych równań różniczkowo-funkcyjnych parabolicznych z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Definicja operatora Volterry. Aproksymacja czynnika funkcyjnego operatorem schodkowym i wielomianowym.
  6. Metody różnicowo-funkcyjne jawne i niejawne

    Metody różnicowo-funkcyjne jawne i niejawne dla wielowymiarowych nieliniowych równań różniczkowo-funkcyjnych parabolicznych z różnymi warunkami brzegowymi (informacyjnie). Metody rozwiązywania niejawnych schematów różnicowych (metoda Gaussa, metoda Banacha, metoda Newtona). Porównanie
    z metodami jawnymi.

  7. Jednowymiarowe metody różnicowe

    Metody różnicowe dla jednowymiarowego równania struny drgającej z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności.

  8. Wielowymiarowe metody różnicowo-funkcyjne

    Metody różnicowo-funkcyjne dla wielowymiarowych nieliniowych równań różniczkowo-funkcyjnych pierwszego rzędu z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Schematy różnicowe Laxa, Eulera i uogólniony Eulera. Porównanie metod.

  9. Metoda prostych dla równania jednowymiarowego

    Metoda prostych dla jednowymiarowego równania przewodnictwa cieplnego z warunkiem brzegowym typu Dirichleta. Dyskretyzacja, aproksymacja. Twierdzenie o oszacowaniu a priori układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu z warunkiem początkowym (bd.). Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności. Porównanie z metodami różnicowymi.

  10. Półsłaba postać wariacyjna zagadnienia brzegowego typu Dirichleta dla dwuwymiarowego równania Poissona

    Twierdzenie Gaussa-Greena (bd.), twierdzenie o całkowaniu przez części (bd.), wzory Greena (bd). Twierdzenie o równoważności silnej, półsłabej i słabej postaci wariacyjnej zagadnienia brzegowego typu Dirichleta dla jednowymiarowego równania Poissona. Półsłaba postać wariacyjna zagadnienia brzegowego typu Dirichleta dla dwuwymiarowego równania Poissona. Twierdzenie o równoważności równań wariacyjnych i zagadnienia minimalizacji pewnej formy kwadratowej.

  11. Metody Galerkina i Ritza

    Metoda Galerkina, metoda Ritza. Macierz sztywności, różne metody dyskretyzacji na przykładzie zagadnienia brzegowego typu Dirichleta dla jednowymiarowego równania Poissona.

  12. Metody typu elementów skończonych

    Skończenie wymiarowy odpowiednik twierdzenia o równoważności równań wariacyjnych i zagadnienia minimalizacji pewnej formy kwadratowej. Metoda typu elementów skończonych. Elementy teorii interpolacji, wyznaczanie bazy typu elementów skończonych przy pomocy interpolacji w przypadku jednowymiarowym.

  13. Przestrzenie typu elementów skończonych w przypadku jedno, dwu i trójwymiarowym

    Elementy odcinkowe, prostokątne, trójkątne, krzywoliniowe i czworościenne, twierdzenia o regularności (bd.). Zastosowanie do równania Poissona. Metoda spektralna rozwiązywania skończenie wymiarowych równań wariacyjnych.

  14. Zastosowanie metody elementów skończonych do równania przewodnictwa cieplnego

    Optymalność elementu skończonego. Twierdzenia o zbieżności i stabilności metody elementów skończonych (bd.).

  15. Elementy Hsieha-Clougha-Tochera (HCT), zredukowane elementy HCT i elementy Morleya. Zastosowanie do liniowych i quasi-liniowych równań różniczkowych cząstkowych typu eliptycznego i parabolicznego drugiego i czwartego rzędu. Addytywne metody Schwartza rozwiązywania skończenie wymiarowych równań wariacyjnych dla zredukowanej metody HCT, dekompozycja przestrzeni, algorytmy. Porównaniez metodami różnicowymi.
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 100 h
Module ECTS credits 4 ECTS
Participation in conversation seminars 30 h
Realization of independently performed tasks 60 h
Contact hours 8 h
Examination or Final test 2 h
Additional information
Method of calculating the final grade:
  1. Ocenę końcową OK wyznacza się jako średnią arytmetyczną SW oceny z kolokwium zaliczeniowego i ocen z kolokwiów.
  2. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).
Prerequisites and additional requirements:

Prerequisites and additional requirements not specified

Recommended literature and teaching resources:
  1. J. Descloux, Méthode des éléments finis, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Lausanne 1973 [Metod koniecznych elementow, Mir, Moskwa 1976].
  2. M. Dryja, J. Jankowska, M. Jankowski, Przegląd metod i algorytmów numerycznych, Część 1,2, WNT, Warszawa 1982.
  3. Z. Fortuna, M. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne, WNT, Warszawa 1998.
  4. A.A. Samarski, Wstęp do teorii schematów różnicowych, Nauka, Moskwa 1971.
  5. L. Sapa, A finite difference method for quasi-linear and nonlinear differential functional parabolic equations with Dirichlet’s condition, Annales Polonici Mathematici, tom 93, nr 2 (2008), str. 113-133.
  6. R.S. Varga, On a discrete maximum principle, SIAM Journal on Numerical Analysis, tom 3, nr 2 (1966), str. 355-359.
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. L. Sapa, Implicit difference methods for differential functional parabolic equations with Dirichlet’s condition, Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen 32 (2013), 313-337.

2. L. Sapa, Estimates of solutions for parabolic differential and difference functional equations and applications, Opuscula Mathematica 32 (2012), 529-549.

3. K. Kropielnicka, L. Sapa, Estimate of solutions for differential and difference functional equations with applications to difference methods, Applied Mathematics and Computation 217 (2011), 6206-6218.

4. L. Sapa, A finite difference method for quasi-linear and nonlinear differential functional parabolic-equations with Neumann’s condition, Commentationes Mathematicae 49 (2009), 83-106.

5. L. Sapa, A finite difference method for quasi-linear and nonlinear differential functional parabolic systems with Dirichlet’s condition, Annales Polonici Mathematici 93 (2008), 113-133.

6. M. Malec, L. Sapa, A finite difference method for nonlinear parabolic-elliptic systems of second-order partial differential equations, Opuscula Mathematica 27 (2007), 259-289.

Additional information:

None