Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Równania Całkowe
Tok studiów:
2017/2018
Kod:
AMA-2-015-MZ-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka w zarządzaniu
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
0
Profil kształcenia:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma i tryb studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Osoba odpowiedzialna:
prof. zw. dr hab. Cojuhari Petru (cojuhari@agh.edu.pl)
Osoby prowadzące:
prof. zw. dr hab. Cojuhari Petru (cojuhari@agh.edu.pl)
Krótka charakterystyka modułu

Definicje i pojęcia teorii równań całkowych. Klasyfikacja równań oraz związek równań całkowych z równaniami różniczkowymi. Metody rozwiązywania.

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Powiązania z EKK Sposób weryfikacji efektów kształcenia (forma zaliczeń)
Wiedza
M_W001 Student zna podstawowe definicje i pojęcia teorii równań całkowych, klasyfikację równań oraz związek równań całkowych z równaniami różniczkowymi. MA2A_W01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
M_W002 Student zna metodę kolejnych przybliżeń rozwiązywania najważniejszych klas równań całkowych. MA2A_W02 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
M_W003 Student zna teorię Fredholma równań całkowych. MA2A_W01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
M_W004 Student zna teorię równań całkowych Wienera-Hopfa oraz umie zastosować metody operacyjne. MA2A_W02, MA2A_W01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
Umiejętności
M_U001 Student umie zastosować teorię równań całkowych do podstawowych zagadnień fizyki matematycznej, fizyki teoretycznej i zagadnień inżynierskich. MA2A_U16 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
M_U002 Student umie rozwiązywać równania całkowe metodami analizy numerycznej. MA2A_U19 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Forma zajęć
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Inne
E-learning
Wiedza
M_W001 Student zna podstawowe definicje i pojęcia teorii równań całkowych, klasyfikację równań oraz związek równań całkowych z równaniami różniczkowymi. + - - - - - - - - - -
M_W002 Student zna metodę kolejnych przybliżeń rozwiązywania najważniejszych klas równań całkowych. + - - - - - - - - - -
M_W003 Student zna teorię Fredholma równań całkowych. + - - - - - - - - - -
M_W004 Student zna teorię równań całkowych Wienera-Hopfa oraz umie zastosować metody operacyjne. + - - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Student umie zastosować teorię równań całkowych do podstawowych zagadnień fizyki matematycznej, fizyki teoretycznej i zagadnień inżynierskich. + - - - - - - - - - -
M_U002 Student umie rozwiązywać równania całkowe metodami analizy numerycznej. + - - - - - - - - - -
Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład:

1. Wiadomości wstępne. Pojęcie równania całkowego. Związek równań całkowych z równaniami różniczkowymi. Sprowadzenie pewnych zagadnień do rozwiązania równań całkowych (pewne równania całkowe fizyki matematycznej, równania całkowe teorii potencjału, równania całkowe zagadnień Dirichleta i Neumanna, drgania własne struny oraz membrany, nacisk sztywnego stempla na sprężystą półprzestrzeń, etc.).
2. Klasyfikacja równań całkowych. Równania Fredholma i Volterry. Równania Urysona oraz Hammersteina. Równanie całkowe z jądrami zależnymi od różnicy argumentów. Równania Wienera-Hopfa. Równanie Abela i niektóre inne typy równań całkowych.
3. Metoda kolejnych przybliżeń. Rozwiązanie równań Fredholma. Konstrukcja przybliżeń. Rezolwenta Fredholma. Własności rezolwenty. Przypadek równania Volterry.
4. Metoda kolejnych przybliżeń dla równań nieliniowych. Rozwiązanie równań Hammersteina. Równania Urysona.
5. Równania całkowe z jądrem zdegenerowanym. Rozwiązanie równań Fredholma. Równania z jądrami specjalnymi. Przypadek równania Hammersteina.
6. Równanie całkowe Abela. Zagadnienie Abela. Równanie całkowe Abela i jego uogólnienia. Podstawowe metody rozwiązywania.
7. Alternatywa Fredholma. Równania całkowe z jądrami zwartymi. Twierdzenia Fredholma.
8. Równania symetryczne. Jądra symetryczne. Układy wartości własnych i funkcji własnych. Szereg Hilberta-Schmidta. Rozwiązanie symetrycznego równania całkowego. Rezolwenta jądra symetrycznego. Własności ekstremalne wartości własnych i funkcji własnych.
9. Metoda Fredholma. Szeregi Fredholma. Wyznacznik i minory Fredholma. Wyrażenie funkcji własnych jądra przez minory Fredholma.
10. Równanie całkowe z jądrami zależnymi od różnicy argumentów. Rozwiązywanie równań typu splotu za pomocą przekształceń Laplace’a oraz Fouriera.
11. Równania na półosi z całkowalnymi jądrami. Warunki rozwiązalności. Metoda faktoryzacji.
12. Przykłady zastosowań: podstawowe zagadnienie teorii promieniowania, brzegowa refleksja fal elektromagnetycznych, zagadnienie teorii lepkosprężystości, potencjał krążka przewodzącego, etc.
13. Metody przybliżone. Zwykła metoda iteracji. Warunki zbieżności. Modyfikacje metody iteracji. Zastępowanie jądrem zdegenerowanym. Metoda Galerkina.
14. Metody przybliżone wyznaczania liczb charakterystycznych. Metoda Ritza, metoda śladów, metoda Kelloga, etc.

Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 104 godz
Punkty ECTS za moduł 4 ECTS
Udział w wykładach 30 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 60 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe z nauczycielem 10 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 4 godz
Pozostałe informacje
Sposób obliczania oceny końcowej:

Ocena końcowa OK jest oceną z egzaminu OE.

Wymagania wstępne i dodatkowe:

Wiedza z zakresu analizy matematycznej, teorii równań różniczkowych oraz analizy numerycznej na poziomie absolwenta studiów matematycznych I-go stopnia.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. M. A. Krasnosielski i in., Równania całkowe, Warszawa, WNT, 1975.
  2. S. G. Michlin, C. L. Smolicki, Metody przybliżone rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych, Warszawa, PWN, 1970.
  3. Adam Piskorek, Równania całkowe. Elementy teorii i zastosowania, Warszawa,WNT, 1997.
  4. W. Pogorzelski, Równania całkowe i ich zastosowania.
    T. 1 : Własności ogólne równań Fredholma i Volterry, Warszawa, PWN, 1953,
    T. II: Układy równań całkowych, równania całkowe nieliniowe, zastosowania równań całkowych w teorii równań różniczkowych, Warszawa, PWN, 1958,
    T. III : Równania całkowe mocno osobliwe, zagadnienia brzegowe w teorii funkcji analitycznych. Warszawa, PWN, 1960,
    T. IV : Zastosowania równań całkowych, Warszawa, PWN, 1962.
  5. K. Yosida, Lectures on differential and integral equations, Inter. Publ. New York, London, 1968.
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Triplets of closely embedded Hilbert spaces, Integral Equations Oper. Theory 81, No. 1, 1-33 (2015).

2) Cojuhari, P.A.; Grod, A.; Kuzhel, S; On the S-matrix of Schrödinger operators with non-symmetric zero-range potentials, J. Phys. A, Math. Theor. 47, No. 31, Article ID 315201, 23 p. (2014).

3) Cojuhari, P.A.; On the discrete spectrum of a linear operator pencil arizing in transport theory,
Methods Funct. Anal. Topol. 20, No. 1, 10-16 (2014).

4) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Triplets of closely embedded Dirichlet type spaces on the unit polydisc, Complex Anal. Oper. Theory 7, No. 5, 1525-1544 (2013).

5) Cojuhari, Petru A.; Kuzhel, Sergii; Lax-Phillips scattering theory for 𝒫𝒯-symmetric ρ-perturbed operators, J. Math. Phys. 53, No. 7, 073514, 17 p. (2012).

6) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Embeddings, operator ranges, and Dirac operators,
Complex Anal. Oper. Theory 5, No. 3, 941-953 (2011).

7) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Closely embedded Kreĭn spaces and applications to Dirac operators, J. Math. Anal. Appl. 376, No. 2, 540-550 (2011).

8) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Closed embeddings of Hilbert spaces,
J. Math. Anal. Appl. 369, No. 1, 60-75 (2010).

9) Cojuhari, Petru A.; Nowak, Michał A. ;Projection-iterative methods for a class of difference equations,
Integral Equations Oper. Theory 64, No. 2, 155-175 (2009).

10) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Kreĭn spaces induced by symmetric operators.
J. Oper. Theory 61, No. 2, 347-367 (2009).

11) Cojuhari, P.A. Discrete spectrum in the gaps for perturbations of periodic Jacobi matrices.
J. Comput. Appl. Math. 225, No. 2, 374-386 (2009).

12) Cojuhari, Petru; Janas, Jan; Unbounded Jacobi matrices with empty absolutely continuous spectrum.
Bull. Pol. Acad. Sci., Math. 56, No. 1, 39-51 (2008).

13) Cojuhari, P.A.; Gomilko, A.M.; On the characterization of scalar type spectral operators.
Stud. Math. 184, No. 2, 121-132 (2008).

14) Cojuhari, P.A. On the spectrum of a class of block Jacobi matrices.
Bakonyi, Mihály (ed.) et al., Operator theory, structured matrices, and dilations. Tiberiu Constantinescu memorial volume. Bucharest: Theta (ISBN 978-973-87899-0-6). Theta Series in Advanced Mathematics 7, 137-152 (2007).

15) Cojuhari, Petru A.; Janas, Jan; Discreteness of the spectrum for some unbounded Jacobi matrices; Acta Sci. Math. 73, No. 3-4, 649-667 (2007).

16) Cojuhari, Petru A. Finiteness of eigenvalues of the perturbed Dirac operator;
Janas, Jan (ed.) et al., Operator theory, analysis and mathematical physics. Mainly the lectures of the international conference on operator theory and its applications in mathematical physics, OTAMP 2004, Bedlewo, Poland, July 6–11, 2004. Basel: Birkhäuser (ISBN 978-3-7643-8134-9/hbk; 978-3-7643-8135-6/e-book). Operator Theory: Advances and Applications 174, 1-7 (2007).

17) Cojuhari, P.A. Estimates of the discrete spectrum of a linear operator pencil; J. Math. Anal. Appl. 326, No. 2, 1394-1409 (2007).

Informacje dodatkowe:

Brak