Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Variational Calculus
Tok studiów:
2017/2018
Kod:
AMA-2-034-MZ-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka w zarządzaniu
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
0
Profil kształcenia:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Angielski
Forma i tryb studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Osoba odpowiedzialna:
dr hab. Kużel Sergiusz (kuzhel@agh.edu.pl)
Osoby prowadzące:
dr hab. Kużel Sergiusz (kuzhel@agh.edu.pl)
Krótka charakterystyka modułu

Zagadnienia ekstremalne analizy elementarnej oraz podstawowe pojęcia analizy funkcjonalnej związane z rachunkiem wariacyjnym. Istnienia ekstremum dla funkcjonałów. Metody rachunku wariacyjnego.

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Powiązania z EKK Sposób weryfikacji efektów kształcenia (forma zaliczeń)
Wiedza
M_W001 Zna zaawansowane techniki obliczeniowe, wspomagające pracę matematyka i rozumie ich ograniczenia MA2A_W08 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W002 Zna metody numeryczne stosowane do znajdowania rozwiązań zagadnień matematycznych MA2A_W10 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności
M_U001 Rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów i procesów obliczeniowych MA2A_U19 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 Potrafi stosować metody algebraiczne w rozwiązywaniu zagadnień matematycznych MA2A_U10 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Kompetencje społeczne
M_K001 Potafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania MA2A_K02 Aktywność na zajęciach,
Odpowiedź ustna
Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Forma zajęć
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Inne
E-learning
Wiedza
M_W001 Zna zaawansowane techniki obliczeniowe, wspomagające pracę matematyka i rozumie ich ograniczenia + - - - - - - - - - -
M_W002 Zna metody numeryczne stosowane do znajdowania rozwiązań zagadnień matematycznych + - - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów i procesów obliczeniowych + - - - - - - - - - -
M_U002 Potrafi stosować metody algebraiczne w rozwiązywaniu zagadnień matematycznych + - - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Potafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania + - - - - - - - - - -
Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład:

1. Wiadomości wstępne. Przegląd zagadnień ekstremalnych analizy elementarnej oraz podstawowe pojęcia analizy funkcjonalnej związane z rachunkiem wariacyjnym.
2. Najprostsze zagadnienie rachunku wariacyjnego. Różniczka funkcjonału. Warunki koniecznie istnienia ekstremum. Równanie Eulera. Przypadek wielu zmiennych. Pochodna wariacyjna. Niezmienniczość równań Eulera.
3. Uogólnienia najprostszego zagadnienia rachunku wariacyjnego na przypadek przestrzeni Banacha i Hilberta.
4. Zagadnienia parametryczne. Zagadnienia wariacyjne w postaci parametrycznej. Funkcjonały zależne od pochodnych wyższych rzędów. Ekstremum warunkowe.
5. Wzór podstawowy dla wariacji funkcjonału. Ogólny wzór dla wariacji funkcjonału. Zadanie z końcami ruchomymi. Przypadek ekstremal niegładkich. Warunki Weierstrassa-Erdmanna.
6. Warunki dostateczne istnienia ekstremum. Funkcjonały kwadratowe. Druga wariacja funkcjonału. Wzór dla drugiej wariacji. Warunki Legendre’a. Warunki dostateczne istnienia ekstremum słabego.
7. Wprowadzenie w teorię ekstremum silnego. Równanie Hamiltona-Jacobiego. Twierdzenie Jacobiego.
8. Wybrane zastosowania. Zasada Hamiltona i ciągłe układy mechaniczne. Równania drgań poprzecznych struny, membrany, pręta i płyty.
9. Podstawy wariacyjnej teorii potencjału. Zasady Dirichleta i Thomsona.
10. Metody wariacyjne w fizyce współczesnej: wariacyjne wyprowadzenie równań Schrödingera.
11. Informacja o bezpośrednich metodach rachunku wariacyjnego. Metoda energetyczna. Funkcjonał metody energetycznej.
12. Metoda Ritza i metoda łamanych. Metody wariacyjne w zagadnieniu Sturma-Liouville’a. Zagadnienie wartości własnych. Metoda Rayleigha-Ritza.

Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 129 godz
Punkty ECTS za moduł 5 ECTS
Udział w wykładach 30 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 85 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe z nauczycielem 12 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Pozostałe informacje
Sposób obliczania oceny końcowej:

Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie oceny z egzaminu OE, OK = OE.
3. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
Jeżeli OE ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
jeżeli 4.75 > OE ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
jeżeli 4.25 > OE ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
jeżeli 3.75 > OE ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
jeżeli 3.25 > OE ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst)

Wymagania wstępne i dodatkowe:

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. I. M. Gelfand, S. W. Fomin, Rachunek wariacyjny, Warszawa, PWN, 1972.
  2. S. G. Michlin, C. L. Smolicki, Metody przybliżone rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych, Warszawa, PWN, 1970. # K. Tatarkiewicz, Rachunek wariacyjny, cz. 1,2, Warszawa, PWN, 1970.
  3. Bruce van Brunt, The Calculus of Variations, Universitext, Springer-Verlag, New-York, Berlin, Heideberg, Tokio, 2004.
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1) Hassi, Seppo; Kuzhel, Sergii; On J-self-adjoint operators with stable C-symmetries;
Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 143, No. 1, 141-167 (2013).

2) Bender, Carl M.; Kuzhel, Sergii;
Unbounded 𝒞-symmetries and their nonuniqueness;
J. Phys. A, Math. Theor. 45, No. 44, Article ID 444005, 14 p. (2012).

3) Albeverio, Sergio; Kuzhel, Sergii; PT-symmetric operators in quantum mechanics: Krein spaces methods // W: Non-selfadjoint operators in quantum physics : mathematical aspects / eds. Fabio Bagarello, [et al.]. — Hoboken : John Wiley & Sons, Inc., cop. 2015. — ISBN: 978-1-118-85528-7. — S. 293–343.

4) Scattering theory for 0-perturbed ρτ-symmetric operators ;A. I. Hrod, S. O. KUZHEL; Ukrainian Mathematical Journal – vol. 65 no. 8, s. 1180–1202 (2014).

5) Schrödinger operators with non-symmetric zero-range potentials; A. Grod, S. KUZHEL ; Methods of Functional Analysis and Topology – vol. 20 no. 1, s. 34–49 (2014).

Informacje dodatkowe:

Brak