Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Metody Numeryczne dla Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Tok studiów:
2017/2018
Kod:
AMA-2-210-MZ-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka w zarządzaniu
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
2
Profil kształcenia:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma i tryb studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Osoba odpowiedzialna:
dr Przybyłowicz Paweł (pprzybyl@agh.edu.pl)
Osoby prowadzące:
dr Mączka Czesław (czmaczka@agh.edu.pl)
dr Przybyłowicz Paweł (pprzybyl@agh.edu.pl)
dr Góra Michał (gora@agh.edu.pl)
Krótka charakterystyka modułu

Modele matematyczne i ich własności numeryczne kilku zagadnień technicznych i fizycznych, algorytmy ich rozwiązania i przeprowadzenia symulacji komputerowych tych zagadnień.

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Powiązania z EKK Sposób weryfikacji efektów kształcenia (forma zaliczeń)
Wiedza
M_W001 Zna metody numeryczne stosowane do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych MA2A_W10, MA2A_W11 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W002 Zna przykłady modeli matematycznych kilku zagadnień technicznych i fizycznych, algorytmy ich rozwiązania i przeprowadzenia symulacji komputerowych tych zagadnień MA2A_W07 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W003 Zna matematyczne podstawy teorii algorytmów i konstrukcji schematów rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych MA2A_W06, MA2A_W11 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności
M_U001 Potrafi konstruować schematy różnicowe rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych MA2A_U20 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 Rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów, metod i procesów obliczeniowych MA2A_U19 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U003 Swobodnie posługuje się narzędziami analizy w tym elementami analizy zespolonej, rachunku różniczkowego i całkowego, orientuje się w klasycznych metodach rozwiązywania równań różniczkowych MA2A_U06, MA2A_U05 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Kompetencje społeczne
M_K001 Potrafi precyzyjnie formułować pytania, zna ograniczenia własnej wiedzy, potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, Internecie także w językach obcych MA2A_K02, MA2A_K01, MA2A_K06 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Forma zajęć
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Inne
E-learning
Wiedza
M_W001 Zna metody numeryczne stosowane do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych + + - - - - - - - - -
M_W002 Zna przykłady modeli matematycznych kilku zagadnień technicznych i fizycznych, algorytmy ich rozwiązania i przeprowadzenia symulacji komputerowych tych zagadnień + + - - - - - - - - -
M_W003 Zna matematyczne podstawy teorii algorytmów i konstrukcji schematów rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Potrafi konstruować schematy różnicowe rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych + + - - - - - - - - -
M_U002 Rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów, metod i procesów obliczeniowych + + - - - - - - - - -
M_U003 Swobodnie posługuje się narzędziami analizy w tym elementami analizy zespolonej, rachunku różniczkowego i całkowego, orientuje się w klasycznych metodach rozwiązywania równań różniczkowych + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Potrafi precyzyjnie formułować pytania, zna ograniczenia własnej wiedzy, potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, Internecie także w językach obcych + + - - - - - - - - -
Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład:
  1. Podstawowe definicje i twierdzenia z teorii równań różniczkowych zwyczajnych

    Definicje i twierdzenia przydatne w dalszej części wykładu: istnienie, jednoznaczność i ciągła zależność rozwiązań. Analityczne rozwiązywanie wybranych typów równań, w tym układów równań liniowych i równań wyższych rzędów. Punkty stacjonarne i ich stabilność.

  2. Zasady konstruowania schematów różnicowych

    Metody Taylora. Ogólna postać schematu Rungego-Kutty, Wyprowadzenie metody typu jawnego. Macierz Butchera.

  3. Rząd metody jednokrokowej

    Rząd metody jednokrokowej, błąd lokalny i jego oszacowanie. Twierdzenie o zgodności schematu. Zbieżność schematu jednokrokowego – definicja zbieżności i dwa twierdzenia o zbieżności.

  4. Pojęcie zero-stabilności schematu jednokrokowego

    Twierdzenie o zero-stabilności i zgodności schematu. Absolutna stabilność, przykłady wyznaczania obszarów absolutnej stabilności schematu.

  5. Definicja równania różnicowego i jego rozwiązania

    Bazy rozwiązań równania jednorodnego, funkcja generująca oraz metoda przewidywania dla równania niejednorodnego.

  6. Schematy wielokrokowe

    Definicja i przykłady schematów wielokrokowych, wyznaczanie współczynników dla tych metod. Wyznaczanie rzędu. Definicja stabilności i twierdzenie o stabilności schematu wielokrokowego.

  7. Rząd schematu wielokrokowego

    Twierdzenie o rzędzie liniowego schematu wielokrokowego – (pierwsza bariera stabilności Dalquista).

  8. Twierdzenie o zbieżności schematu wielokrokowego

    Pojęcie własności root condition i twierdzenie o zbieżności schematu wielokrokowego. Twierdzenie o współczynnikach schematu symetrycznego.

  9. Zbieżności liniowego schematu wielokrokowego

    Dowód twierdzenia o zbieżności liniowego schematu wielokrokowego. Pojęcie sztywności problemu różniczkowego.

  10. Sztywność układu równań różniczkowych

    Przykłady, wskaźnik sztywności, schematy A-stabilne. Analiza stabilności schematu BDF (metody różnic wstecznych). Szkic dowodu twierdzenia o stabilności schematu BDF.

  11. Stabilności metody różnicowej

    Twierdzenie o stabilności metody różnicowej dla problemu brzegowego.

  12. Metoda wariacyjna Ritza-Rayleigha

    Metoda wariacyjna Ritza-Rayleigha, konstrukcja baz przestrzeni rozwiązań.

  13. Metody zmiennokrokowe

    Ogólne metody zmiennokrokowe, zasady konstrukcji i przykłady zastosowań tych metod.

  14. Metody strzału i różnicowa dla problemu brzegowego
Ćwiczenia audytoryjne:
Program ćwiczeń jest zgodny z programem wykładów

Rozwiązywanie zadań ilustrujący treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 157 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w wykładach 30 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 50 godz
Udział w ćwiczeniach audytoryjnych 30 godz
Przygotowanie do zajęć 35 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe z nauczycielem 10 godz
Pozostałe informacje
Sposób obliczania oceny końcowej:
  1. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  2. Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    SW = 1/3 OC + 2/3 OE,
    gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń,
    a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  3. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst
Wymagania wstępne i dodatkowe:

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, WNT 1999.
  2. J.C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, Wiley 2003.
  3. C.H. Edwards, D.E. Penney, Differential equations and linear algebra, Prentice Hall 2001
  4. D. Dubin, Numerical and analytical methods for scientists and engineers using Mathematica, Wiley 2003.
  5. E. Hairer, S. Norsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I, Springer, 2000
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Kacewicz B., Przybyłowicz P. (2008) „Optimal adaptive solution of initial-value problems with unknown singularities” , Journal of Complexity 24, 455–476.

2. Kacewicz B., Przybyłowicz P. (2014), „Optimal solution of a class of non-autonomous initial-value problems with unknown singularities”, Journal of Computational and Applied Mathematics 261, 364-377,

3. Kacewicz B., Przybyłowicz P. (2014), „Optimal adaptive solution of piecewise regular systems of IVPs with unknown switching hypersurface”, Applied Mathematics and Computation 228, 116-127

4. Kacewicz B., Przybyłowicz P. (2015), „Complexity of the derivative-free solution of systems of IVPs with unknown singularity hypersurface”, Journal of Complexity 31, 75-97

Informacje dodatkowe:

Brak