Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Numerical Methods for Engineers 2
Course of study:
2018/2019
Code:
JIS-1-018-s
Faculty of:
Physics and Applied Computer Science
Study level:
First-cycle studies
Specialty:
-
Field of study:
Applied Computer Science
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Responsible teacher:
dr hab. inż. Chwiej Tomasz (chwiej@fis.agh.edu.pl)
Academic teachers:
dr hab. inż. Chwiej Tomasz (chwiej@fis.agh.edu.pl)
Module summary

Celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z numerycznymi metodami rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych z wykorzystaniem baz funkcyjnych i metody Monte Carlo oraz równań całkowych.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Skills
M_U001 Student potrafi implementować schematy różnicowe dedykowane równaniom cząstkowym (adwekcji, dyfuzji, falowe, Poissona, Schroedingera). IS1A_U06, IS1A_U05, IS1A_U01 Examination,
Execution of laboratory classes
M_U002 Student potrafi implementować wszystkie składniki metody elementów skończonych i brzegowych dla prostych problemów. IS1A_U06, IS1A_U05, IS1A_U01 Execution of laboratory classes
Knowledge
M_W001 Student zna podstawowe typy równań cząstkowych i wie jakie zjawiska fizyczne są przez nie opisane. IS1A_W01, IS1A_W04 Examination,
Execution of laboratory classes
M_W002 Student zna typowe schematy różnicowe dedykowane równaniom cząstkowych. IS1A_W01, IS1A_W04 Examination,
Execution of laboratory classes
M_W003 Student zna ideę stosowania metod Monte Carlo dla równań cząstkowych IS1A_W01, IS1A_W04 Examination,
Execution of laboratory classes
M_W004 Student zna pojęcia związane z metodą elementów skończonych, metodą elementów brzegowych. IS1A_W01, IS1A_W04 Activity during classes,
Examination,
Execution of laboratory classes
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Others
E-learning
Skills
M_U001 Student potrafi implementować schematy różnicowe dedykowane równaniom cząstkowym (adwekcji, dyfuzji, falowe, Poissona, Schroedingera). - - + - - - - - - - -
M_U002 Student potrafi implementować wszystkie składniki metody elementów skończonych i brzegowych dla prostych problemów. - - + - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Student zna podstawowe typy równań cząstkowych i wie jakie zjawiska fizyczne są przez nie opisane. + - + - - - - - - - -
M_W002 Student zna typowe schematy różnicowe dedykowane równaniom cząstkowych. + - + - - - - - - - -
M_W003 Student zna ideę stosowania metod Monte Carlo dla równań cząstkowych + - + - - - - - - - -
M_W004 Student zna pojęcia związane z metodą elementów skończonych, metodą elementów brzegowych. + - + - - - - - - - -
Module content
Lectures:
  1. Numeryczne rozwiązywanie problemu brzegowego dla zwyczajnego równania różniczkowego

    Metoda Numerowa. Metoda strzałów. Metoda różnic skończonych.

  2. Rozwiązywanie różniczkowych równań cząstkowych w bazie funkcyjnej

    Metoda kolokacji. Metoda najmniejszych kwadratów. Metoda wariacyjna Reyleigha-Ritza. Metoda reszt ważonych. Metoda Galerkina. Sformułowanie metody różnic skończonych w formalizmie reszt ważonych.

  3. Metoda elementów skończonych

    Funkcje kształtu. Silna i słaba postać równania różniczkowego.
    Macierz sztywności i wektor obciążeń. Równanie własne w metodzie elementów skończonych. Przegląd funkcji kształtu Lagrange’a i Hermite’a.
    Kwadratury Gaussa-Legendre’a dla numerycznego całkowania macierzy sztywności.
    Przestrzeń odniesienia. Mapowanie z przestrzeni fizycznej do przestrzeni odniesienia.
    Składanie macierzy sztywności i wektora obciążeń. Elementy czworokątne.
    Elementy trójkątne. Współrzędne polowe. Całkowanie metodą Gaussa dla elementów trójkątnych.

  4. Metoda elementów brzegowych

    Funkcja Greena i rozwiązanie fundamentalne. Zastosowanie do równania Poissona.
    Słaba forma równania różniczkowego z wagą – rozwiązaniem fundamentalnym.
    Funkcje kształtu dla elementów brzegowych. Macierze wpływu i ich całkowanie numeryczne. Reguły sum.

  5. Metoda elementów skończonych dla problemów zależnych od czasu

    Równania paraboliczne i hiperboliczne. Analiza stabilności. Twierdzenie Ironsa.
    Brykietowanie masy.

  6. Równania całkowe

    Klasyfikacja równań całkowych w 1D, równania Fredholma i Volterry.

  7. Rozwiązywanie różniczkowych równań cząstkowych metodami Monte Carlo

    Rozwiązywanie układów równań liniowych metodami Monte Carlo. Metody von Neumanna-Ulama. Rozwiązywanie równania Laplace’a metodą błądzenia przypadkowego. Oczekiwany czas błądzenia. Równania adwekcji-dyfuzji jako przykład problemu błądzenia przypadkowego. Schemat błądzenia przypadkowego dla równań parabolicznych ze stałą i zmienną długością kroku.

Laboratory classes:
  1. Rozwiązanie problemu brzegowego RRZ przy użyciu metody różnic skończonych

    Należy zaimplementować metodę Numerowa/strzałów/LU do rozwiązania problemu
    brzegowego 1D.

  2. Rozwiązanie równania różniczkowego w bazie funkcyjnej.

    Należy zaimplementować metody: kolokacji, Galerkina i najmniejszych kwadratów
    w celu rozwiązania równania różniczkowego w 1D.

  3. Metoda elementów skończonych w jednym wymiarze.

    Należy zaimplementować metodę elementów skończonych z wykorzystaniem liniowych funkcji kształtu do rozwiązania równania różniczkowego 1D.

  4. Metoda elementów skończonych w dwóch wymiarach: elementy czworokątne

    Należy zaimplementować metodę elementów skończonych wykorzystującą
    elementy czworokątne do rozwiązania równania różniczkowego w 2D.

  5. Metoda elementów skończonych w dwóch wymiarach: elementy trójkątne

    Należy zaimplementować metodę elementów skończonych wykorzystującą
    elementy trójkątne do rozwiązania równania różniczkowego w 2D.

  6. Metoda elementów skończonych w dwóch wymiarach: elementy trójkątne z adaptacją siatki

    Należy zaimplementować metodę elementów skończonych wykorzystującą
    elementy trójkątne z progresywną adaptacją siatki do rozwiązania równania różniczkowego w 2D.

  7. Metoda elementów brzegowych

    Należy zaimplementować metodę elementów brzegowych do rozwiązania równania różniczkowego w 2D.

Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 150 h
Module ECTS credits 6 ECTS
Examination or Final test 2 h
Participation in lectures 30 h
Participation in laboratory classes 30 h
Preparation for classes 30 h
Realization of independently performed tasks 58 h
Additional information
Method of calculating the final grade:

Warunkiem uzyskania pozytywnej oceny końcowej z modułu jest wcześniejsze uzyskanie pozytywnych ocen z ćwiczeń laboratoryjnych i egzaminu.

Ocena końcowa liczona jest jako średnia ważona ocen z laboratorium (L) oraz egzaminu (E)
OK = 0.4 x E + 0.60 L

Prerequisites and additional requirements:

• Umiejętność programowania w języku C lub innym.
• Wiedza i umiejętności z zakresu równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych,
problemu początkowego i brzegowego oraz równań całkowych.
• Wiedza z zakresu podstawowych metod numerycznych.

Recommended literature and teaching resources:

1. Solin, P. Partial “Differential Equations and the Finite Element Method” J. Wiley & Sons, New York, 2005,
2. Zienkiewicz O. “ Finite Element Method for Its Basis and Fundamentals”, Butterworth-Heinemann , 2005
3. Lienhard J.H., “Heat transfer textbook”, Phlogiston Press, 2003
4. Quarteroni, A., Sacco, R., Saleri, F., Numerical mathematics, : Texts in Applied Mathematics , Vol. 37 , 2007

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. T. Chwiej, K. Kutorasiński, “Effect of Coulomb correlation on electron transport through a concentric quantum ring?quantum dot structure”, Phys. Rev. B 81, 165321 (2010) – rozwiązanie cząstkowego równania różniczkowego metodą Galerkina w bazie gaussowskiej (diagonalizacja macierzy operatora energii w bazie funkcyjnej), optymalizacja parametrów bazy funkcyjnej, przeprowadzenie symulacji czasowej zachowania układu dwóch cząstek (rozwiązanie RRCz) przy wykorzystaniu metody spektralnej.

2. T. Chwiej, B. Szafran, “Signatures of antibonding hole ground states in exciton spectra of vertically coupled quantum dots in an electric field”, Phys. Rev. B 81, 075302 (2010) – zastosowanie metody Galerkina (baza funkcji harmonicznych) do rozwiązania problemu własnego jedno- i dwucząstkowego, optymalizacja rozwiązań (minimalizacja energii) przy wykorzystaniu zasady wariacyjnej.

3. T. Chwiej and B. Szafran, “Schrodinger-Poisson calculations for scanning gate microscopy of quantum rings based on etched two-dimensional electron gas”, Phys. Rev. B 87, 085302 (2013) – rozwiązanie problemu własnego przy użyciu metody Galerkina (baza funkcji Gaussa), rozwiązanie numeryczne cząstkowego równania różniczkowego (rów. Poissona) przy użyciu FFT

4. T. Chwiej, “Electron motion induced by magnetic pulse in a bilayer quantum wire”, Phys. Rev. B 93, 235405 (2016) – zastosowanie schematu Rungego-Kutty 4 rzędu do rozwiązania cząstkowego równania różniczkowego z warunkiem początkowym (ewolucja czasowa)

5. T. Chwiej, “Partial spin polarization of a conductance in a bi-layer In 0.52Al0.48As/In0.53Ga 0.47As heterostructure based nanowire for the rectangular and the smooth lateral confinement potentials”, Physica E 77, 169 (2016) – numeryczne wyznaczanie funkcji Greena dla różniczkowego operatora energii w celu określenia lokalnej gęstości stanów i współczynników transmisji

Additional information:

1. Sposób zaliczania zajęć laboratoryjnych:

Na każdych zajęciach realizowany jest oddzielny projekt numeryczny, w ramach którego należy napisać SAMODZIELNIE program komputerowy rozwiązujący określone zadania zgodnie z instrukcją. Ocenie podlega stopień realizacji projektu – ocena z danych zajęć zawiera się w skali od 0 do 100 punktów.
Pod koniec semestru, po zakończeniu wszystkich zajęć, wszystkie punkty są sumowane i dzielone przez maksymalną liczbę punktów jaką można uzyskać (100 pkt x liczba zajęć) – wynik procentowy przeliczany jest na ocenę zgodnie ze skalą zamieszczoną w regulaminie studiów AGH.

Niedopuszczalne jest wykorzystywanie fragmentów kodów innych osób. Jeśli prowadzący stwierdzi ZNACZĄCE podobieństwo kodów źródłowych programów pochodzących od różnych osób, wówczas przypadek taki traktowany jest jako plagiat a osoby te otrzymują 0 punktów za dane zajęcia.

Podstawowym terminem uzyskania zaliczenia jest koniec zajęć w danym semestrze. Student może dwukrotnie przystąpić do poprawkowego zaliczania ćwiczeń, co należy rozumieć
jako poprawę wyników z dwóch zajęć laboratoryjnych, na których uzyskał najmniejszą liczbę punktów. Student wykonuje samodzielnie wybrane przez prowadzącego jedno lub dwa ćwiczenia
i przedstawia prowadzącemu wyniki i kod źródłowy w formie pisemnego raportu.

Student, który bez usprawiedliwienia opuścił więcej niż dwa ćwiczenia i nie uzyskał zaliczenia z ćwiczeń laboratoryjnych w terminie podstawowym może zostać pozbawiony przez prowadzącego zajęcia możliwości uzyskania zaliczenia w terminach poprawkowych.

2. Sposób i tryb wyrównania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Nieobecność na zajęciach laboratoryjnych wymaga od studenta samodzielnego opanowania przerabianego na tych zajęciach materiału oraz wykonania projektu w domu. W przypadku nieobecności usprawiedliwionej, w ciągu tygodnia od zakończenia zajęć należy przesłać prowadzącemu raport zawierający WSZYSTKIE wymagane wyniki (wraz z krótkimi komentarzami) oraz kod źródłowy programu. Raport wraz z kodem ocenianie są w skali od 0 do 100 punktów.

Obecność na wykładzie: zgodnie z Regulaminem Studiów AGH.

3. Egzamin:

Warunkiem przystąpienie do egzaminu jest wcześniejsze uzyskanie zaliczenia z ćwiczeń laboratoryjnych.

Egzamin przeprowadzany jest zgodnie z Regulaminem Studiów AGH § 16.