Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Numerical Methods for Engineers
Course of study:
2018/2019
Code:
JIS-1-505-s
Faculty of:
Physics and Applied Computer Science
Study level:
First-cycle studies
Specialty:
-
Field of study:
Applied Computer Science
Semester:
5
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. inż. Chwiej Tomasz (chwiej@fis.agh.edu.pl)
Academic teachers:
dr hab. inż. Chwiej Tomasz (chwiej@fis.agh.edu.pl)
Module summary

Moduł umożliwia studentom zdobycie podstawowej wiedzy i umiejętności związanych z wykorzystaniem metod numerycznych do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Skills
M_U001 Student potrafi analizować zbieżność, spójność oraz stabilność schematów różnicowych. IS1A_U05, IS1A_U01 Examination
M_U002 Student potrafi implementować schematy jawne i niejawne, jednokrokowe oraz wielokrokowe w programach komputerowych całkujących równania różniczkowe zwyczajne. Student potrafi implementować schematy różnicowe dedykowane równaniom cząstkowym (adwekcji, dyfuzji, falowe, Poissona). IS1A_U06, IS1A_U05, IS1A_U01 Execution of laboratory classes
M_U003 Student potrafi rozwiązywać problemu początkowe oraz brzegowe metodą różnic skończonych IS1A_U06, IS1A_U05, IS1A_U01 Examination,
Execution of laboratory classes
Knowledge
M_W001 Student zna pojęcia spójności stabilności i zbieżności schematów różnicowych. IS1A_W04 Examination,
Execution of laboratory classes
M_W002 Student zna pojęcia związane z równaniami różniczkowymi. Potrafi omówić najważniejsze metody dyskretyzacji równań zależnych od czasu. Student zna podstawowe typy równań cząstkowych i wie jakie zjawiska fizyczne są przez nie opisane. Student zna typowe schematy różnicowe dedykowane równaniom cząstkowych. IS1A_W01, IS1A_W04 Activity during classes,
Examination,
Execution of laboratory classes
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Others
E-learning
Skills
M_U001 Student potrafi analizować zbieżność, spójność oraz stabilność schematów różnicowych. + - + - - - - - - - -
M_U002 Student potrafi implementować schematy jawne i niejawne, jednokrokowe oraz wielokrokowe w programach komputerowych całkujących równania różniczkowe zwyczajne. Student potrafi implementować schematy różnicowe dedykowane równaniom cząstkowym (adwekcji, dyfuzji, falowe, Poissona). - - + - - - - - - - -
M_U003 Student potrafi rozwiązywać problemu początkowe oraz brzegowe metodą różnic skończonych - - + - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Student zna pojęcia spójności stabilności i zbieżności schematów różnicowych. + - + - - - - - - - -
M_W002 Student zna pojęcia związane z równaniami różniczkowymi. Potrafi omówić najważniejsze metody dyskretyzacji równań zależnych od czasu. Student zna podstawowe typy równań cząstkowych i wie jakie zjawiska fizyczne są przez nie opisane. Student zna typowe schematy różnicowe dedykowane równaniom cząstkowych. + - + - - - - - - - -
Module content
Lectures:

Wstęp do metod numerycznych dla różniczkowych równań zwyczajnych
• podstawowe pojęcia numerycznej analizy różniczkowych równań zwyczajnych na przykładzie jawnej metody Eulera
• dyskretyzacja zmiennej czasowej
• błąd lokalny schematu, zakumulowany błąd globalny, błąd dyskretyzacji, spójność metody, zbieżność, rząd zbieżności
Jawne i niejawne schematy różnicowe
• stabilność bezwzględna metody różnicowej, region bezwzględnej stabilności, błędy zaokrągleń a optymalny krok czasowy
• problemy sztywne
• niejawna metoda Eulera
• rozwiązywanie równań metod niejawnych: iteracja funkcjonalna, metoda Newtona
Metody jednokrokowe wysokiej dokładności
• metody Rungego–Kutty: Forma ogólna.
• tabele Butchera.
• niejawne metody RK
Stabilność i dokładność metod jednokrokowych
• szacowanie błędu metod jednokrokowych.
• ekstrapolacja Richardsona.
• algorytm Aitkena–Nevilla
• automatyczny dobór kroku czasowego.
• detekcja sztywności i problemy nieliniowe.
Liniowe metody wielokrokowe
• metody Adamsa–Bashforta
• metody Adamsa Moultona
• metody różnic wstecznych
Spójność, zbieżność i stabilność liniowych metod wielokrokowych
• rozwiązania pasożytnicze
• wielomiany charakterystyczne
• twierdzenie o ekwiwalencji Dahlquista
• metody predyktor – korektor.
Wstęp do równań różniczkowych cząstkowych
• Typy równań drugiego rzędu.
• Wstęp do podejścia różnic skończonych.
• Operatory różnicowe.
Eliptyczne równania cząstkowe
• Równanie Laplace’a i Poissona.
• Zasada najmniejszego działania równania Eulera Lagrange’a w wersji ciągłej i dyskretnej.
• Metody iteracyjne rozwiązywania równań eliptycznych w metodzie równań skończonych.
• Widmo macierzy iteracji a tempo zbieżności. Metody wielosiatkowe.

Równania cząstkowe dynamiki płynów.
•Gęstość prądu i równanie ciągłości.
•Linie strumienia i funkcja strumienia.
•Równania Eulera dla przepływu z zaniedbaniem lepkości.
•Przepływ potencjalny.
•Równania Naviera–Stokesa.
•Wyrażenie równań Naviera–Stokesa przez funkcje strumienia i wirowości.
•Przepływ stacjonarny cieczy lepkiej, rozwiązanie metodą różnic skończonych.
•Warunki brzegowe na funkcje strumienia i wirowość.

Metody różnic skończonych dla równań cząstkowych na przykładzie równania adwekcji
•Metody upwind, downwind i centralna.
•Domena zależności fizycznej i numerycznej.
•Kryterium CFL.
•Spójność, zbieżność, stabilność: definicje dla różnych norm.
•Bezwzględna stabilność.
•Analiza stabilności von Neumanna.
•Schematy Laxa–Friedrichsa i Laxa–Wendorffa.
•Macierzowa analiza stabilności.
•Tw. o ekwiwalencji Laxa. Szacowanie błędów a posteriori.
•Dyfuzja numeryczna.
•Metody wielopoziomowe oraz metody niejawne.
•Schemat Cranka–Nicholsona.

Metody numeryczne dla równań parabolicznych i hiperbolicznych
•Równanie przewodnictwa cieplnego.
•Prawo Fouriera i Newtona.
•Stabilność i dokładność metod jawnych i niejawnych.
•Odwrotny problem przewodnictwa cieplnego.
•Nieliniowe równanie dyfuzji.
• Równanie adwekcji – dyfuzji
•Równanie falowe, rozwiązanie schematami Verleta i Newmarka

Laboratory classes:

Schematy jawne i niejawne dla równań różniczkowych zwyczajnych
Efekty kształcenia:
• Student potrafi napisać program komputerowy rozwiązujący równanie różniczkowe zwyczajne schematem Eulera w wersji jawnej
• Student potrafi rozwiązywać problem nieliniowy występujący w niejawnej wersji schematu Eulera metodą Newtona
• Student potrafi napisać program, który rozwiązuje równanie różniczkowe zwyczajne i jednocześnie szacuje błąd uzyskanego rozwiązania przybliżonego
• Student potrafi napisać program, który na podstawie oszacowania błędu dobiera krok czasowy dla zadanej tolerancji metodą ekstrapolacji Richardsona
• Student potrafi rozwiązywać równania i układy równań różniczkowych jawnymi metodami Rungego-Kutty 2 i 4 rzędu

Cząstkowe eliptyczne równania różniczkowe

• Student potrafi zaimplementować metody relaksacji i nadrelaksacji dla równania Poissona w 2D
• Student potrafi zaimplementować wielosiatkową strategię rozwiązywania równania Poissona.

Przepływ potencjalny
Efekty kształcenia:
•Student potrafi napisać program komputerowy rozwiązujący problem przepływu
nielepkiego wyrażonego przez potencjał oraz funkcję strumienia

Przepływ lepki
Efekty kształcenia:
•Student potrafi napisać program komputerowy rozwiązujący problem przepływu
lepkiego wyrażonego przez wirowość oraz funkcję strumienia metodą różnic
skończonych ze szczególnym uwzględnieniem implementacji warunków brzegowych

Równanie adwekcji
Efekty kształcenia:
•Student potrafi rozwiązać numerycznie metodą różnic skończonych problem adwekcji
dla pola prędkości rozwiązanego w przepływie lepkim

Równanie dyfuzji ciepła
Efekty kształcenia:
•Student potrafi rozwiązać numerycznie metodą różnic skończonych problem dyfuzji
ciepła metodą Cranka-Nicolsona i przeanalizować bilans cieplny przepływu

Równanie falowe
Efekty kształcenia:
•Student potrafi rozwiązać numerycznie metodą różnic skończonych problem
drgającej struny z uwzględnieniem tłumienia i wymuszenia i analizą rezonansów
zależnie od częstości siły wymuszającej oraz sposobu jej przyłożenia

Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 127 h
Module ECTS credits 5 ECTS
Examination or Final test 2 h
Participation in lectures 30 h
Realization of independently performed tasks 45 h
Participation in laboratory classes 30 h
Preparation for classes 20 h
Additional information
Method of calculating the final grade:

Warunkiem uzyskania pozytywnej oceny końcowej jest: 1) zaliczenie ćwiczeń laboratoryjnych oraz 2) zdany egzamin.

Ocena końcowa (OK) obliczana jest według wzoru: OK=0.4*E+0.6*L

gdzie: E – ocena z egzaminu liczona jako średnia arytmetyczna z wszystkich ocen jakie student uzyskał na kolejnych terminach, L – ocena uzyskana z ćwiczeń laboratoryjnych

Prerequisites and additional requirements:

• Umiejętność programowania w języku C na poziomie 4 semestru
• Wiedza i umiejętności w zakresie matematyki na poziomie 4 semestru
• Student skończył wcześniej kurs pt. „Metody numeryczne”

Recommended literature and teaching resources:

1) W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, “Numerical Recipes in C”, Cambridge
University Press, 1992
2) F. J. Vesely, “Computational Physics”, Springer, 2001
3) J. D. Hoffman, “Numerical methods for engineers ans scientists”, Marcel Dekker, 1992
5) A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, “Numerical mathematics”, Springer, 2000
6) J.H. Lienhard , “Heat transfer textbook”, Phlogiston Press, 2003

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. T. Chwiej and B. Szafran, “Schrodinger-Poisson calculations for scanning gate microscopy of quantum rings based on etched two-dimensional electron gas”, Phys. Rev. B 87, 085302 (2013) – rozwiązanie problemu własnego przy użyciu metody Galerkina (baza funkcji Gaussa), rozwiązanie numeryczne cząstkowego równania różniczkowego (rów. Poissona) przy użyciu FFT

2. T. Chwiej, “Electron motion induced by magnetic pulse in a bilayer quantum wire”, Phys. Rev. B 93, 235405 (2016) – zastosowanie schematu Rungego-Kutty 4 rzędu do rozwiązania cząstkowego równania różniczkowego z warunkiem początkowym (ewolucja czasowa)

3. T. Chwiej,B. Szafran, “Fractional conductance oscillations in quantum rings: wave packet picture of transport in a few-electron system”, J. Phys.: Condens. Matter 25, (2013) 155802 – zastosowanie metody Cranck-Nicolson w numerycznej symulacji kilkuelektronowego pakietu falowego

Additional information:

1. Zaliczanie ćwiczeń laboratoryjnych:

Na każdych zajęciach laboratoryjnych wykonywany jest oddzielny projekt, którego realizacja polega na numerycznym rozwiązaniu pojedynczego równania różniczkowego lub ich układu samodzielnie przez studenta. Po zakończeniu każdych zajęć, prowadzący na podstawie stopnia realizacji projektu (wyniki + kod źródłowy programu) ocenia aktywność studenta w skali od 0 do 100 punktów. Jeśli nie zdołał on zrealizować całego projektu na zajęciach, zobowiązany jest wówczas do dokończenia go samodzielnie w domu.

W przypadku spodziewanego braku pozytywnego wyniku z przesłanego w trakcie zajęć programu (tzn. < 50pkt) istnieje możliwość przesłania raportu wraz z poprawionym programem. Raport (w formie dokumentu pdf) powinien zawierać wszystkie wymagane wyniki opatrzone stosownymi wzorami i komentarzami. Raport należy przesłać do prowadzącego zajęcia maksymalnie do 7 dni od zajęć, których dotyczy. Prawidłowo wykonany raport może podnieść wynik punktowy z danego projektu maksymalnie do 50pkt.

W przypadku usprawiedliwionej nieobecności na zajęciach, projekt należy wykonać w domu i w ciągu tygodnia od zakończenia zajęć przesłać prowadzącemu raport w postaci pliku pdf oraz kod źródłowy programu. Raport powinien zawierać WSZYSTKIE WYMAGANE wyniki wraz z ich opisem. Raport oceniany jest w skali od 0 do 100 punktów, które traktowane są jako aktywność z danych zajęć.

Niedopuszczalne jest kopiowanie fragmentów lub całego kodu źródłowego programu od innych osób.
Osoby, u których prowadzący stwierdzi ZNACZĄCE podobieństwo kodów źródłowych otrzymują 0 punktów z danych zajęć.

Po zakończeniu semestru, wszystkie punkty są sumowane, a wynik dzielony przez maksymalną liczbę punktów możliwą do zdobycia (=100 pkt. x liczba zajęć) – uzyskany wynik procentowy jest przeliczany na ocenę zgodnie z regulaminem studiów AGH.

Osoby, które nie uzyskały zaliczenia w terminie podstawowym oraz nie opuściły z przyczyn nieusprawiedliwionych więcej niż 2 zajęć mogą przystąpić do dwóch terminów poprawkowych. Na każdym z nich realizowany jest jeden projekt, a punkty uzyskane za jego wykonanie zastępują najgorszy wynik uzyskany w semestrze, po czym ponownie obliczany jest sumaryczny wynik procentowy i przeliczany na ocenę z zaliczenia według algorytmu przytoczonego powyżej.

2. Sposób i tryb wyrównania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na ćwiczeniach laboratoryjnych:

Jeśli student nie uczestniczył w zajęciach, wówczas jest on zobowiązany do samodzielnego wykonania projektu w domu. W przypadku nieobecności usprawiedliwionej należy wykonać raport, który podlega ocenie (patrz pkt. 1).

3. Egzamin:

Obecność na wykładzie: zgodnie z Regulaminem Studiów AGH. Egzamin przeprowadzany jest zgodnie z Regulaminem Studiów AGH.