Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Metody numeryczne
Tok studiów:
2018/2019
Kod:
JIS-1-405-s
Wydział:
Fizyki i Informatyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Informatyka Stosowana
Semestr:
4
Profil kształcenia:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma i tryb studiów:
Stacjonarne
Osoba odpowiedzialna:
dr hab. inż. Chwiej Tomasz (chwiej@fis.agh.edu.pl)
Osoby prowadzące:
dr hab. inż. Chwiej Tomasz (chwiej@fis.agh.edu.pl)
dr hab. inż. Krawczyk Małgorzata (krawczyk@fis.agh.edu.pl)
dr hab. inż, prof. AGH Malarz Krzysztof (malarz@agh.edu.pl)
Krótka charakterystyka modułu

Cele przedmiotu: 1) przekazanie podstawowej wiedzy o metodach używanych w obliczeniach numerycznych oraz 2) nabycie umiejętności implementowania algorytmów numerycznych na komputerze

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Powiązania z EKK Sposób weryfikacji efektów kształcenia (forma zaliczeń)
Wiedza
M_W001 Student zna i rozumie podstawy matematyczne metod numerycznych używanych do rozwiązywania układów równań liniowych i nieliniowych, przeprowadzania interpolacji i aproksymacji, całkowania numerycznego, wyznaczania wartości i wektorów własnych macierzy, wyznaczania minimum funkcji oraz generowania liczb pseudolosowych. Student posiada wiedzę dotyczącą złożoności obliczeniowej wybranych metod numerycznych. IS1A_W01 Egzamin
M_W002 Student posiada wiedzę dotyczącą błędów numerycznych, ich wpływu na dokładność obliczeń oraz umie oszacować ich wielkość dla kilku wybranych metod. Student posiada wiedzę dotyczącą sposobów wykorzystania metod numerycznych w nauce i technice IS1A_W01, IS1A_W04 Egzamin
Umiejętności
M_U001 Student potrafi wykorzystać znane mu metody numeryczne do rozwiązania postawionego zadania numerycznego. Do realizacji tego zadania używa stworzonej przez siebie aplikacji komputerowej oraz wykorzystuje gotowe procedury ze znanych mu bibliotek numerycznych. IS1A_U06, IS1A_U05 Wykonanie ćwiczeń laboratoryjnych,
Sprawozdanie
M_U002 Student potrafi w sposób jakościowy i ilościowy prezentować wyniki obliczeń numerycznych , dokonać ich krytycznej analizy oraz na podstawie posiadanej wiedzy i zdobytego doświadczenia określić wady i zalety metod numerycznych użytych do rozwiązania konkretnego zadania numerycznego IS1A_U02, IS1A_U06, IS1A_U01 Wykonanie ćwiczeń laboratoryjnych,
Sprawozdanie
M_U003 Student potrafi skonstruować algorytm numeryczny dla prostego zadania numerycznego, wykorzystuje posiadaną wiedzę dotyczącą złożoności obliczeniowej oraz dokładności użytych metod numerycznych w celu uzyskania optymalnego rozwiązania IS1A_U06 Wykonanie ćwiczeń laboratoryjnych
Kompetencje społeczne
M_K001 Student inicjuje dyskusję w grupie oraz aktywnie w niej uczestniczy, zadaje pytania, proponuje alternatywne sposoby rozwiązania problemu, swoje argumenty logicznie uzasadnia IS1A_K01 Wykonanie ćwiczeń laboratoryjnych,
Udział w dyskusji
M_K002 Student wykazuje się samodzielnością oraz własną inwencją w trakcie rozwiązywania zadań zlecanych mu przez prowadzącego IS1A_K01 Wykonanie ćwiczeń laboratoryjnych
Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć
Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Forma zajęć
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Inne
E-learning
Wiedza
M_W001 Student zna i rozumie podstawy matematyczne metod numerycznych używanych do rozwiązywania układów równań liniowych i nieliniowych, przeprowadzania interpolacji i aproksymacji, całkowania numerycznego, wyznaczania wartości i wektorów własnych macierzy, wyznaczania minimum funkcji oraz generowania liczb pseudolosowych. Student posiada wiedzę dotyczącą złożoności obliczeniowej wybranych metod numerycznych. + - - - - - - - - - -
M_W002 Student posiada wiedzę dotyczącą błędów numerycznych, ich wpływu na dokładność obliczeń oraz umie oszacować ich wielkość dla kilku wybranych metod. Student posiada wiedzę dotyczącą sposobów wykorzystania metod numerycznych w nauce i technice + - - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Student potrafi wykorzystać znane mu metody numeryczne do rozwiązania postawionego zadania numerycznego. Do realizacji tego zadania używa stworzonej przez siebie aplikacji komputerowej oraz wykorzystuje gotowe procedury ze znanych mu bibliotek numerycznych. - - + - - - - - - - -
M_U002 Student potrafi w sposób jakościowy i ilościowy prezentować wyniki obliczeń numerycznych , dokonać ich krytycznej analizy oraz na podstawie posiadanej wiedzy i zdobytego doświadczenia określić wady i zalety metod numerycznych użytych do rozwiązania konkretnego zadania numerycznego + - + - - - - - - - -
M_U003 Student potrafi skonstruować algorytm numeryczny dla prostego zadania numerycznego, wykorzystuje posiadaną wiedzę dotyczącą złożoności obliczeniowej oraz dokładności użytych metod numerycznych w celu uzyskania optymalnego rozwiązania + - + - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Student inicjuje dyskusję w grupie oraz aktywnie w niej uczestniczy, zadaje pytania, proponuje alternatywne sposoby rozwiązania problemu, swoje argumenty logicznie uzasadnia + - + - - - - - - - -
M_K002 Student wykazuje się samodzielnością oraz własną inwencją w trakcie rozwiązywania zadań zlecanych mu przez prowadzącego - - + - - - - - - - -
Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład:
  1. Błędy w obliczeniach numerycznych. Algorytmy numeryczne.

    Własności zapisu zmiennopozycyjnego. Klasyfikacja błędów numerycznych. Szacowanie błędów zaokrągleń. Zadanie i algorytm numeryczny. Uwarunkowanie zadania. Stabilność algorytmów numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów.

  2. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodami bezpośrednimi

    Normy wektorów i macierzy. Metoda eliminacji Gaussa i Jordana, postępowanie odwrotne. Uwarunkowanie zadania rozwiązania układu równań liniowych. Wyznaczanie rozkładów LU, LDL^T, LL^T oraz wykorzystanie ich do rozwiązania układu równań. Iteracyjne poprawianie rozwiązania. Rozwiązywanie układów równań liniowych nadokreślonych poprzez przekształcenie do układu normalnego oraz z wykorzystaniem rozkładu QR. Wyznaczenie rozkładu QR macierzy metodą Grama-Schmidta.

  3. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodami iteracyjnymi

    Proste metody iteracyjne: metoda Jacobiego, metoda Gaussa-Seidla, metoda nadrelaksacji. Macierze iterujące i przyśpieszanie zbieżności (preconditioning). Metoda sprzężonego gradientu. Metoda najszybszego spadku. Zbieżność metod iteracyjnych.

  4. Wyznaczanie wartości i wektorów własnych macierzy

    Lokalizacja wartości własnych, zastosowanie metody potęgowej z redukcją macierzy, sprowadzanie macierzy hermitowskich do postaci trójdiagonalnej metodą Hausholdera i Lanczosa, sprowadzanie macierzy kwadratowej do postaci Hessenberga metodą eliminacji Gaussa, rozkład QR metodą Hauseholdera, wyznaczanie wartości własnych metodą bisekcji, wyznaczanie wartości i wektorów własnych metodą QR. Schemat rozwiązania uogólnionego problemu własnego

  5. Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów

    Ogólny wzór metody iteracyjnej i jej zbieżność. Wyznaczanie pojedynczych i wielokrotnych pierwiastków rzeczywistych równania nieliniowego metodami: połowienia, Regula Falsi, siecznych, Newtona. Przyśpieszanie zbieżności w metodzie liniowej. Rozwiązywanie układu równań nieliniowych metodą Newtona i metodą siecznych. Wyznaczanie zer wielomianów metodą iterowanego dzielenia wielomianów.

  6. Interpolacja

    Idea interpolacji wielomianowej. Wzór interpolacyjny Lagrange’a, oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego. Efekt Rungego. Optymalny dobór węzłów interpolacji, wielomiany Czebyszewa. Ilorazy różnicowe, różnice progresywne, różnice wsteczne. Wzory interpolacyjne Newtona. Interpolacja funkcjami sklejanymi.

  7. Aproksymacja

    Aproksymacja jednostajna i średniokwadratowa. Aproksymacja średniokwadratowa w bazach: jednomianów, wielomianów ortogonalnych, funkcji trygonometrycznych, funkcji sklejanych. Aproksymacja Padego.

  8. Minimalizacja wartości funkcji

    Funkcja celu. Metody bezgradientowe: metoda złotego podziału, metoda sympleks. Metoda interpolacji Powella. Metody gradientowe: metoda największego spadku, metoda gradientów sprzężonych, metoda Newtona. Minimalizacja z ograniczeniami, metoda funkcji kary. Przykłady.

  9. Szybka transformacja Fouriera

    Szereg Fouriera, korelacja i splot funkcji. Dyskretna transformacja Fouriera. Ogólny algorytm FFT, algorytm Radix-2 w jednym i w dwóch wymiarach. Przykłady zastosowań FFT: szybkie mnożenie wielomianów, filtracja sygnału, obliczanie całek.

  10. Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Newtona-Cotesa i kwadratur Gaussa

    Interpolacja funkcji podcałkowej wielomianem interpolacyjnym. Kwadratury Newtona-Cotesa: wzór trapezów, wzór parabol, wzory złożone. Szacowanie błędu kwadratur Newtona-Cotesa. Ekstrapolacja Richardsona, metoda Romberga. Metoda całkowania adaptacyjnego. Kwadratury Gaussa. Całkowanie funkcji wielu zmiennych.

  11. Generatory liczb pseudolosowych

    Liniowe, nieliniowe i kombinowane generatory o rozkładzie równomiernym. Przykłady generatorów: multiplikatywny, Fibonacciego, Tauswortha, uniwersalny. Generowanie liczb pseudolosowych o dowolnym ciągłym lub dyskretnym rozkładzie prawdopodobieństwa, metody: odwracania dystrybuanty, eliminacji, superpozycji rozkładów. Generator liczb pseudolosowych o rozkładzie równomiernym w wielowymiarowej kuli. Parametry statystyczne generatorów. Testowanie generatorów. o rozkładzie równomiernym, test chi-kwadrat, testy zgodności rozkładów statystyk.

  12. Całkowanie numeryczne metodą Monte Carlo

    Podstawowa metoda MonteCarlo całkowania numerycznego, metoda orzeł-reszka, szacowanie błędu metody. Zwiększanie efektywności metody MC, metoda losowania ważonego, metoda zmiennej kontrolnej, metoda losowania warstwowego, metoda obniżania krotności całki. Przykłady szacowania wartości całek metodą MC.

Ćwiczenia laboratoryjne:
  1. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą eliminacji

    Na zajęciach należy napisać program, którego zadaniem będzie rozwiązanie układu równań liniowych metodą eliminacji Gaussa lub Jordana oraz wyznaczenie macierzy odwrotnej (poprzez rozwiązanie n układów równań). W programie należy wykorzystać procedury dostępne w bibliotece Numerical Recipes.

  2. Rozkład LU macierzy

    Na zajęciach należy napisać program, który:
    a) wyznacza rozkład LU macierzy
    b) przy użyciu macierzy L i U rozwiązuje zadany układ równań liniowych
    W programie należy wykorzystać procedury dostępne w bibliotece Numerical Recipes.

  3. Iteracyjne rozwiązywanie układów równań liniowych

    Na zajęciach należy zaprogramować schemat iteracyjnego rozwiązywania układu równań liniowych. W programie należy wykorzystać rzadkość macierzy układu w celu minimalizacji nakładu obliczeń w metodzie iteracyjnej

  4. Wyznaczanie wartości i wektorów własnych macierzy symetrycznych metodami bezpośredniemi

    Na zajęciach należy napisać program, którego zadaniem będzie:
    a) sprowadzenie symetrycznej macierzy kwadratowej o elementach rzeczywistych do postaci trójdiagonalnej
    b) wyznaczenie wartości i wektorów własnych macierzy trójdiagonalnej
    c) wykonanie transformacji wektorów własnych macierzy trójdiagonalnej w celu wyznaczenia wektorów własnych macierzy pierwotnej
    W programie należy wykorzystać procedury z biblioteki Numerical Recipes lub innej.

  5. Wyznaczanie wartości i wektorów własnych macierzy symetrycznych metodami iteracyjnymi

    Należy zaimplementować jedną z metod iteracyjnych przeznaczonych do wyznaczania wartości i wektorów własnych macierzy.

  6. Wyznaczanie pojedynczych i wielokrotnych pierwiastków równania nieliniowego

    Na zajęciach należy zaprogramować wskazane przez prowadzącego algorytmy iteracyjnego poszukiwania pojedynczych i wielokrotnych pierwiastków równania nieliniowego.

  7. Interpolacja wielomianowa

    Na zajęciach należy napisać program, który dla określonego zestawu położeń węzłów i wartości funkcji wyznaczy współczynniki wielomianu interpolacyjnego. Następnie program należy zmodyfikować tak aby zapewniał on optymalizację położeń węzłów ze względu na minimalizację błędu interpolacji.

  8. Interpolacja w bazie funkcji sklejanych

    Na zajęciach należy zaprogramować jedną z metod wykorzystujących funkcje sklejane (wielomiany trzeciego stopnia) do interpolacji przebiegu funkcji.

  9. Aproksymacja

    Na zajęciach należy zaprogramować algorytm numerycznego wyznaczania współczynników funkcji aproksymującej w zaproponowanej przez siebie bazie funkcyjnej. Wyboru bazy funkcji aproksymujących, optymalnej dla rozważanego problemu, należy wykonać na podstawie analizy zachowania funkcji aproksymowanej.

  10. Poszukiwanie minimum wartości funkcji

    Na zajęciach należy zaprogramować, wskazany przez prowadzącego algorytm iteracyjnego poszukiwania minimum wartości funkcji z wykorzystaniem odpowiedniego kryterium stopu. Przy użyciu tego programu student ma za zadanie określić położenie minimum zadanej funkcji.

  11. Szybka transformacja Fouriera

    Na zajęciach należy napisać program, którego zadaniem będzie wyznaczanie dyskretnej transformaty Fouriera oraz transformaty odwrotnej przy użyciu algorytmu FFT. W programie należy wykorzystać procedury z biblioteki Numerical Recipes/GSL etc.

  12. Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Newtona-Cotesa

    Na zajęciach należy zaprogramować metodę całkowania numerycznego z wykorzystaniem wzorów złożonych trapezów i parabol oraz zastosować prosty schemat adaptacyjnego obliczania wartości całki.

  13. Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Gaussa

    Na zajęciach należy zaprogramować metodę całkowania numerycznego z wykorzystaniem kwadratur Gaussa-Legendre’a, Gaussa-Laguerre’a, Gaussa-Hermite’a. Do wyznaczenia położeń węzłów kwadratury oraz jej współczynników należy wykorzystać procedury z biblioteki Numerical Recipes.

  14. Generatory liczb pseudolosowych

    Na zajęciach należy wygenerować kilka ciągów liczb pseudolosowych dla zadanych przez prowadzącego rozkładów prawdopodobieństwa oraz wykonać odpowiednie testy statystyczne w celu określenia ich przydatności w obliczeniach numerycznych.

  15. Całkowanie metodą Monte Carlo

    Na zajęciach należy zaimplementować jeden z algorytmów do generowania ciągu liczb pseudolosowych i wykorzystać go w metodzie Monte Carlo w celu numerycznego oszacowania wartości całki i jej błędu.

Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 152 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 50 godz
Przygotowanie sprawozdania, pracy pisemnej, prezentacji, itp. 40 godz
Udział w wykładach 30 godz
Udział w ćwiczeniach laboratoryjnych 30 godz
Pozostałe informacje
Sposób obliczania oceny końcowej:

Oceny z ćwiczeń laboratoryjnych (L) oraz z egzaminu (E) obliczane są następująco: procent uzyskanych punktów przeliczany jest na ocenę zgodnie z Regulaminem Studiów AGH.

Ocena z egzaminu wyliczana po zaliczeniu w drugim terminie (tzw. pierwszy termin poprawkowy):
E = 0.2*(pierwszy termin) + 0.8*(drugi termin)
Ocena z egzaminu wyliczana po zaliczeniu w trzecim terminie (tzw. drugi termin poprawkowy):
E = 0.2*(pierwszy termin) + 0.2*(drugi termin) + 0.6*(trzeci termin)

Uwaga: Jeżeli po zdaniu egzaminu w jednym z terminów poprawkowych, średnia ważona z wszystkich terminów będzie niższa niż 3.0, wówczas należy przyjąć E=3.0 przy obliczaniu oceny końcowej.

Ocena końcowa (OK) obliczana jest jako średnia ważona ocen z egzaminu (E) i z ćwiczeń laboratoryjnych (L):
OK = 0.55 x E + 0.45 x L

Wymagania wstępne i dodatkowe:

• Umiejętność programowania w języku C
• Znajomość podstaw algebry liniowej (operacje na wektorach i macierzach)
• Znajomość rachunku różniczkowego i całkowego w zakresie podstawowym
• Znajomość podstaw rachunku prawdopodobieństwa i statystyki

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

T. Chwiej – Materiały pomocnicze do przedmiotu: Metody Numeryczne
(http://galaxy.agh.edu.pl/~chwiej/mn.html)
Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski – „Metody numeryczne”, WNT, Warszawa 1993
A. Ralston – ”Wstęp do analizy numerycznej”, PWN, Warszawa 1971
R. Wieczorkowski, R. Zieliński – “Komputerowe generatory liczb losowych”,
WNT, Warszawa 1997
W.H. Press et al.- “Numerical recipes : the art of scientific computing”,
Cambridge University Press 2007
Biblioteka „Numerical Recipes” – pakiet zawierający zestaw procedur numerycznych dla języków: C i Fortran 77, dostępny na serwerze Taurus Wydziału Fizyki i Informatyki Stosowanej

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:
  • T. Chwiej, K. Kutorasiński, “Effect of Coulomb correlation on electron transport through a concentric quantum ring–quantum dot structure”, Phys. Rev. B 81, 165321 (2010) – rozwiązanie cząstkowego równania różniczkowego metodą Galerkina w bazie gaussowskiej (diagonalizacja macierzy operatora energii), optymalizacja parametrów bazy funkcyjnej, przeprowadzenie symulacji czasowej zachowania układu dwóch cząstek (rozwiązanie RRCz) przy wykorzystaniu metody spektralnej
  • T. Chwiej, B. Szafran, “Signatures of antibonding hole ground states in exciton spectra of vertically coupled quantum dots in an electric field”, Phys. Rev. B 81, 075302 (2010) – zastosowanie metody Galerkina do rozwiązania problemu własnego w czterowymiarowej przestrzeni, optymalizacja rozwiązań przy wykorzystaniu zasady wariacyjnej
  • T. Chwiej and B. Szafran, “Schrodinger-Poisson calculations for scanning gate microscopy of quantum rings based on etched two-dimensional electron gas”, Phys. Rev. B 87, 085302 (2013) – rozwiązanie problemu własnego w bazie funkcyjnej, rozwiązanie numeryczne cząstkowego równania różniczkowego (rów. Poissona) przy użyciu FFT
  • T. Chwiej, “Electron motion induced by magnetic pulse in a bilayer quantum wire”, Phys. Rev. B 93, 235405 (2016) – zastosowanie schematu Rungego-Kutty do rozwiązania cząstkowego równania różniczkowego (ewolucja czasowa)
Informacje dodatkowe:

Zasady zaliczania zajęć:

a) Ćwiczenia laboratoryjne

Na każdych zajęciach student samodzielnie realizuje projekt według kolejności podanej w opisie modułu
- szczegóły projektu ustala prowadzący zajęcia. Na zajęciach studenci oceniani są z przygotowania
teoretycznego oraz ze stopnia realizacji projektu w trakcie zajęć (tzw. aktywność). Jeżeli student
nie zrealizuje całego projektu na zajęciach, wówczas jest on zobowiązany do jego dokończenia w domu.
Student zobowiązany jest także do przesłania w formie elektronicznej sprawozdania z danych zajęć
do prowadzącego w ciągu tygodnia od ich ukończenia. Każde sprawozdanie z zajęć jest ocenianie.
Aktywność, przygotowanie teoretyczne i sprawozdania są oceniane w skali od 0 do 100 punktów.
Końcowa punktacja z ćwiczeń laboratoryjnych obliczana jest jako średnia arytmetyczna wszystkich punktów uzyskanych przez studenta. Przeliczanie końcowego wyniku punktowego na ocenę następuje zgodnie ze skalą przeliczeniową zamieszczoną w regulaminie studiów AGH.
Uwaga: na pierwszych zajęciach nie jest wystawiana ocena z aktywności,
oceniane jest natomiast sprawozdanie z tych zajęć.

Nieusprawiedliwiona nieobecność na zajęciach skutkuje wystawieniem 0 punktów z aktywności z danych zajęć, nie zwalnia jednak studenta z terminowego nadesłania sprawozdania z tych zajęć. Gdy nieobecność
na zajęciach laboratoryjnych jest usprawiedliwiona, wówczas ilość punktów otrzymanych z aktywności
z danych zajęć nie jest brana pod uwagę przy obliczaniu końcowego wyniku punktowego z ćwiczeń laboratoryjnych pod warunkiem że ilość nieobecności usprawiedliwionych nie przekracza dwóch w ciągu całego semestru.
W przypadku większej niż dwie ilości nieobecności usprawiedliwionych, student jest zobowiązany
do odrobienia zajęć (tj. aktywności i nadesłania sprawozdań z tych zajęć) w terminach poprawkowych.
W przypadku nieobecności usprawiedliwionej (nie więcej niż dwie w ciągu semestru) jest on zobowiązany
do przesłania sprawozdania z danych zajęć do prowadzącego w ciągu tygodnia od pojawienia się
na kolejnych zajęciach, sprawozdanie to jest oceniane.

Podstawowym terminem uzyskania zaliczenia jest koniec zajęć w danym semestrze. Przy braku zaliczenia
w terminie podstawowym student może dwukrotnie przystąpić do poprawkowego zaliczania. Na każdym
z terminów poprawkowych, student może poprawiać tj. powiększyć wynik punktowy
(aktywność+sprawozdanie+przygotowanie teoretyczne) tylko z jednego wybranego projektu,
z którego student uzyskał wynik poniżej 50 punktów (wyliczaną jako średnia arytmetyczna z tych 3 ocen).
Osoby odrabiające zajęcia w terminach poprawkowych (nieobecności usprawiedliwione),
po uzyskaniu zgody prowadzącego, mogą realizować więcej niż jeden projekt w ciągu jednego terminu.
Punkty uzyskane w terminie poprawkowym zastępują te poprzednie z „poprawianych” projektów tzn. są one uwzględniane podczas ponownego wyliczania końcowego wyniku punktowego i oceny końcowej z laboratorium.

Terminy poprawkowe ustala prowadzący zajęcia laboratoryjne.
Student, który bez usprawiedliwienia opuścił więcej niż dwa zajęcia i nie uzyskał z ćwiczeń
laboratoryjnych zaliczenia (ocena niedostateczna), może zostać pozbawiony przez prowadzącego
zajęcia możliwości poprawkowego zaliczania zajęć. Od takiej decyzji prowadzącego zajęcia
student może się odwołać do prowadzącego przedmiot (moduł) lub Dziekana.

b) Egzamin – Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest wcześniejsze uzyskanie zaliczenia
z ćwiczeń laboratoryjnych. Egzamin przeprowadzany jest zgodnie z Regulaminem Studiów AGH § 16.

Sposób i tryb wyrównania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

a) ćwiczenia laboratoryjne – nieobecność na ćwiczeniach laboratoryjnych wymaga
od studenta samodzielnego opanowania przerabianego na tych zajęciach materiału i przesłania
sprawozdania prowadzącemu zajęcia w ciągu tygodnia od pojawienia się na kolejnych zajęciach.

b) obecność na wykładzie – zgodnie z Regulaminem Studiów AGH