Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Analiza matematyczna 1
Course of study:
2019/2020
Code:
IETP-1-102-n
Faculty of:
Computer Science, Electronics and Telecommunications
Study level:
First-cycle studies
Specialty:
-
Field of study:
Electronics and Telecommunications
Semester:
1
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Part-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr Świderski Tomasz (swiderski@agh.edu.pl)
Module summary

Moduł obejmuje podstawy analizy matematycznej

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence: is able to
M_K001 Ma świadomość kultury matematycznej; podejmuje starania, aby przekazywać zdobytą wiedzę w sposób powszechnie zrozumiały ETP1A_K05 Oral answer
Knowledge: he knows and understands
M_W001 Ma wiedzę z rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej; umie korzystać z pochodnej w zadaniach optymalizacyjnych, w obliczeniach przybliżonych, w badaniu funkcji ETP1A_W01 Examination,
Test
M_W002 Ma wiedzę z rachunku całkowego funkcji jednej zmiennej; zna zastosowanie całek oznaczonych ETP1A_W01 Examination,
Test
M_W003 Ma wiedzę z teorii szeregów liczbowych; wie jak stosować kryteria zbieżności szeregów ETP1A_W01 Examination,
Test
M_W004 Ma wiedzę z teorii szeregów funkcyjnych, w szczególności potęgowych; wie jak znajdywać sumy szeregów potęgowych; wie jak rozwijać funkcje w szeregi Taylora ETP1A_W01 Examination,
Test
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
52 26 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Social competence
M_K001 Ma świadomość kultury matematycznej; podejmuje starania, aby przekazywać zdobytą wiedzę w sposób powszechnie zrozumiały + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Ma wiedzę z rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej; umie korzystać z pochodnej w zadaniach optymalizacyjnych, w obliczeniach przybliżonych, w badaniu funkcji + + - - - - - - - - -
M_W002 Ma wiedzę z rachunku całkowego funkcji jednej zmiennej; zna zastosowanie całek oznaczonych + + - - - - - - - - -
M_W003 Ma wiedzę z teorii szeregów liczbowych; wie jak stosować kryteria zbieżności szeregów + + - - - - - - - - -
M_W004 Ma wiedzę z teorii szeregów funkcyjnych, w szczególności potęgowych; wie jak znajdywać sumy szeregów potęgowych; wie jak rozwijać funkcje w szeregi Taylora + + - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 184 h
Module ECTS credits 7 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 52 h
Preparation for classes 62 h
Realization of independently performed tasks 70 h
Module content
Lectures (26h):

Zajęcia w ramach modułu prowadzone są w postaci wykładu (45 godzin) oraz ćwiczeń audytoryjnych (45 godzin)

WYKŁADY

1. Logika (1 godz.)
Podstawowe funktory logiczne i kwantyfikatory. Prawa de Morgana dla zdań logicznych. Pojęcie warunku koniecznego i warunku wystarczającego. Zasada kontrapozycji. Podstawy teorii mnogości. Prawa de Morgana dla zbiorów. Iloczyn kartezjański zbiorów. Podstawowe zbiory liczb zawarte w zbiorze liczb rzeczywistych. Kres górny i dolny zbioru liczb.
2. Funkcje. Przegląd funkcji elementarnych (3 godz.)
Definicja odwzorowania, funkcji. Pojęcie dziedziny i przeciwdziedziny, obrazu i przeciwobrazu zbioru. Wykres funkcji. Restrykcja funkcji. Funkcja parzysta, nieparzysta, okresowa, ograniczona, monotoniczna. Pojęcie injekcji, surjekcji, bijekcji. Składanie funkcji, funkcja odwrotna.
Funkcje wielomianowe (podstawowe twierdzenia o dzieleniu wielomianów, o pierwiastkach wielomianu). Funkcje wymierne (w tym homograficzna). Funkcje potęgowe. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne (jako wzajemnie do siebie odwrotne). Funkcje trygonometryczne. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji elementarnej.
3. Ciągi i ich granice (2 godz.)
Definicja ciągu i przykłady ciągów arytmetycznych, geometrycznych, innych. Zasada indukcji matematycznej. Definicje rekurencyjne – przykłady. Własności ciągów (ograniczoność, monotoniczność). Definicja granicy ciągu liczbowego i jej interpretacja graficzna. Działania arytmetyczne na granicach ciągów. Symbole oznaczone i nieoznaczone. WK i WW zbieżności ciągu. Liczba Eulera. Tw. o 3 ciągach. Tw. d’Alemberta.
4. Granice i ciągłość funkcji (3 godz.)
Pojęcie otoczenia i sąsiedztwa. Pojęcie punktu skupienia zbioru. Definicja Heinego granicy funkcji. Granice niewłaściwe. Działania arytmetyczne na granicach. Tw. o 3 funkcjach. Tw. o granicy złożenia. Granice jednostronne. Definicja funkcji ciągłej. Ciągłość jednostronna. Ciągłość złożenia oraz funkcji odwrotnej. Tw. o wprowadzaniu granicy do argumentu funkcji ciągłej. Tw. Weierstrassa i tw. Darboux. Tw. o lokalnym zachowaniu znaku funkcji ciągłej.
5. Pochodna funkcji (3 godz.)
Definicja pochodnej funkcji w punkcie i jej interpretacja geometryczna oraz fizyczna. Różniczka funkcji i różniczkowalność funkcji. Pochodne jednostronne. Wzór Peano. Tw. o ciągłości funkcji różniczkowalnej. Odwzorowanie pochodne. Działania arytmetyczne na pochodnych funkcji. Pochodna złożenia i pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne funkcji elementarnych.
6. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego i ich zastosowania (2 godz.)
Reguła de l’Hospitala i jej zastosowanie w liczeniu granic funkcji i wyznaczaniu asymptot. Asymptoty pionowe i ukośne wykresu funkcji. Tw. Rolle’a i Lagrange’a i ich zastosowanie w badaniu monotoniczności funkcji.
7. Pochodne wyższych rzędów i wzór Taylora (2 godz.)
Definicja n-tej pochodnej. Klasa C^n oraz C-nieskończoność funkcji. Tw. Taylora. Wzór Maclaurina. Zastosowania, np. wyliczenie z przybliżeniem liczby Eulera.
8. Ekstrema lokalne (2 godz.)
Definicja maksimum, minimum lokalnego. Tw. Fermata. Warunki wystarczające istnienia ekstremum lokalnego. Ekstrema globalne. Zadania optymalizacyjne.
9. Badanie przebiegu zmienności funkcji (2 godz.)
Wypukłość wykresu funkcji i jej związek z drugą pochodną. Punkty przegięcia. Badanie funkcji i szkicowanie wykresów.
10. Całka nieoznaczona (7 godz.)
Definicja funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej. Podstawowe wzory. Uwaga o całkach nieelementarnych. Najprostsze metody całkowania (liniowość całki, całkowanie przez części i przez podstawienie). Algorytm całkowania funkcji wymiernych (ułamki proste). Całkowanie funkcji niewymiernych. Trzy podstawienia Eulera. Metoda współczynników nieoznaczonych. Całkowanie funkcji trygonometrycznych.
11. Całka oznaczona Riemanna (3 godz.)
Definicja całki oznaczonej Riemanna. WK i WW całkowalności. Liniowość, addytywność względem przedziału całkowania całki oznaczonej. Tw. całkowe o wartości średniej. Funkcja górnej granicy całkowania. Dwa podstawowe twierdzenia rachunku całkowego – związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną.
12. Całka niewłaściwa (2 godz.)
Definicja całki niewłaściwej. Bezwzględna zbieżność całki niewłaściwej. Kryterium porównawcze.
13. Zastosowanie całki oznaczonej (3 godz.)
Współrzędne biegunowe. Obliczanie pól powierzchni obszarów płaskich zadanych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych. Krzywe w R^n i ich parametryzacje. Obliczanie długości krzywych. Obliczanie objętości i pól powierzchni brył obrotowych.
14. Funkcje hiperboliczne (1 godz.)
Definicje, wykresy, własności.
15. Szeregi liczbowe (3 godz.)
Definicja. Zbieżność i rozbieżność szeregu, zbieżność warunkowa, bezwzględna. WK zbieżności szeregu. Działania na szeregach. Kryteria zbieżności szeregów (porównawcze, ilorazowe, d’Alemberta, Cauchy’ego, całkowe). Szeregi naprzemienne i kryterium Leibniza. Łączność sumy szeregu zbieżnego.
16. Ciągi i szeregi funkcyjne (2 godz.)
Ciąg funkcyjny. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu funkcyjnego. Szeregi funkcyjne. Zbieżność punktowa, jednostajna i bezwzględna szeregu funkcyjnego. Warunki konieczne zbieżności. Kryterium Weierstrassa. Różniczkowanie i całkowanie szeregów funkcyjnych.
17. Szeregi potęgowe (4 godz.)
Definicja. Lemat Abela. Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego. Tw. Cauchy’ego-Hadamarda i tw. d’Alemberta. Różniczkowanie i całkowanie szeregu potęgowego. Tw. Abela. Szereg Taylora. Szeregi Maclaurina podstawowych funkcji. Funkcja analityczna. Informacja o funkcjach zmiennej zespolonej

Auditorium classes (26h):

ĆWICZENIA

1. Przypomnienie wiadomości ze szkoły (logika, funkcje) (4 godz.)
2. Ciągi i ich granice (3 godz.)
3. Funkcje i ich granice. Ciągłość funkcji (3 godz.)
4. Pochodne funkcji jednej zmiennej i ich zastosowanie (10 godz.)
5. 1. kolokwium (2 godz.)
6. Całki nieoznaczone (6 godz.)
7. Całki oznaczone i ich zastosowania (6 godz.)
8. Szeregi liczbowe (2 godz.)
9. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów funkcyjnych (2 godz.)
10. Znajdywanie obszarów zbieżności i sum szeregów potęgowych (3 godz.)
11. 2. kolokwium (2 godz.)
12. Rozwijanie funkcji w szereg Taylora (2 godz.)

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: No
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Method of calculating the final grade:

1. Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny końcowej OK jest otrzymanie pozytywnej oceny z egzaminu. Przy czym warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie zaliczenia z ćwiczeń (.
2. Po obliczeniu oceny średniej ważonej według wzoru SW=(2Z+T):3, gdzie Z jest średnią arytmetyczną ocen uzyskanych we wszystkich terminach z części zadaniowej, a T jest średnią arytmetyczną ocen uzyskanych we wszystkich terminach z teorii, ocena końcowa OK jest obliczana według zależności:
if SW >4.75 then OK:=5.0 (bdb) else
if SW >4.25 then OK:=4.5 (db) else
if SW >3.75 then OK:=4.0 (db) else
if SW >3.25 then OK:=3.5 (dst) else OK:=3 (dst)

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Prerequisites and additional requirements:

Wiedza matematyczna z zakresu szkoły średniej.

Recommended literature and teaching resources:

1. G. Decewicz, W. Żakowski, Matematyka cz. 1, WNT, Warszawa, 1979
2. W. Żakowski, W. Kołodziej, Matematyka cz. 2, WNT, Warszawa, 1974
3. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa, 1999
4. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa, 1993
5. W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, PWN, Warszawa, 2001

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

Additional scientific publications not specified

Additional information:

None