Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Equations of Mathematical Physics I
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-2-005-MU-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Insurance Mathematics
Field of study:
Mathematics
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr Golenia Jolanta (golenia@agh.edu.pl)
Module summary

Podstawowe równania dynamiki układu punktów materialnych. Konstrukcja funkcji Lagrange’a dla prostych układów. Orientacja w analizie jakościowej równań różniczkowych zwyczajnych.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence: is able to
M_K001 Student rozumie potrzebę pogłębiania swojej wiedzy. Docenia pracę w grupie, umie dobrze sformułować pytanie. MAT2A_K03, MAT2A_K01 Activity during classes,
Test,
Oral answer
Skills: he can
M_U001 Posiada umiejętności rozwiązywania zagadnień wariacyjnych mechaniki. Umie wykorzystywać symetrie układu równań do obniżania rzędu. MAT2A_U04, MAT2A_U06, MAT2A_U02 Activity during classes,
Test,
Oral answer
M_U002 Umie wykorzystywać przybliżone metody do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Umie wykorzystywać metodę charakterystyk oraz metodę rozdzielania zmiennych do rozwiązywania zagadnień dynamiki punktów materialnych. MAT2A_U07, MAT2A_U06, MAT2A_U09 Activity during classes,
Test,
Oral answer
Knowledge: he knows and understands
M_W001 Potrafi rozwiązywać zagadnienia rachunku wariacyjnego. Umie stosować rachunek wariacyjny do zagadnień mechaniki. Umie analizować dwuwymiarowe układy dynamiczne. MAT2A_W06, MAT2A_W02, MAT2A_W04 Activity during classes,
Test,
Oral answer
M_W002 Zna podstawowe równania dynamiki układu punktów materialnych, Potrafi skonstruować dla prostych układów funkcję Lagrange’a, wykorzystać formalizm Lagrange’a oraz inne informacje, w szczególności względy symetrii do rozwiązania problemu. Orientuje się w analizie jakościowej równań różniczkowych zwyczajnych oraz w metodach przybliżonych. MAT2A_W05, MAT2A_W03 Activity during classes,
Test,
Oral answer
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Social competence
M_K001 Student rozumie potrzebę pogłębiania swojej wiedzy. Docenia pracę w grupie, umie dobrze sformułować pytanie. + + - - - - - - - - -
Skills
M_U001 Posiada umiejętności rozwiązywania zagadnień wariacyjnych mechaniki. Umie wykorzystywać symetrie układu równań do obniżania rzędu. + + - - - - - - - - -
M_U002 Umie wykorzystywać przybliżone metody do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Umie wykorzystywać metodę charakterystyk oraz metodę rozdzielania zmiennych do rozwiązywania zagadnień dynamiki punktów materialnych. + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Potrafi rozwiązywać zagadnienia rachunku wariacyjnego. Umie stosować rachunek wariacyjny do zagadnień mechaniki. Umie analizować dwuwymiarowe układy dynamiczne. + + - - - - - - - - -
M_W002 Zna podstawowe równania dynamiki układu punktów materialnych, Potrafi skonstruować dla prostych układów funkcję Lagrange’a, wykorzystać formalizm Lagrange’a oraz inne informacje, w szczególności względy symetrii do rozwiązania problemu. Orientuje się w analizie jakościowej równań różniczkowych zwyczajnych oraz w metodach przybliżonych. + + - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 105 h
Module ECTS credits 4 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 h
Preparation for classes 28 h
Realization of independently performed tasks 10 h
Examination or Final test 2 h
Contact hours 5 h
Module content
Lectures (30h):

1. Opis deterministyczny układu punktów materialnych. Równania ruchu układów mechanicznych. Niezmienniczość względem grupy Galileusza.

2. Układ o jednym stopniu swobody. Funkcja Hamiltona. Całkowanie jakościowe. Opis wahadła matematycznego.

3. Zasada wariacyjna. Ekstremale. Warunek konieczny ekstremum funkcjonału. Równania Eulera-Lagrange’a. Funkcja Lagrange’a układu mechanicznego. Przykłady.

4. Prawa zachowania. Twierdzenie Noether.

5. Prawa zachowania energii, pędu oraz momentu pędu układu mechanicznego. Całkowanie układu o jednym stopniu swobody.

6. Zastosowanie praw zachowania do całkowania równań ruchu punktu materialnego poruszającego się w polu centralnym.

7. Rozwiązanie zagadnienia dwóch ciał. Prawa Keplera.

8. Małe drgania układu o jednym stopniu swobody. Drgania własne i wymuszone. Rezonans. Dudnienia.

9. Małe drgania układu o wielu stopniach swobody. Sprowadzenie do postaci kanonicznej poprzez wykorzystanie twierdzenia o diagonalizacji pary form kwadratowych.

10. Drgania nieliniowe. Odwzorowania generowane przez potok fazowy układu dynamicznego. Stabilność w sensie Lapunowa. Rezonans parametryczny.

11 Równania Hamiltona. Nawiasy Poissone’a. Przekształcenia kanoniczne.

12. Równania Hamiltona-Jacobiego.

Auditorium classes (30h):
Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładu

Rozwiązywanie problemów (głównie teoretycznych) dotyczących treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

W przypadku braku zaliczenia z ćwiczeń w terminie podstawowym (przed rozpoczęciem sesji egzaminacyjnej) student ma dwa zaliczenia poprawkowe w formie pisemnej, które odbędą się w terminie i formie ogłoszonej przez prowadzącego zajęcia.

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: No
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Method of calculating the final grade:
  1. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  2. Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    SW = 1/2 OC + 1/2 OE,
    gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń,
    a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  3. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst)
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Prerequisites and additional requirements:

-

Recommended literature and teaching resources:
  1. L.D. Landau, Ye.M. Lifszyc, Mechanika, PWN, Warszawa, 2006.
  2. V.I.Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, NY, 2005.
  3. L.E. Elsholtz, Differential Equations and Variational Calculus, Nauka, Moscow, 1968.
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1) Blackmore, D.; Golenia, J.; Prykarpatsky, A.K.; Prykarpatsky, Ya.A.;
Invariant measures for discrete dynamical systems and ergodic properties of generalized Boole-type transformations, Ukr. Math. J. 65, No. 1, 47-63 (2013) and Ukr. Mat. Zh. 65, No. 1, 44-57 (2013).

2) Prykarpatsky, Yarema A.; Blackmore, Denis; Golenia, Jolanta; Prykarpatsky, Anatoliy K.;
A vertex operator representation of solutions to the Gurevich-Zybin hydrodynamical equation;
Opusc. Math. 33, No. 1, 139-149 (2013).

3) Blackmore, Denis; Prykarpatsky, Yarema; Golenia, Jolanta; Prykarpatsky, Anatoliy;
The AKNS hierarchy and the Gurevich-Zubin dynamical system integrability revisited;
Mat. Visn. Nauk. Tov. Im. Shevchenka 8, 258-282 (2011).

4) Golenia, Jolanta; Pavlov, Maxim V.; Popowicz, Ziemowit; Prykarpatsky, Anatoliy K.;
On a nonlocal Ostrovsky-Whitham type dynamical system, its Riemann type inhomogeneous regularizations and their integrability; SIGMA, Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 6, Paper 002, 13 p., electronic only (2010).

5) Prykarpatsky, A.K.; Golenia, J.; Bogolubov, N.N. jun.; Taneri, U.
Introductory background to modern quantum mathematics with application to nonlinear dynamical systems; Begehr, H. G. W. (ed.) et al., Further progress in analysis. Proceedings of the 6th international ISAAC congress, Ankara, Turkey, August 13–18, 2007. Hackensack, NJ: World Scientific (ISBN 978-981-283-732-5/hbk). 760-779 (2009).

6) Golenia, Jolanta; Prykarpatsky, Yarema A.; Wachnicki, Eugeniusz;
The Cartan-Monge geometric approach to the generalized characteristics method and its application to the heat equation u t -u xx =0;
Opusc. Math. 29, No. 1, 27-39 (2009).

7) Bogolyubov, N.N.jun.; Golenia, J.; Prykarpatsky, A.K.; Taneri, U.
Quantum mathematics: backgrounds and some applications to nonlinear dynamical systems;
Nonlinear Oscil., N.Y. 11, No. 1, 4-17 (2008) and Nelinijni Kolyvannya 11, No. 1, 7-20 (2008).

8) Prykarpatsky, Anatoliy K.; Bogoliubov, Nikolai N. jun.; Golenia, Jolanta; Taneri, Ufuk
Introductive backgrounds to modern quantum mathematics with application to nonlinear dynamical systems; Int. J. Theor. Phys. 47, No. 11, 2882-2897 (2008).

9) Prykarpatsky, Anatoliy K.; Bogoliubov, Nikolai N. jun.; Golenia, Jolanta
A symplectic generalization of the Peradzyński helicity theorem and some applications;
Int. J. Theor. Phys. 47, No. 7, 1919-1928 (2008).

10) Golenia, J.; Hentosh, O.Ye.; Prykarpatsky, A.K.
Integrable three-dimensional coupled nonlinear dynamical systems related to centrally extended operator Lie algebras and their Lax type three-linearization;
Cent. Eur. J. Math. 5, No. 1, 84-104 (2007).

Additional information:

None