Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Variational Calculus
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-2-010-MU-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Insurance Mathematics
Field of study:
Mathematics
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
English
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Kużel Sergiusz (kuzhel@agh.edu.pl)
Module summary

Zagadnienia ekstremalne analizy elementarnej oraz podstawowe pojęcia analizy funkcjonalnej związane z rachunkiem wariacyjnym. Istnienia ekstremum dla funkcjonałów. Metody rachunku wariacyjnego.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence: is able to
M_K001 Potafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania MAT2A_K02, MAT2A_U22 Activity during classes,
Oral answer
Skills: he can
M_U001 Rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów i procesów obliczeniowych MAT2A_U19, MAT2A_U22 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_U002 Potrafi stosować metody algebraiczne w rozwiązywaniu zagadnień matematycznych MAT2A_U10 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Knowledge: he knows and understands
M_W001 Zna zaawansowane techniki obliczeniowe, wspomagające pracę matematyka i rozumie ich ograniczenia MAT2A_W08 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_W002 Zna metody numeryczne stosowane do znajdowania rozwiązań zagadnień matematycznych MAT2A_W10 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Social competence
M_K001 Potafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania + - - - - - - - - - -
Skills
M_U001 Rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów i procesów obliczeniowych + - - - - - - - - - -
M_U002 Potrafi stosować metody algebraiczne w rozwiązywaniu zagadnień matematycznych + - - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Zna zaawansowane techniki obliczeniowe, wspomagające pracę matematyka i rozumie ich ograniczenia + - - - - - - - - - -
M_W002 Zna metody numeryczne stosowane do znajdowania rozwiązań zagadnień matematycznych + - - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 125 h
Module ECTS credits 5 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 30 h
Realization of independently performed tasks 88 h
Examination or Final test 2 h
Contact hours 5 h
Module content
Lectures (30h):

1. Wiadomości wstępne. Przegląd zagadnień ekstremalnych analizy elementarnej oraz podstawowe pojęcia analizy funkcjonalnej związane z rachunkiem wariacyjnym.
2. Najprostsze zagadnienie rachunku wariacyjnego. Różniczka funkcjonału. Warunki koniecznie istnienia ekstremum. Równanie Eulera. Przypadek wielu zmiennych. Pochodna wariacyjna. Niezmienniczość równań Eulera.
3. Uogólnienia najprostszego zagadnienia rachunku wariacyjnego na przypadek przestrzeni Banacha i Hilberta.
4. Zagadnienia parametryczne. Zagadnienia wariacyjne w postaci parametrycznej. Funkcjonały zależne od pochodnych wyższych rzędów. Ekstremum warunkowe.
5. Wzór podstawowy dla wariacji funkcjonału. Ogólny wzór dla wariacji funkcjonału. Zadanie z końcami ruchomymi. Przypadek ekstremal niegładkich. Warunki Weierstrassa-Erdmanna.
6. Warunki dostateczne istnienia ekstremum. Funkcjonały kwadratowe. Druga wariacja funkcjonału. Wzór dla drugiej wariacji. Warunki Legendre’a. Warunki dostateczne istnienia ekstremum słabego.
7. Wprowadzenie w teorię ekstremum silnego. Równanie Hamiltona-Jacobiego. Twierdzenie Jacobiego.
8. Wybrane zastosowania. Zasada Hamiltona i ciągłe układy mechaniczne. Równania drgań poprzecznych struny, membrany, pręta i płyty.
9. Podstawy wariacyjnej teorii potencjału. Zasady Dirichleta i Thomsona.
10. Metody wariacyjne w fizyce współczesnej: wariacyjne wyprowadzenie równań Schrödingera.
11. Informacja o bezpośrednich metodach rachunku wariacyjnego. Metoda energetyczna. Funkcjonał metody energetycznej.
12. Metoda Ritza i metoda łamanych. Metody wariacyjne w zagadnieniu Sturma-Liouville’a. Zagadnienie wartości własnych. Metoda Rayleigha-Ritza.

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

-

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
Method of calculating the final grade:

Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie oceny z egzaminu OE, OK = OE.
3. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
Jeżeli OE ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
jeżeli 4.75 > OE ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
jeżeli 4.25 > OE ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
jeżeli 3.75 > OE ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
jeżeli 3.25 > OE ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst)

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Prerequisites and additional requirements:

-

Recommended literature and teaching resources:
  1. I. M. Gelfand, S. W. Fomin, Rachunek wariacyjny, Warszawa, PWN, 1972.
  2. S. G. Michlin, C. L. Smolicki, Metody przybliżone rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych, Warszawa, PWN, 1970. # K. Tatarkiewicz, Rachunek wariacyjny, cz. 1,2, Warszawa, PWN, 1970.
  3. Bruce van Brunt, The Calculus of Variations, Universitext, Springer-Verlag, New-York, Berlin, Heideberg, Tokio, 2004.
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1) Hassi, Seppo; Kuzhel, Sergii; On J-self-adjoint operators with stable C-symmetries;
Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 143, No. 1, 141-167 (2013).

2) Bender, Carl M.; Kuzhel, Sergii;
Unbounded 𝒞-symmetries and their nonuniqueness;
J. Phys. A, Math. Theor. 45, No. 44, Article ID 444005, 14 p. (2012).

3) Albeverio, Sergio; Kuzhel, Sergii; PT-symmetric operators in quantum mechanics: Krein spaces methods // W: Non-selfadjoint operators in quantum physics : mathematical aspects / eds. Fabio Bagarello, [et al.]. — Hoboken : John Wiley & Sons, Inc., cop. 2015. — ISBN: 978-1-118-85528-7. — S. 293–343.

4) Scattering theory for 0-perturbed ρτ-symmetric operators ;A. I. Hrod, S. O. KUZHEL; Ukrainian Mathematical Journal – vol. 65 no. 8, s. 1180–1202 (2014).

5) Schrödinger operators with non-symmetric zero-range potentials; A. Grod, S. KUZHEL ; Methods of Functional Analysis and Topology – vol. 20 no. 1, s. 34–49 (2014).

Additional information:

None