Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Commutative Algebra
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-2-040-MU-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Insurance Mathematics
Field of study:
Mathematics
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Karaś Marek (mkaras@wms.mat.agh.edu.pl)
Module summary

Moduł zawiera omówienie podstawowych informacji z teorii pierścieni przemiennych oraz modułów nad pierścieniami przemiennymi.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence: is able to
M_K001 Rozumie potrzebę formułowania rozumowań matematycznych w sposób zrozumiały dla odbiorcy oraz potrafi modyfikować przekaz w zależności od zgłaszanych przez rozmówce ewentualnych niejasności MAT2A_K03, MAT2A_K05, MAT2A_K07 Oral answer,
Test,
Essay,
Examination,
Activity during classes
Skills: he can
M_U001 Potrafi weryfikować przykłady pod kontem prezentowanych przez nie pojęć i faktów (kontrprzykłady). Potrafi w zrozumiały sposób przedstawić rozumowanie matematyczne. Potrafi samodzielnie tworzyć przykłady ilustrujące omawiane pojęcia i fakty. MAT2A_U01, MAT2A_U13 Oral answer,
Test,
Essay,
Examination,
Activity during classes
M_U002 Rozpoznaje struktury algebraiczne (pierścienia, modułu) w zagadnieniach innych działów matematyki MAT2A_U04, MAT2A_U01, MAT2A_U13 Oral answer,
Test,
Essay,
Examination,
Activity during classes
Knowledge: he knows and understands
M_W001 Zna podstawowe pojęcia i fakty teorii pierścieni i modułów oraz zna konstrukcje lokalizacji i iloczynu tensorowego pierścieni i modułów. MAT2A_W07, MAT2A_W01, MAT2A_W03 Oral answer,
Test,
Essay,
Examination,
Activity during classes
M_W002 Zna zagadnienie rozkładu prymarnego MAT2A_W05, MAT2A_W07, MAT2A_W01, MAT2A_W03 Oral answer,
Test,
Essay,
Examination,
Activity during classes
M_W003 Zna pojęcia i fakty związane z własnością stabilizacji ciągów ideałów MAT2A_W05, MAT2A_W07, MAT2A_W01, MAT2A_W03 Oral answer,
Test,
Essay,
Examination,
Activity during classes
M_W004 Zna zagadnienia dotyczące topologii adycznej i zupełności pierścieni i modułów. MAT2A_W05, MAT2A_W07, MAT2A_W01, MAT2A_W03 Oral answer,
Test,
Essay,
Examination,
Activity during classes
M_W005 Zna zagadnienie rozszerzeń skończonych i pierścieni normalnych. MAT2A_W05, MAT2A_W07, MAT2A_W01, MAT2A_W03 Oral answer,
Test,
Essay,
Examination,
Activity during classes
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Social competence
M_K001 Rozumie potrzebę formułowania rozumowań matematycznych w sposób zrozumiały dla odbiorcy oraz potrafi modyfikować przekaz w zależności od zgłaszanych przez rozmówce ewentualnych niejasności + + - - - - - - - - -
Skills
M_U001 Potrafi weryfikować przykłady pod kontem prezentowanych przez nie pojęć i faktów (kontrprzykłady). Potrafi w zrozumiały sposób przedstawić rozumowanie matematyczne. Potrafi samodzielnie tworzyć przykłady ilustrujące omawiane pojęcia i fakty. + + - - - - - - - - -
M_U002 Rozpoznaje struktury algebraiczne (pierścienia, modułu) w zagadnieniach innych działów matematyki + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Zna podstawowe pojęcia i fakty teorii pierścieni i modułów oraz zna konstrukcje lokalizacji i iloczynu tensorowego pierścieni i modułów. + + - - - - - - - - -
M_W002 Zna zagadnienie rozkładu prymarnego + + - - - - - - - - -
M_W003 Zna pojęcia i fakty związane z własnością stabilizacji ciągów ideałów + + - - - - - - - - -
M_W004 Zna zagadnienia dotyczące topologii adycznej i zupełności pierścieni i modułów. + + - - - - - - - - -
M_W005 Zna zagadnienie rozszerzeń skończonych i pierścieni normalnych. + + - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 152 h
Module ECTS credits 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 h
Preparation for classes 60 h
Realization of independently performed tasks 30 h
Examination or Final test 2 h
Module content
Lectures (30h):

1. Podstawowe własności pierścieni przemiennych; ideały; radykały; nilradykał; ideały pierwsze; twierdzenie o usuwaniu;
2. Spektrum pierwsze i topologia Zariskiego; twierdzenie Hilberta o zerach;
3. Pojęcie modułu; moduły wolne; lemat Nakayamy; pojęcie ciągu dokładnego;
4. Lokalizacja pierścieni i modułów; własności funktora lokalizacji;
5. Iloczyn tensorowy w kategorii modułów; moduły płaskie;
6. Iloczyn tensorowy w kategorii k-algebr; iloczyn tensorowy w kategorii pierścieni
7. Pierścienie i moduły z gradacją;
8. Pierścieni i moduły Noetherowskie; twierdzenie o bazie;
9. Ideały prymarne; rozkład prymarny ideału; ideały stowarzyszone; składowe zanurzone i niezanurzone;
10. Rozkład prymarny modułu;
11. Lemat Artina-Reessa;
12. Topologie liniowe i Topologie adyczne; pierścienie i moduły topologiczne;
13. Pierścieni i moduły zupełne; uzupełnienia;
14. Pierścienie i moduły Artinowskie;
15. Rozszerzenia całkowite i pierścienie normalne;

Auditorium classes (30h):

Rozwiązywanie zadań i problemów teoretycznych ilustrujących treści podawane w trakcie wykładów oraz dokładne analizowanie przedstawianych na wykładach przykładów.

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Method of calculating the final grade:

Ocena końcowa jest średnią ważoną z oceny z ćwiczeń oraz oceny/ocen z egzaminu, przy czym waga każdej oceny z egzaminu jest dwukrotnością wagi oceny z ćwiczeń. W przypadku nieuzyskania zaliczenia w pierwszym terminie do średniej uwzględniana jest ocena 2.0 z pierwszego terminu egzaminu.
Przykładowo, gdy egzamin zaliczony jest w pierwszym terminie, wagi wynoszą 1/3 (ćwiczenia) i 2/3 (egzamin);
gdy zaś egzamin zaliczony jest w drugim terminie, wagi to 1/5 (ćwiczenia), 2/5 (egz. Termin 1) i 2/5 (egz. Termin 2).
W przypadku zaliczenia egzaminu ocena końcowa jest nie-niższa niż 3.0, nawet jeżeli ze średniej wychodziłoby inaczej.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Prerequisites and additional requirements:

Zaliczony kurs Algebra ( z I stopnia studiów).

Recommended literature and teaching resources:

1. Michael F. Atiyah, Ian MacDonald, Introdaction to commutative algebra; Addison-Wesley Publishing Company, London 1969;

2. S. Balcerzyk, T. Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN, Warszawa 1985;

3. Hideyuki Matsumura, Commutative algebra, Cambrige University Press, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8.

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

M. Karaś, Multidegrees of tame automorphisms of Cn,$ Diss. Math. 477, 55 p. (2011).
M. Karaś, J. Zygadło, On multidegree of tame and wild automorphisms of C3, J. Pure Appl. Algebra, 215 (2011) 2843-2846.
M. Karaś, Tame automorphisms of C3 with multidegree of the form (p1,p2,d3), Bull. Pol. As. Sci., 59, No. 1, 27-32 (2011).
M. Karaś, There is no tame automorphism of C3 with multidegree (3,4,5), Proc. Am. Math. Soc., 139, no. 3 (2011) 769-775.
M. Karaś, Tame automorphisms of C3 with multidegree of the form (3,d2,d3), J. Pure Appl. Algebra, 214 (2010) 2144-2147.
M. Karaś, A note on triangular automorphisms, Univ. Iagiell. Acta Math., 46 (2008) 71-74
M. Karaś, Locally nilpotent monomial derivation, Bull. Pol. As. Sci., 52 no. 2 (2004), 119-121.
Z. Jelonek, M. Karaś, The set of points at which the morphism of affine schemes is not finite, Colloq. Math., 92 no.1 (2002), 59-66

Additional information:

None