Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Integral Equations
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-2-109-MU-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Insurance Mathematics
Field of study:
Mathematics
Semester:
1
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
prof. zw. dr hab. Cojuhari Petru (cojuhari@agh.edu.pl)
Module summary

Definicje i pojęcia teorii równań całkowych. Klasyfikacja równań oraz związek równań całkowych z równaniami różniczkowymi. Metody rozwiązywania.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Skills: he can
M_U001 Student umie zastosować teorię równań całkowych do podstawowych zagadnień fizyki matematycznej, fizyki teoretycznej i zagadnień inżynierskich. MAT2A_U09, MAT2A_U06, MAT2A_U16 Activity during classes,
Examination
M_U002 Student umie rozwiązywać równania całkowe metodami analizy numerycznej. MAT2A_U19, MAT2A_W10 Activity during classes,
Examination
Knowledge: he knows and understands
M_W001 Student zna podstawowe definicje i pojęcia teorii równań całkowych, klasyfikację równań oraz związek równań całkowych z równaniami różniczkowymi. MAT2A_W01 Activity during classes,
Examination
M_W002 Student zna metodę kolejnych przybliżeń rozwiązywania najważniejszych klas równań całkowych. MAT2A_W10, MAT2A_W02 Activity during classes,
Examination
M_W003 Student zna teorię Fredholma równań całkowych. MAT2A_W01 Activity during classes,
Examination
M_W004 Student zna teorię równań całkowych Wienera-Hopfa oraz umie zastosować metody operacyjne. MAT2A_W01, MAT2A_W02 Activity during classes,
Examination
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Skills
M_U001 Student umie zastosować teorię równań całkowych do podstawowych zagadnień fizyki matematycznej, fizyki teoretycznej i zagadnień inżynierskich. + - - - - - - - - - -
M_U002 Student umie rozwiązywać równania całkowe metodami analizy numerycznej. + - - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Student zna podstawowe definicje i pojęcia teorii równań całkowych, klasyfikację równań oraz związek równań całkowych z równaniami różniczkowymi. + - - - - - - - - - -
M_W002 Student zna metodę kolejnych przybliżeń rozwiązywania najważniejszych klas równań całkowych. + - - - - - - - - - -
M_W003 Student zna teorię Fredholma równań całkowych. + - - - - - - - - - -
M_W004 Student zna teorię równań całkowych Wienera-Hopfa oraz umie zastosować metody operacyjne. + - - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 100 h
Module ECTS credits 4 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 30 h
Realization of independently performed tasks 63 h
Examination or Final test 2 h
Contact hours 5 h
Module content
Lectures (30h):

1. Wiadomości wstępne. Pojęcie równania całkowego. Związek równań całkowych z równaniami różniczkowymi. Sprowadzenie pewnych zagadnień do rozwiązania równań całkowych (pewne równania całkowe fizyki matematycznej, równania całkowe teorii potencjału, równania całkowe zagadnień Dirichleta i Neumanna, drgania własne struny oraz membrany, nacisk sztywnego stempla na sprężystą półprzestrzeń, etc.).
2. Klasyfikacja równań całkowych. Równania Fredholma i Volterry. Równania Urysona oraz Hammersteina. Równanie całkowe z jądrami zależnymi od różnicy argumentów. Równania Wienera-Hopfa. Równanie Abela i niektóre inne typy równań całkowych.
3. Metoda kolejnych przybliżeń. Rozwiązanie równań Fredholma. Konstrukcja przybliżeń. Rezolwenta Fredholma. Własności rezolwenty. Przypadek równania Volterry.
4. Metoda kolejnych przybliżeń dla równań nieliniowych. Rozwiązanie równań Hammersteina. Równania Urysona.
5. Równania całkowe z jądrem zdegenerowanym. Rozwiązanie równań Fredholma. Równania z jądrami specjalnymi. Przypadek równania Hammersteina.
6. Równanie całkowe Abela. Zagadnienie Abela. Równanie całkowe Abela i jego uogólnienia. Podstawowe metody rozwiązywania.
7. Alternatywa Fredholma. Równania całkowe z jądrami zwartymi. Twierdzenia Fredholma.
8. Równania symetryczne. Jądra symetryczne. Układy wartości własnych i funkcji własnych. Szereg Hilberta-Schmidta. Rozwiązanie symetrycznego równania całkowego. Rezolwenta jądra symetrycznego. Własności ekstremalne wartości własnych i funkcji własnych.
9. Metoda Fredholma. Szeregi Fredholma. Wyznacznik i minory Fredholma. Wyrażenie funkcji własnych jądra przez minory Fredholma.
10. Równanie całkowe z jądrami zależnymi od różnicy argumentów. Rozwiązywanie równań typu splotu za pomocą przekształceń Laplace’a oraz Fouriera.
11. Równania na półosi z całkowalnymi jądrami. Warunki rozwiązalności. Metoda faktoryzacji.
12. Przykłady zastosowań: podstawowe zagadnienie teorii promieniowania, brzegowa refleksja fal elektromagnetycznych, zagadnienie teorii lepkosprężystości, potencjał krążka przewodzącego, etc.
13. Metody przybliżone. Zwykła metoda iteracji. Warunki zbieżności. Modyfikacje metody iteracji. Zastępowanie jądrem zdegenerowanym. Metoda Galerkina.
14. Metody przybliżone wyznaczania liczb charakterystycznych. Metoda Ritza, metoda śladów, metoda Kelloga, etc.

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

-

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
Method of calculating the final grade:

Ocena końcowa OK jest oceną z egzaminu OE.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Prerequisites and additional requirements:

Wiedza z zakresu analizy matematycznej, teorii równań różniczkowych oraz analizy numerycznej na poziomie absolwenta studiów matematycznych I-go stopnia.

Recommended literature and teaching resources:
  1. M. A. Krasnosielski i in., Równania całkowe, Warszawa, WNT, 1975.
  2. S. G. Michlin, C. L. Smolicki, Metody przybliżone rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych, Warszawa, PWN, 1970.
  3. Adam Piskorek, Równania całkowe. Elementy teorii i zastosowania, Warszawa,WNT, 1997.
  4. W. Pogorzelski, Równania całkowe i ich zastosowania.
    T. 1 : Własności ogólne równań Fredholma i Volterry, Warszawa, PWN, 1953,
    T. II: Układy równań całkowych, równania całkowe nieliniowe, zastosowania równań całkowych w teorii równań różniczkowych, Warszawa, PWN, 1958,
    T. III : Równania całkowe mocno osobliwe, zagadnienia brzegowe w teorii funkcji analitycznych. Warszawa, PWN, 1960,
    T. IV : Zastosowania równań całkowych, Warszawa, PWN, 1962.
  5. K. Yosida, Lectures on differential and integral equations, Inter. Publ. New York, London, 1968.
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Triplets of closely embedded Hilbert spaces, Integral Equations Oper. Theory 81, No. 1, 1-33 (2015).

2) Cojuhari, P.A.; Grod, A.; Kuzhel, S; On the S-matrix of Schrödinger operators with non-symmetric zero-range potentials, J. Phys. A, Math. Theor. 47, No. 31, Article ID 315201, 23 p. (2014).

3) Cojuhari, P.A.; On the discrete spectrum of a linear operator pencil arizing in transport theory,
Methods Funct. Anal. Topol. 20, No. 1, 10-16 (2014).

4) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Triplets of closely embedded Dirichlet type spaces on the unit polydisc, Complex Anal. Oper. Theory 7, No. 5, 1525-1544 (2013).

5) Cojuhari, Petru A.; Kuzhel, Sergii; Lax-Phillips scattering theory for 𝒫𝒯-symmetric ρ-perturbed operators, J. Math. Phys. 53, No. 7, 073514, 17 p. (2012).

6) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Embeddings, operator ranges, and Dirac operators,
Complex Anal. Oper. Theory 5, No. 3, 941-953 (2011).

7) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Closely embedded Kreĭn spaces and applications to Dirac operators, J. Math. Anal. Appl. 376, No. 2, 540-550 (2011).

8) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Closed embeddings of Hilbert spaces,
J. Math. Anal. Appl. 369, No. 1, 60-75 (2010).

9) Cojuhari, Petru A.; Nowak, Michał A. ;Projection-iterative methods for a class of difference equations,
Integral Equations Oper. Theory 64, No. 2, 155-175 (2009).

10) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Kreĭn spaces induced by symmetric operators.
J. Oper. Theory 61, No. 2, 347-367 (2009).

11) Cojuhari, P.A. Discrete spectrum in the gaps for perturbations of periodic Jacobi matrices.
J. Comput. Appl. Math. 225, No. 2, 374-386 (2009).

12) Cojuhari, Petru; Janas, Jan; Unbounded Jacobi matrices with empty absolutely continuous spectrum.
Bull. Pol. Acad. Sci., Math. 56, No. 1, 39-51 (2008).

13) Cojuhari, P.A.; Gomilko, A.M.; On the characterization of scalar type spectral operators.
Stud. Math. 184, No. 2, 121-132 (2008).

14) Cojuhari, P.A. On the spectrum of a class of block Jacobi matrices.
Bakonyi, Mihály (ed.) et al., Operator theory, structured matrices, and dilations. Tiberiu Constantinescu memorial volume. Bucharest: Theta (ISBN 978-973-87899-0-6). Theta Series in Advanced Mathematics 7, 137-152 (2007).

15) Cojuhari, Petru A.; Janas, Jan; Discreteness of the spectrum for some unbounded Jacobi matrices; Acta Sci. Math. 73, No. 3-4, 649-667 (2007).

16) Cojuhari, Petru A. Finiteness of eigenvalues of the perturbed Dirac operator;
Janas, Jan (ed.) et al., Operator theory, analysis and mathematical physics. Mainly the lectures of the international conference on operator theory and its applications in mathematical physics, OTAMP 2004, Bedlewo, Poland, July 6–11, 2004. Basel: Birkhäuser (ISBN 978-3-7643-8134-9/hbk; 978-3-7643-8135-6/e-book). Operator Theory: Advances and Applications 174, 1-7 (2007).

17) Cojuhari, P.A. Estimates of the discrete spectrum of a linear operator pencil; J. Math. Anal. Appl. 326, No. 2, 1394-1409 (2007).

Additional information:

None