Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Risk Theory
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-2-302-MU-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Insurance Mathematics
Field of study:
Mathematics
Semester:
3
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Dudek Anna (aedudek@agh.edu.pl)
Module summary

Pojęcia i twierdzenia teorii matematyki ubezpieczeniowej (składka netto, ryzyko, twierdzenie Panjera, ruina, użyteczność). Inne zagadnienia teorii ryzyka.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence: is able to
M_K001 umie ocenić stopień zrozumienia przez siebie problemu i brakujące elementy rozumowania MAT2A_K03, MAT2A_K07, MAT2A_K01 Activity during classes,
Test,
Oral answer
Skills: he can
M_U001 potrafi ze zrozumieniem przedstawić w mowie i piśmie poznane na wykładzie metody wyceny ryzyka i obliczania prawdopodobieństwa ruiny MAT2A_U12, MAT2A_U18, MAT2A_W02, MAT2A_W04, MAT2A_U13, MAT2A_U11, MAT2A_U02, MAT2A_U16, MAT2A_U03, MAT2A_W05 Activity during classes,
Test,
Oral answer
M_U002 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki (statystyka, rachunek prawdopodobieństwa) w konstrukcji portfela ryzyk i szacowania ruiny ubezpieczyciela MAT2A_U12, MAT2A_U14, MAT2A_U13, MAT2A_U11, MAT2A_U04, MAT2A_W07 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Knowledge: he knows and understands
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii matematyki ubezpieczeniowej (składka netto, ryzyko, twierdzenie Panjera, ruina, użyteczność) MAT2A_U14, MAT2A_W06, MAT2A_W04, MAT2A_U11, MAT2A_U02, MAT2A_W07, MAT2A_U16, MAT2A_W05 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_W002 zna przykłady zastosowań analizy matematycznej, rachunku prawdopodobieństwa i statystyki do rozwiazywania zagadnień wyceny ryzyka i wyznaczania prawdopodobieństwa ruiny MAT2A_U14, MAT2A_U04, MAT2A_K05 Activity during classes,
Examination,
Oral answer
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Social competence
M_K001 umie ocenić stopień zrozumienia przez siebie problemu i brakujące elementy rozumowania + + - - - - - - - - -
Skills
M_U001 potrafi ze zrozumieniem przedstawić w mowie i piśmie poznane na wykładzie metody wyceny ryzyka i obliczania prawdopodobieństwa ruiny + + - - - - - - - - -
M_U002 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki (statystyka, rachunek prawdopodobieństwa) w konstrukcji portfela ryzyk i szacowania ruiny ubezpieczyciela + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii matematyki ubezpieczeniowej (składka netto, ryzyko, twierdzenie Panjera, ruina, użyteczność) + + - - - - - - - - -
M_W002 zna przykłady zastosowań analizy matematycznej, rachunku prawdopodobieństwa i statystyki do rozwiazywania zagadnień wyceny ryzyka i wyznaczania prawdopodobieństwa ruiny + + - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 152 h
Module ECTS credits 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 h
Preparation for classes 30 h
Realization of independently performed tasks 55 h
Examination or Final test 2 h
Contact hours 5 h
Module content
Lectures (30h):
  1. Ryzyko i wycena ryzyka

    Kalkulacja składki w oparciu o pojęcie kwantyla. Dekompozycja składki. Rozkład ucięty.

  2. Szacowania prawdopodobieństwa ruiny

    Twierdzenie o głębokości deficytu w momencie ruiny (bd). Funkcja hazardu.

  3. Prawdopodobieństwo ruiny

    Twierdzenie: dokładny wzór na prawdopodobieństwo ruiny. Klasyczny model nadwyżki szkód. Twierdzenie o maksymalnej łącznej stracie (bd). Rozkład kolejnych strat.

  4. Proces nadwyżki ubezpieczyciela

    Procesy ciągłe i dyskretne. Ruina i prawdopodobieństwo ruiny. Kalkulacja składki. Współczynnik dopasowania. Twierdzenie o istnienu i jednoznaczności współczynnika dopasowania.

  5. Kalkulacja składki

    Metoda Haldane’a. Formuły: Wilsona-Hilferty’ego, Fishera-Corinsha. Dekompozycja składki.

  6. Praktyka – aproksymacje parametrów i rozkładów

    Przesunięty rozkład gamma.

  7. Momenty składowych ryzyka

    Porządkowanie ryzyk. Twierdzenie o najlepszym i najgorszym ryzyku w zadanej klasie ryzyk. Własności porządku stochastycznego (bd). Inflacja (deflacja) a typy kontraktów.

  8. Typy kontraktów

    Proporcjonalny, z udziałem własnym, z limitem odpowiedzialności. Twierdzenie o optymalnym kontrakcie ubezpieczeniowym. Nadwyżka szkody.

  9. Rozkład beta i beta-dwumianowy

    Praktyka – estymacja parametrów dla rozkładu z ogonem poissonowskim. Podział ryzyka. Udział własny ubezpieczonego.

  10. Dyskretyzacje rozkładów ciągłych

    Modyfikacje rozkładu liczby szkód: wyróżnianie szkód przez ubezpieczyciela, wyróżnianie szkód przez ubezpieczonego. Wnioski.

  11. Twierdzenia o dodawaniu rozkładów złożonych

    Kumulanty rozkładów złożonych. Twierdzenie Panjera.

  12. Ryzyko łączone

    Model ryzyka łącznego; rozkłady złożone. Rozkłady liczby szkód: Poissona, dwumianowy, ujemny dwumianowy. Rozkład ujemny dwumianowy jako: efekt losowania ryzyk z niejednorodnej populacji; rozkład złożony.

  13. Kumulanty

    Twierdzenie o równości k-tej pochodnej funkcji generującej momenty w zerze i k-tego momentu zmiennej losowej. Funkcja generująca momenty rozkładu gamma. Funkcja generująca kumulanty. Kumulanta.

  14. Rozkład dyskretno-ciągły

    Model ryzyka indywidualnego. Splot rozkładów – definicja ogólna. Twierdzenie o rozkładzie sumy niezależnych zmiennych losowych. Sploty rozkładów ciągłych i dyskretnych – przypomnienie. Sploty rozkładów dyskretno -ciągłych. Funkcja generująca momenty, twierdzenie o określoności, własności.

Auditorium classes (30h):
Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

Rozwiązywanie problemów (głównie związanych z zagadnieniami praktycznymi) ilustrujących treści przekazywanych na kolejnych wykładach

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
Ćwiczenia z przedmiotu są zaliczane na podstawie kolokwiów i aktywności na zajęciach. Dokładne kryteria w tym względzie ustala prowadzący ćwiczenia. W wypadku nie uzyskania zaliczenia z ćwiczeń w pierwszym terminie studentom przysługuje jeden termin (jedno kolokwium) poprawkowe.

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Method of calculating the final grade:
  1. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  2. Nieobecność na ponad 20% ćwiczeń skutkuje niedopuszczeniem do egzaminu.
  3. Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    SW = 1/3 OC + 2/3 OE,
    gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń,
    a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  4. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).
  5. Nieobecności nieusprawiedliwione na egzaminie sa traktowane przy wyliczaniu OK jako oceny niedostateczne.
  6. Średnia z ocen z wszystkich terminów egzaminu (czyli wszystkie oceny niedostateczne wraz z oceną pozytywną) dają OE, przy czym jeśli średnia jest niższa od 3.0, student otrzymuje ocenę 3.0.
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Prerequisites and additional requirements:

Wymagane jest zaliczenie modułu rachunek prawdopodobieństwa II.

Recommended literature and teaching resources:
  1. W. Otto „Ubezpieczenie majątkowe, część I, Teoria ryzyka”
  2. N. Bowers „Actuarial Mathematics”
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. Dehay, Dominique; Dudek, Anna E.; Block bootstrap for Poisson-sampled almost periodic processes; J. Time Ser. Anal. 36, No. 3, 327-351 (2015).

2. Dudek, A.E.; Circular block bootstrap for coefficients of autocovariance function of almost periodically correlated time series; Metrika 78, No. 3, 313-335 (2015).

3. Dudek, Anna E.; Leśkow, Jacek; Paparoditis, Efstathios; Politis, Dimitris N.; A generalized block bootstrap for seasonal time series.; J. Time Ser. Anal. 35, No. 2, 89-114 (2014).

4. Dehay, Dominique; Dudek, Anna; Leśkow, Jacek;
Subsampling for continuous-time almost periodically correlated processes; J. Stat. Plann. Inference 150, 142-158 (2014).

5. Dudek, Anna; Leśkow, Jacek; A bootstrap algorithm for data from a periodic multiplicative intensity function; Commun. Stat., Theory Methods 40, No. 8, 1468-1489 (2011).

6. Dudek, Anna; Smoothed estimator of the periodic hazard function; Opusc. Math. 29, No. 3, 229-251 (2009).

7. Dudek, Anna; Szkutnik, Zbigniew; Minimax unfolding spheres’ size distribution from linear sections; Stat. Sin. 18, No. 3, 1063-1080 (2008).

Additional information:

Ćwiczenia z przedmiotu są zaliczane na podstawie kolokwiów i aktywności na zajęciach. Dokładne kryteria w tym względzie ustala prowadzący ćwiczenia. W wypadku nie uzyskania zaliczenia z ćwiczeń w pierwszym terminie studentom przysługuje jeden termin (jedno kolokwium) poprawkowe.