Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Functional Analysis
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-2-020-MI-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Mathematics in Computer Science
Field of study:
Mathematics
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Rudol Krzysztof (rudol@agh.edu.pl)
Module summary

Podstawowy kurs analizy funkcjonalnej.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Skills: he can
M_U001 posługuje się językiem oraz metodami analizy funkcjonalnej w zagadnieniach analizy matematycznej i jej zastosowaniach, w szczególności wykorzystuje własności klasycznych przestrzeni Banacha i Hilberta MAT2A_K02, MAT2A_U09 Examination
M_U002 umie, na poziomie zaawansowanym i obejmującym matematykę współczesną, stosować oraz przedstawiać w mowie i na piśmie, metody co najmniej jednej wybranej gałęzi matematyki: analizy matematycznej i analizy funkcjonalnej, teorii równań różniczkowych... MAT2A_U13, MAT2A_K06 Examination
Knowledge: he knows and understands
M_W001 Ma pogłębioną wiedzę w wybranej dziedzinie matematyki teoretycznej lub stosowanej MAT2A_W03, MAT2A_U01, MAT2A_W01 Examination
M_W002 zna powiązania zagadnień wybranej dziedziny z innymi działami matematyki teoretycznej i stosowanej MAT2A_U04, MAT2A_W07 Activity during classes
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Skills
M_U001 posługuje się językiem oraz metodami analizy funkcjonalnej w zagadnieniach analizy matematycznej i jej zastosowaniach, w szczególności wykorzystuje własności klasycznych przestrzeni Banacha i Hilberta + + - - - - - - - - -
M_U002 umie, na poziomie zaawansowanym i obejmującym matematykę współczesną, stosować oraz przedstawiać w mowie i na piśmie, metody co najmniej jednej wybranej gałęzi matematyki: analizy matematycznej i analizy funkcjonalnej, teorii równań różniczkowych... + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Ma pogłębioną wiedzę w wybranej dziedzinie matematyki teoretycznej lub stosowanej + + - - - - - - - - -
M_W002 zna powiązania zagadnień wybranej dziedziny z innymi działami matematyki teoretycznej i stosowanej + + - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 152 h
Module ECTS credits 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 h
Preparation for classes 30 h
Realization of independently performed tasks 60 h
Examination or Final test 2 h
Module content
Lectures (30h):
  1. Przykłady przestrzeni unormowanych

    Przestrzeń euklidesowa, przestrzenie ciągów: c, c_0, m, L_p, przestrzenie funkcji ciągłych, całkowalnych, przestrzenie Lebesgue’a (Lp), przestrzenie Sobolewa.

  2. Topologia przestrzeni unormowanej

    Zbieżność w konkretnych przestrzeniach. Zbiory gęste. Ośrodkowość.

  3. Przestrzenie Banacha

    Podstawowe operacje na przestrzeniach Banacha: przestrzenie ilorazowe, sumy proste. Podprzestrzenie.

  4. Ciągły funkcjonał liniowe , ich przedłużenie

    Twierdzenie Hahna-Banacha, najważniejsze wnioski.

  5. Przestrzenie sprzężone

    Przykłady. Przestrzenie refleksywne. Topologie: słaba i *-słaba.

  6. Operatory liniowe w przestrzeniach unormowanych

    Ograniczoność a ciągłość. Przestrzeń operatorów ograniczonych w przestrzeniach Banacha. Operator sprzężony.

  7. Zbieżność ciągów operatorów

    Rodzaje zbieżności ciągów operatorów jednostajna, silna oraz słaba. Twierdzenie Banacha-Steinhausa.

  8. Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym

    Twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym oraz o wykresie domkniętym, o odwzorowaniu odwrotnym.

  9. Widmo i rezolwenta operatora liniowego

    Rezolwenta operatora liniowego. Widmo operatora. Klasyfikacja widma. Przykłady.

  10. Operatory zwarte

    Podstawowe własności. Widmo operatora zwartego.

  11. Przestrzenie Hilberta

    Przykłady przestrzeni Hilberta. Ortogonalność. Rzut na podprzestrzeń.

  12. Układy ortonormalne

    Szeregi Fouriera. Nierówność Bessla. Baza przestrzeni Hilberta. Tożsamość Parsevala. Zagadnienie najlepszej aproksymacji. Twierdzenie Riesza-Fischera.

  13. Operatory liniowe w przestrzeni Hilberta

    Formy dwuliniowe a operatory. Operatory samosprzężone. Twierdzenie o widmie operatora samosprzężonego. Operatory unitarne.

  14. Operatory dodatnie

    Pierwiastek kwadratowy z operatora dodatniego. Rozkład spektralny operatora samosprzężonego. Twierdzenie spektralne dla operatorów samosprzężonych (bez dowodu).

  15. Operatory gęsto określone

    Operator domknięty i domykalny, rdzeń operatora, przykłady, związek z mechaniką kwantową. Różnica pomiędzy pojęciami: symetrii i samosprzężoności. Ogólne twierdzenie spektralne (bez dowodu).

Auditorium classes (30h):
-
Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Dwa zaliczenia poprawkowe w terminach skorelowanych z egzaminami poprawkowymi.

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Method of calculating the final grade:
  1. Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie oceny uzyskanej podczas egzaminu.średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    OK = OE,
    gdzie OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  2. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > OE ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SE ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SE ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SE ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Prerequisites and additional requirements:

Kurs analizy matematycznej obejmujący teorię miary i całki Lebesgue’a. Elementy algebry liniiowej i topologii ogólnej.

Recommended literature and teaching resources:
  1. A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 1969.
  2. S. G. Krein (red.), Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 1967.
  3. L. A. Lusternik, W. I. Sobolew, Elementy analizy funkcjonalnej, Warszawa, PWN, 1999.
  4. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, Warszawa, PWN, 1989.
  5. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 2002. # S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, Warszawa, PWN, 2007.
  6. K. Rudol, Zbiór zadań z analizy funkcjonalnej, Cz.I, UWND AGH, Kraków 2008.
  7. K. Rudol, M. Malejki, Analiza funkcjonalna: kurs podstawowy, wyd. AGH.
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

- (W.Mikołajczyk, K.Rudol) Matrices of operators on some function spaces,
Current Trends in Analysis and Its Applications, Proc. of the 9th ISAAC
Congress, Kraków 2013, V.V. Mityushev, M.V. Ruzhansky, Eds., Birkhauser, (2015), 689-694.

- (K. Rudol) Matrices related to some Fock space operators, Opuscula Math. 31, (2011), 289-296.

- (M.Kosiek, K.Rudol) Dual algebras and A-measures, Journal of function spaces, 01/2014; 1-8.

- (K. Rudol) Corona theorem and isometries, Opuscula Math. 24 (2004),123-131.

- (K. Rudol) Spectra of subnormal pairs, Opuscula Math. 27, (2007), 301-304.

- (Z.Ambroziński, K.Rudol) Matrices defined by frames,Opuscula Math. 29 (2009), 365-375.

- K. Rudol, Zbiór zadań z analizy funkcjonalnej, Cz.I_, UWND AGH, Kraków 2008.

Additional information:

None