Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Differential topology
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-2-017-MN-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Mathematics in Technical and Natural Sciences
Field of study:
Mathematics
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Płachta Leonid (lplachta@wms.mat.agh.edu.pl)
Module summary

Rozmaitość. Przestrzenie topologiczne gładkich odwzorowań rozmaitości. Dyfeomorfizmy.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence: is able to
M_K001 umie ocenić stopień zrozumienia przez siebie problemu i brakujące elementy rozumowania MAT2A_K01, MAT2A_K07, MAT2A_K02 Activity during classes,
Examination,
Test
Skills: he can
M_U001 potrafi ze zrozumieniem przedstawić w mowie i piśmie poznane na wykładzie dowody twierdzeń MAT2A_U01, MAT2A_U02 Examination,
Test
M_U002 potrafi samodzielnie przeprowadzić proste dowody wykorzystując poznaną wiedzę z topologii różniczkowej MAT2A_K01, MAT2A_U01, MAT2A_U13, MAT2A_U02 Activity during classes,
Examination,
Test
M_U003 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki (algebra, analiza matematyczna i funkcjonalna, układy dynamiczne, matematyka dyskretna) w topologii różniczkowej MAT2A_U14, MAT2A_W07, MAT2A_U04 Activity during classes,
Examination,
Test
Knowledge: he knows and understands
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia topologii różniczkowej (rozmaitość gładka, przykłady rozmaitości gładkich, odwzorowanie gładkie rozmaitości, rozmaitość i wiązka styczna, zanurzenie rozmaitości, topologia w przestrzeni gładkich odwzorowań rozmaitości, twierdzenie Sarda, twierdzenie Whitney’a, pole wektorowe, funkcja Morse’a, singularność pola wektorowego, jednoparametryczna rodzina dyfeomorfizmów, stopień odwzorowania, otoczenie tubularne) MAT2A_W02, MAT2A_W04, MAT2A_U13, MAT2A_U02 Activity during classes,
Examination,
Test
M_W002 zna przykłady stosowania topologii różniczkowalnej w innych dziedzinach matematyki czystej i stosowanej i naukach przyrodniczych MAT2A_U17, MAT2A_U14, MAT2A_U04 Activity during classes,
Examination,
Test
M_W003 zna najważniejsze fakty z historii topologii różniczkowej i jej zastosowań w układach dynamicznych i topologii geometrycznej MAT2A_K05, MAT2A_W04, MAT2A_W03 Activity during classes,
Examination
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Social competence
M_K001 umie ocenić stopień zrozumienia przez siebie problemu i brakujące elementy rozumowania + + - - - - - - - - -
Skills
M_U001 potrafi ze zrozumieniem przedstawić w mowie i piśmie poznane na wykładzie dowody twierdzeń + + - - - - - - - - -
M_U002 potrafi samodzielnie przeprowadzić proste dowody wykorzystując poznaną wiedzę z topologii różniczkowej + + - - - - - - - - -
M_U003 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki (algebra, analiza matematyczna i funkcjonalna, układy dynamiczne, matematyka dyskretna) w topologii różniczkowej + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia topologii różniczkowej (rozmaitość gładka, przykłady rozmaitości gładkich, odwzorowanie gładkie rozmaitości, rozmaitość i wiązka styczna, zanurzenie rozmaitości, topologia w przestrzeni gładkich odwzorowań rozmaitości, twierdzenie Sarda, twierdzenie Whitney’a, pole wektorowe, funkcja Morse’a, singularność pola wektorowego, jednoparametryczna rodzina dyfeomorfizmów, stopień odwzorowania, otoczenie tubularne) + + - - - - - - - - -
M_W002 zna przykłady stosowania topologii różniczkowalnej w innych dziedzinach matematyki czystej i stosowanej i naukach przyrodniczych + + - - - - - - - - -
M_W003 zna najważniejsze fakty z historii topologii różniczkowej i jej zastosowań w układach dynamicznych i topologii geometrycznej + + - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 150 h
Module ECTS credits 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 h
Realization of independently performed tasks 83 h
Examination or Final test 2 h
Contact hours 5 h
Module content
Lectures (30h):
WYKŁADY:

1. Мару, atłasy. Gładkie rоzmаitоśсi, lokalne wsрółrzędnе. Рrzуkłаdу.

2. Gładkie оdwzоrоwaniа, punkty regularne odwzorowań. Арrоksуmасjе odwzorowań.

3. Przestrzenie styczne, struktura różniczkowa na przestrzeniach stycznych,
odwzoгowania gładkie ргzеstгzеni stycznych.

4. Orientacja gładkiej гоzmаitоśсi. Rоzmаitоści w przestrzeni euklidesowej.

5. Rozmaitości Grassmana.

6. Zаnurzеnia гоzmаitоśсi, imersje.

7. Położenie ogólne роdrоzmаitоśсi i trаnswеrsаlność.

8. Twierdzenie Вrаuеrа о punkcie stałуm.

9. Тwiеrdzеniе Sarda. Twierdzenie Whitney’a.

10. Gładkie funkcje nа rоzmаitоśсiасh. Punkty krytyczne funkcji.

11. Izotopia i homоtорiа. Stopień odwzorowania гоzmаitоśсi gładkich orientowalnych,
jego zastоsоwаniа.

12. Funkcje Morse’a na rozmaitościach gładkich i ich zastosowania. Lemat Morse’a.

13. Pola wektorowe nа gładkich гоzmaitоśсiасh, syngularności.

14. Indeks punktu kгytycznego pola wektorowego. Тwiеrdzeniе Poincare-Hopfa

15.Rоdzinа jеdnораrаmеtгусznа dуfеоmоrfizmów. Gładkie potoki na rоzmаitоśсiасh.

16. Przestrzenie topologiczne gładkich odwzorowań rozmaitości.

Auditorium classes (30h):

ĆWICZENIA AUDYTORYJNE
Rozwiązywanie problemów (głównie teoretycznych) dotyczących treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: No
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Method of calculating the final grade:

Ocena końcowa (OK) jest średnią ważoną ocen z egzaminu (E) i zaliczenia ćwiczeń audytoryjnych (A):
OK = 2/3 x E + 1/3 x A.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Prerequisites and additional requirements:

Wiedza podstawowych pojęć i twierdzeń w zakresie kursów: 1) algebra , 2) analiza matematyczna, 3)
topologia + elementy Topologii II

Recommended literature and teaching resources:

1. Duda Rоmаn, Wрrоwаdzеniе do topologii, Bibl. Mat., 1986.

2. Th.Broecker & K.Jaenich, Introduction to differential topology, Cambridge
University Press, 2007.

3. Milnor Jоhn, Topology frоm diffеrеntiаl роint of view, Ргinсеtоn Univеrsitу press,
Рrinсеtоn, 1965.

4. Wallace Andrew, Topologia różniсzkоwа, Warszawa, 1979, PWN. 159, 1979.

5. C.Munkres, J.R., Elementary differential topology, Ann. Math.Studies, Princeton
University Press, 1966.

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. On measures of nonplanarity of cubic graphs / Leonid PLACHTA // Proceedings of the International Geometry Center ; ISSN 2072-9812. — 2018 vol. 11 no. 2, s. 16–47.

2. On discretized configuration spaces / Leonid PŁACHTA // W: 6th Polish combinatorial conference [Dokument elektroniczny] : Będlewo, September 19–23, 2016

3. Seifert graphs and the braid index of classical and singular links / Leonid PŁACHTA, Jakub PRZYBYŁO, Mariusz WOŹNIAK // Discrete Mathematics ; ISSN 0012-365X. — 2012 vol. 312 iss. 18, s. 2819–2831.

4. On nonplanarity of cubic graphs / L. P. PŁACHTA // Journal of Mathematical Sciences ; ISSN 1072-3374. — 2012 vol. 187 no. 5, s. 545–549.

5. Notes on tiled incompressible tori / Leonid PŁACHTA // Central European Journal of Mathematics ; ISSN 1895-1074. — 2012 vol. 10 iss. 6, s. 2200–2210.

6. Remarks on tiled tori / L. P. PŁACHTA // Matematičeskie Metody i Fiziko-Mechaničeskie Polâ ; ISSN 0130-9420. — 2010 vol. 53 no. 3, s. 27–35

Additional information:

None