Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Differential Geometry
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-2-110-MN-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Mathematics in Technical and Natural Sciences
Field of study:
Mathematics
Semester:
1
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
prof. dr hab. Rybicki Tomasz (tomasz@agh.edu.pl)
Module summary

Pojęcia i twierdzenia wraz z wybranymi dowodami z dziedziny geometrii różniczkowej. Całkowanie form różniczkowych. Inne zagadnienia.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Skills: he can
M_U001 Posiada podstawową wiedzę na temat historii geometrii, związków geometrii z innymi działami matematyki oraz z naukami przyrodniczymi i technicznymi MAT2A_W07, MAT2A_W01, MAT2A_W04 Activity during classes,
Test,
Oral answer
M_U002 Posługuje się pojęciami teorii grup i innych struktur algebraicznych MAT2A_U08, MAT2A_U10, MAT2A_U04, MAT2A_U01 Activity during classes,
Test,
Oral answer
M_U003 Potrafi posługiwać się pojęciem rozmaitości gładkiej i zna podstawy rachunku tensorowego MAT2A_U08, MAT2A_U10, MAT2A_U04, MAT2A_U01 Activity during classes,
Test,
Oral answer
Knowledge: he knows and understands
M_W001 Zna podstawowe pojęcia z zakresu algebry wieloliniowej (np. tensor, k-forma), posiada pogłębioną wiedzę z zakresu algebry MAT2A_U08, MAT2A_U10, MAT2A_W01, MAT2A_W02, MAT2A_W04 Activity during classes,
Test,
Oral answer
M_W002 Zna podstawowe pojęcia i twierdzenia wraz z wybranymi dowodami z dziedziny geometrii różniczkowej MAT2A_U08, MAT2A_U04, MAT2A_W01, MAT2A_U16, MAT2A_W03 Activity during classes,
Test,
Oral answer
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Skills
M_U001 Posiada podstawową wiedzę na temat historii geometrii, związków geometrii z innymi działami matematyki oraz z naukami przyrodniczymi i technicznymi + + - - - - - - - - -
M_U002 Posługuje się pojęciami teorii grup i innych struktur algebraicznych + + - - - - - - - - -
M_U003 Potrafi posługiwać się pojęciem rozmaitości gładkiej i zna podstawy rachunku tensorowego + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Zna podstawowe pojęcia z zakresu algebry wieloliniowej (np. tensor, k-forma), posiada pogłębioną wiedzę z zakresu algebry + + - - - - - - - - -
M_W002 Zna podstawowe pojęcia i twierdzenia wraz z wybranymi dowodami z dziedziny geometrii różniczkowej + + - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 100 h
Module ECTS credits 4 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 h
Preparation for classes 33 h
Examination or Final test 2 h
Contact hours 5 h
Module content
Lectures (30h):
  1. Wstęp

    Przypomnienie podstawowych wiadomości dotyczących grup i innych struktur algebraicznych. Działanie grupy na zbiór.

  2. Grupy topologiczne

    Pojęcie grupy topologicznej wraz z podstawowymi własnościami. Grupy i algebry macierzy (ortogonalne, hermitowskie, symplektyczne, specjalne). Definicja i własności odwzorowania wykładniczego.

  3. Geometria jako teoria niezmienników grup przekształceń

    Rola odwzorowania wykładniczego.

  4. Elementy algebry wieloliniowej

    Iloczyn tensorowy i potęga zewnętrzna.

  5. Rozmaitości różniczkowe

    Pojęcie rozmaitości różniczkowej, atlasu, mapy i struktury różniczkowej. Przestrzeń styczna (dwie definicje).

  6. Podrozmaitości

    Odwzorowanie styczne (różniczka). Podrozmaitości. Wiązki styczne i kostyczne oraz wiązki wektorowe. Pola wektorowe.

  7. Różniczka zewnętrzna

    Pola wektorowe (kontynuacja), przepływy, krzywe całkowe. Algebra Liego pól wektorowych. Formy różniczkowe. Różniczka zewnętrzna, iloczyny zewnętrzny i wewnętrzny, pochodna Liego.

  8. Twierdzenie Stokesa

    Powierzchnie gładkie w przestrzeni euklidesowej. Całkowanie form różniczkowych, twierdzenie Stokesa.

  9. Pola potencjalne

    Całkowanie form różniczkowych (kontynuacja). Potencjał, pole potencjalne, warunki konieczne i wystarczające dla potencjalności pola.

  10. Symbole Christoffla

    Koneksja afiniczna, przeniesienie równoległe, pochodna kowariantna. Symbole Christoffla.

  11. Geodezyjne

    Krzywizna, skręcenie, równania strukturalne. Geodezyjne i ich własności.

  12. Rozmaitości riemannowskie

    Tensor metryczny, rozmaitość riemannowska. Koneksja riemannowska, jej charakteryzacja i własności.

  13. Lemat Schura

    Zupełność i twierdzenie Hopfa – Rinova. Krzywizna sekcyjna. Lemat Schura.

  14. Grupy Liego

    Grupy Liego i ich algebry Liego. Odwzorowanie wykładnicze. Homomorfizmy grup i algebr Liego.

Auditorium classes (30h):
Rozwiązywanie zadań ilustrujących treści przekazywane na wykładach
Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

dwa terminy zaliczeń poprawkowych

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Method of calculating the final grade:

zaliczenie

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Prerequisites and additional requirements:

Prerequisites and additional requirements not specified

Recommended literature and teaching resources:
  1. J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, BM, PWN 1985.
  2. S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces, Academic Press 1962.
  3. W. Wojtyński, Grupy i Algebry Liego, BM, PWN 1986.
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. Haller, Stefan; Rybicki, Tomasz; Teichmann, Josef; Smooth perfectness for the group of diffeomorphism; J. Geom. Mech. 5, No. 3, 281-294 (2013).

2. Rubin, Matatyahu; Rybicki, Tomasz; Isomorphisms between groups of equivariant homeomorphisms of G-manifolds with one orbit type; Topology Appl. 159, No. 12, 2899-2908 (2012).

3. Rybicki, Tomasz; Correspondence between diffeomorphism groups and singular foliations; Ann. Pol. Math. 103, No. 1, 27-35 (2012).

4. Kowalik, Agnieszka; Rybicki, Tomasz; On the homeomorphism groups of manifolds and their universal coverings; Cent. Eur. J. Math. 9, No. 6, 1217-1231 (2011).

5. Rybicki, Tomasz; Locally continuously perfect groups of homeomorphisms; Ann. Global Anal. Geom. 40, No. 2, 191-202 (2011).

6. Michalik, Ilona; Rybicki, Tomasz; On the structure of the commutator subgroup of certain homeomorphism groups; Topology Appl. 158, No. 11, 1314-1324 (2011).

7. Rybicki, Tomasz; Boundedness of certain automorphism groups of an open manifold;
Geom. Dedicata 151, 175-186 (2011).

Additional information:

None