Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Real and Complex Analysis
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-2-119-MN-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Mathematics in Technical and Natural Sciences
Field of study:
Mathematics
Semester:
1
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
prof. zw. dr hab. Cojuhari Petru (cojuhari@agh.edu.pl)
Module summary

Kurs analizy rzeczywistej- teoria miary, całka Lebesgue’a.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Skills: he can
M_U001 Student zna konstrukcję miary Lebesgue’a i charakteryzację mierzalności zbiorów w sensie Lebesgue’a oraz przykłady zbiorów mierzalnych i niemierzalnych. MAT2A_U07, MAT2A_U01, MAT2A_U05 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_U002 Student zna przykłady i potrafi rozpoznać pojęcia teorii całki Lebesgue’a i teorii miary w typowych zagadnieniach teoretycznych i praktycznych. MAT2A_U04 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_U003 Student potrafi stosować wzór całkowy Cauchy’ego i twierdzenie o residuach do znajdowania wartości pewnych całek i innych obliczeń. MAT2A_U05 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Knowledge: he knows and understands
M_W001 Student zna pojęcia miary i mierzalności zbiorów, mierzalności funkcji oraz twierdzenia i przykłady dotyczące tych pojęć. MAT2A_W02 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_W002 Student ma uporządkowaną wiedzę w zakresie całki Lebesgue’a. MAT2A_W03, MAT2A_W01 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_W003 Student zna podstawowe klasy funkcji rzeczywistych i ich własności. MAT2A_W01 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_W004 Student ma uporządkowaną podstawową wiedzę z analizy zespolonej i funkcji analitycznych. MAT2A_W03, MAT2A_W01 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Skills
M_U001 Student zna konstrukcję miary Lebesgue’a i charakteryzację mierzalności zbiorów w sensie Lebesgue’a oraz przykłady zbiorów mierzalnych i niemierzalnych. + + - - - - - - - - -
M_U002 Student zna przykłady i potrafi rozpoznać pojęcia teorii całki Lebesgue’a i teorii miary w typowych zagadnieniach teoretycznych i praktycznych. + + - - - - - - - - -
M_U003 Student potrafi stosować wzór całkowy Cauchy’ego i twierdzenie o residuach do znajdowania wartości pewnych całek i innych obliczeń. + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Student zna pojęcia miary i mierzalności zbiorów, mierzalności funkcji oraz twierdzenia i przykłady dotyczące tych pojęć. + + - - - - - - - - -
M_W002 Student ma uporządkowaną wiedzę w zakresie całki Lebesgue’a. + + - - - - - - - - -
M_W003 Student zna podstawowe klasy funkcji rzeczywistych i ich własności. + + - - - - - - - - -
M_W004 Student ma uporządkowaną podstawową wiedzę z analizy zespolonej i funkcji analitycznych. + + - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 150 h
Module ECTS credits 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 h
Preparation for classes 37 h
Realization of independently performed tasks 46 h
Examination or Final test 2 h
Contact hours 5 h
Module content
Lectures (30h):

1. Algebra i σ-algebra zbiorów. Przestrzenie mierzalne. Miara, przestrzenie z miarą. Miara Borela. Miary zupełne i regularne.
2. Miara zewnętrzna. Zagadnienie rozszerzenia miar. Warunek Caratheodory’ego. Konstrukcje miary Lebesgue’a. Charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a.
3. Funkcje mierzalne. Przestrzeń funkcji prostych. Twierdzenie o aproksymacji funkcji mierzalnej przez funkcje proste.
4. Całka Lebesgue’a i jej własności. Związek całki Lebesgue’a z całką Riemanna. Twierdzenie o zbieżności. Lemat Fatou. Twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej.
5. Miary produktowe. Twierdzenia Tonelliego i Fubiniego.
6. Funkcje o wahaniu ograniczonym. Funkcje absolutnie ciągłe. Twierdzenie Lebesgue’a o różniczkowalności prawie wszędzie.
7. Geometria i topologia płaszczyzny zespolonej, sfera Riemanna.
Funkcje zespolone, ciągłość, funkcje elementarne.
8. Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej. Reguły różniczkowania. Równania Cauchy’ego-Riemanna. Interpretacja geometryczna pochodnej zespolonej.
9. Funkcje analityczne (regularne, holomorficzne). Regularność funkcji elementarnych. Odwzorowanie konforemne.
10. Całkowanie funkcji zespolonych. Całki krzywoliniowe funkcji zespolonych.
11. Twierdzenie całkowe Cauchy’ego. Istnienie funkcji pierwotnej. Wzór całkowy Cauchy’ego. Uogólniony wzór Cauchy’ego.
12. Rozwijalność funkcji analitycznej w szereg potęgowy. Szeregi Taylora i Lauranta. Punkty zerowe funkcji analitycznej. Twierdzenie o jednoznaczności funkcji analitycznej.
13. Nierówność Cauchy’ego. Funkcje całkowite. Twierdzenie Liouville’a. Lemat Schwarza.
14. Punkty osobliwe. Residuum funkcji. Wyznaczanie residuów. Twierdzenie o
residuach.

Auditorium classes (30h):
Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

Rozwiązywanie problemów (głównie związanych z zagadnieniami praktycznymi) ilustrujących treści przekazywanych na kolejnych wykładach

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Method of calculating the final grade:
  1. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  2. Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    SW = 1/3 OC + 2/3 OE,
    gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń,
    a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  3. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości. Omówienie konspektów podczas konsultacji.

Prerequisites and additional requirements:

Wiedza z zakresu analizy matematycznej, logiki i teorii mnogości na poziomie absolwenta studiów matematycznych I-go stopnia.

Recommended literature and teaching resources:
  1. Walter Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, (PWN 1999)
  2. Ludwik M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków (II. Wybrane zagadnienia), (Wyd. UJ 1997)
  3. Witold Kleiner, Analiza Matematyczna (Tom II), (PWN 1990)
  4. Franciszek Leja, Funkcje zespolone (PWN 1979)
  5. Jan Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych (PWN 2005)
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Triplets of closely embedded Hilbert spaces, Integral Equations Oper. Theory 81, No. 1, 1-33 (2015).

2) Cojuhari, P.A.; Grod, A.; Kuzhel, S; On the S-matrix of Schrödinger operators with non-symmetric zero-range potentials, J. Phys. A, Math. Theor. 47, No. 31, Article ID 315201, 23 p. (2014).

3) Cojuhari, P.A.; On the discrete spectrum of a linear operator pencil arizing in transport theory,
Methods Funct. Anal. Topol. 20, No. 1, 10-16 (2014).

4) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Triplets of closely embedded Dirichlet type spaces on the unit polydisc, Complex Anal. Oper. Theory 7, No. 5, 1525-1544 (2013).

5) Cojuhari, Petru A.; Kuzhel, Sergii; Lax-Phillips scattering theory for 𝒫𝒯-symmetric ρ-perturbed operators, J. Math. Phys. 53, No. 7, 073514, 17 p. (2012).

6) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Embeddings, operator ranges, and Dirac operators,
Complex Anal. Oper. Theory 5, No. 3, 941-953 (2011).

7) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Closely embedded Kreĭn spaces and applications to Dirac operators, J. Math. Anal. Appl. 376, No. 2, 540-550 (2011).

8) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Closed embeddings of Hilbert spaces,
J. Math. Anal. Appl. 369, No. 1, 60-75 (2010).

9) Cojuhari, Petru A.; Nowak, Michał A. ;Projection-iterative methods for a class of difference equations,
Integral Equations Oper. Theory 64, No. 2, 155-175 (2009).

10) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Kreĭn spaces induced by symmetric operators.
J. Oper. Theory 61, No. 2, 347-367 (2009).

11) Cojuhari, P.A. Discrete spectrum in the gaps for perturbations of periodic Jacobi matrices.
J. Comput. Appl. Math. 225, No. 2, 374-386 (2009).

12) Cojuhari, Petru; Janas, Jan; Unbounded Jacobi matrices with empty absolutely continuous spectrum.
Bull. Pol. Acad. Sci., Math. 56, No. 1, 39-51 (2008).

13) Cojuhari, P.A.; Gomilko, A.M.; On the characterization of scalar type spectral operators.
Stud. Math. 184, No. 2, 121-132 (2008).

14) Cojuhari, P.A. On the spectrum of a class of block Jacobi matrices.
Bakonyi, Mihály (ed.) et al., Operator theory, structured matrices, and dilations. Tiberiu Constantinescu memorial volume. Bucharest: Theta (ISBN 978-973-87899-0-6). Theta Series in Advanced Mathematics 7, 137-152 (2007).

15) Cojuhari, Petru A.; Janas, Jan;
Discreteness of the spectrum for some unbounded Jacobi matrices; Acta Sci. Math. 73, No. 3-4, 649-667 (2007).

16) Cojuhari, Petru A. Finiteness of eigenvalues of the perturbed Dirac operator;
Janas, Jan (ed.) et al., Operator theory, analysis and mathematical physics. Mainly the lectures of the international conference on operator theory and its applications in mathematical physics, OTAMP 2004, Bedlewo, Poland, July 6–11, 2004. Basel: Birkhäuser (ISBN 978-3-7643-8134-9/hbk; 978-3-7643-8135-6/e-book). Operator Theory: Advances and Applications 174, 1-7 (2007).

17) Cojuhari, P.A. Estimates of the discrete spectrum of a linear operator pencil; J. Math. Anal. Appl. 326, No. 2, 1394-1409 (2007).

Additional information:

None