Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Distribution Theory
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-2-004-MZ-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Mathematics in Management
Field of study:
Mathematics
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr Golenia Jolanta (golenia@agh.edu.pl)
Module summary

Uogólnienia pojęcia funkcji. Przykłady fizyczne wymagające takiego uogólnienia. Działania na dystrybucjach. Zastosowania. Przestrzenie dystrybucji. Transformata Fouriera dystrybucji. Sploty.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence: is able to
M_K001 rozumie potrzebę pogłębiania swojej wiedzy, docenia pracę w grupie, umie dobrze formułować pytania MAT2A_K03, MAT2A_K01 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Skills: he can
M_U001 potrafi wykonywać podstawowe działania na dystrybucjach, umie wykorzystać poznaną teorię w konkretnych zastosowaniach MAT2A_U16 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
M_U002 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki w teorii dystrybucji MAT2A_U04 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Knowledge: he knows and understands
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii dystrybucji (zbieżność w przestrzeni dystrybucji, działania, ich własności, dystrybucje temperowane, transformacja Fouriera) MAT2A_W05, MAT2A_W04, MAT2A_W07, MAT2A_W06 Activity during classes,
Test,
Oral answer,
Examination
M_W002 zna przykłady zastosowań teorii dystrybucji w teorii równań różniczkowych MAT2A_W07, MAT2A_W06 Activity during classes,
Test,
Oral answer,
Examination
M_W003 zna potrzebę uogólnienia pojęcia klasycznej funkcji i zna przykłady fizyczne wymagające takiego uogólnienia MAT2A_W07 Activity during classes,
Examination,
Test,
Oral answer
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Social competence
M_K001 rozumie potrzebę pogłębiania swojej wiedzy, docenia pracę w grupie, umie dobrze formułować pytania + + - - - - - - - - -
Skills
M_U001 potrafi wykonywać podstawowe działania na dystrybucjach, umie wykorzystać poznaną teorię w konkretnych zastosowaniach + + - - - - - - - - -
M_U002 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki w teorii dystrybucji + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii dystrybucji (zbieżność w przestrzeni dystrybucji, działania, ich własności, dystrybucje temperowane, transformacja Fouriera) + + - - - - - - - - -
M_W002 zna przykłady zastosowań teorii dystrybucji w teorii równań różniczkowych + + - - - - - - - - -
M_W003 zna potrzebę uogólnienia pojęcia klasycznej funkcji i zna przykłady fizyczne wymagające takiego uogólnienia + + - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 150 h
Module ECTS credits 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 h
Preparation for classes 31 h
Realization of independently performed tasks 52 h
Examination or Final test 2 h
Contact hours 5 h
Module content
Lectures (30h):

1. Konieczność uogólnienia pojęcia funkcji klasycznych. Przykłady fizyczne wymagające takiego uogólnienia. Definicja rozwiązania uogólnionego równania różniczkowego. Związek między rozwiązaniem klasycznym i uogólnionym.

2. Funkcje gładkie i funkcje o zwartych nośnikach. Przestrzeń funkcji próbnych D, topologia w tej przestrzeni. Działania w przestrzeni funkcji próbnych.

3. Przestrzeń dystrybucji D’. Przykłady dystrybucji. Dystrybucje regularne i syngularne. Delta Diraca jako przykład dystrybucji syngularnej. Równość dystrybucji.

4. Działania na dystrybucjach: zamiana zmiennych, mnożenie dystrybucji przez funkcję gładką. Różniczkowanie dystrybucji, własności różniczkowania, związki między pochodną klasyczną i pochodną uogólnioną.

5. Nośnik dystrybucji. Twierdzenie o rozkładzie jedności.

6. Równania różniczkowe w przestrzeni dystrybucji D’. Twierdzenie o rozwiązaniu równania f’(x)=0 w przestrzeni D’. Twierdzenie o rozwiązaniu układu równań różniczkowych liniowych o współczynnikach z przestrzeni funkcji gładkich. Definicja funkcji pierwotnej.

7. Pewne równanie algebraiczne w przestrzeni D’ i jego zastosowania do równań różniczkowych w przestrzeni D’.

8. Rozwiązanie podstawowe operatorów różniczkowych liniowych. Przykłady rozwiązań podstawowych. Zastosowania w teorii równań różniczkowych.

9. Definicja iloczynu tensorowego i jego własności.

10. Splot dystrybucji, problem istnienia. Przykłady dystrybucji, dla których splot jest dobrze określony.

11. Własności splotu, różniczkowanie splotu, zastosowanie do równań różniczkowych.

12. Przestrzeń Schwartza S, własności. Działania oraz topologia w tej przestrzeni.

13. Przestrzeń dystrybucji temperowanych S’. Przykłady dystrybucji temperowanych. Działania w przestrzeni S’. Topologia w tej przestrzeni.

14. Transformacja Fouriera w przestrzeni Schwartza S i przestrzeni dystrybucji temperowanych S’. Własności transformacji Fouriera. Przykłady transformat. Uwagi o zastosowaniach w teorii równań różniczkowych.

Auditorium classes (30h):
Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładu

Rozwiązywanie problemów teoretycznych i zadań praktycznych dotyczących treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

W przypadku braku zaliczenia z ćwiczeń w terminie podstawowym (przed rozpoczęciem sesji egzaminacyjnej) student ma dwa zaliczenia poprawkowe w formie pisemnej, które odbędą się w terminie i formie ogłoszonej przez prowadzącego zajęcia.

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: No
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Method of calculating the final grade:

Ocena końcowa jest średnią ocen: z zaliczenia ćwiczeń oraz z egzaminu.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Prerequisites and additional requirements:

Prerequisites and additional requirements not specified

Recommended literature and teaching resources:

1) V.S. Vladimirov, Uravnienija Matiematicieskoj Fiziki, Nauka, Moskwa 1970.

2) V.A. Vladimirov, Wstęp do teorii dystrybucji (skrypt), WMS AGH, Kraków 2007.

3) J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1) Blackmore, D.; Golenia, J.; Prykarpatsky, A.K.; Prykarpatsky, Ya.A.;
Invariant measures for discrete dynamical systems and ergodic properties of generalized Boole-type transformations, Ukr. Math. J. 65, No. 1, 47-63 (2013) and Ukr. Mat. Zh. 65, No. 1, 44-57 (2013).

2) Prykarpatsky, Yarema A.; Blackmore, Denis; Golenia, Jolanta; Prykarpatsky, Anatoliy K.;
A vertex operator representation of solutions to the Gurevich-Zybin hydrodynamical equation;
Opusc. Math. 33, No. 1, 139-149 (2013).

3) Blackmore, Denis; Prykarpatsky, Yarema; Golenia, Jolanta; Prykarpatsky, Anatoliy;
The AKNS hierarchy and the Gurevich-Zubin dynamical system integrability revisited;
Mat. Visn. Nauk. Tov. Im. Shevchenka 8, 258-282 (2011).

4) Golenia, Jolanta; Pavlov, Maxim V.; Popowicz, Ziemowit; Prykarpatsky, Anatoliy K.;
On a nonlocal Ostrovsky-Whitham type dynamical system, its Riemann type inhomogeneous regularizations and their integrability; SIGMA, Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 6, Paper 002, 13 p., electronic only (2010).

5) Prykarpatsky, A.K.; Golenia, J.; Bogolubov, N.N. jun.; Taneri, U.
Introductory background to modern quantum mathematics with application to nonlinear dynamical systems; Begehr, H. G. W. (ed.) et al., Further progress in analysis. Proceedings of the 6th international ISAAC congress, Ankara, Turkey, August 13–18, 2007. Hackensack, NJ: World Scientific (ISBN 978-981-283-732-5/hbk). 760-779 (2009).

6) Golenia, Jolanta; Prykarpatsky, Yarema A.; Wachnicki, Eugeniusz;
The Cartan-Monge geometric approach to the generalized characteristics method and its application to the heat equation u t -u xx =0;
Opusc. Math. 29, No. 1, 27-39 (2009).

7) Bogolyubov, N.N.jun.; Golenia, J.; Prykarpatsky, A.K.; Taneri, U.
Quantum mathematics: backgrounds and some applications to nonlinear dynamical systems;
Nonlinear Oscil., N.Y. 11, No. 1, 4-17 (2008) and Nelinijni Kolyvannya 11, No. 1, 7-20 (2008).

8) Prykarpatsky, Anatoliy K.; Bogoliubov, Nikolai N. jun.; Golenia, Jolanta; Taneri, Ufuk
Introductive backgrounds to modern quantum mathematics with application to nonlinear dynamical systems; Int. J. Theor. Phys. 47, No. 11, 2882-2897 (2008).

9) Prykarpatsky, Anatoliy K.; Bogoliubov, Nikolai N. jun.; Golenia, Jolanta
A symplectic generalization of the Peradzyński helicity theorem and some applications;
Int. J. Theor. Phys. 47, No. 7, 1919-1928 (2008).

10) Golenia, J.; Hentosh, O.Ye.; Prykarpatsky, A.K.
Integrable three-dimensional coupled nonlinear dynamical systems related to centrally extended operator Lie algebras and their Lax type three-linearization;
Cent. Eur. J. Math. 5, No. 1, 84-104 (2007).

Additional information:

None