Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Stochastic Processes
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-2-012-MZ-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Mathematics in Management
Field of study:
Mathematics
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Kot Piotr (Piotr.Kot@agh.edu.pl)
Module summary

Modelowanie matematyczne wykorzystujące teorię procesów stochastycznych.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence: is able to
M_K001 umie ocenić stopień zrozumienia przez siebie problemu i brakujące elementy rozumowania MAT2A_K01 Oral answer,
Examination,
Activity during classes
Skills: he can
M_U001 potrafi ze zrozumieniem przedstawić w mowie i piśmie poznane na wykładzie dowody twierdzeń MAT2A_U04, MAT2A_U02, MAT2A_U01 Oral answer,
Test,
Examination,
Activity during classes
M_U002 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki (analiza, rachunek prawdopodobieństwa) MAT2A_U04 Oral answer,
Test,
Examination,
Activity during classes
M_U003 potrafi samodzielnie przeprowadzić proste dowody wykorzystując poznaną wiedzę z teorii procesów stochastycznych MAT2A_U04, MAT2A_U02, MAT2A_U01 Oral answer,
Test,
Examination,
Activity during classes
Knowledge: he knows and understands
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii procesów stochastycznych: martyngał, półmartyngał, proces Wienera, proces Markowa, MAT2A_W05, MAT2A_W04 Oral answer,
Test,
Examination,
Activity during classes
M_W002 zna przykłady modelowania matematycznego wykorzystującego teorię procesów stochastycznych MAT2A_W08, MAT2A_W07 Oral answer,
Test,
Examination,
Activity during classes
M_W003 zna najważniejsze twierdzenia z teorii procesów stochastycznych MAT2A_W05 Examination
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Social competence
M_K001 umie ocenić stopień zrozumienia przez siebie problemu i brakujące elementy rozumowania + + - - - - - - - - -
Skills
M_U001 potrafi ze zrozumieniem przedstawić w mowie i piśmie poznane na wykładzie dowody twierdzeń + + - - - - - - - - -
M_U002 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki (analiza, rachunek prawdopodobieństwa) + + - - - - - - - - -
M_U003 potrafi samodzielnie przeprowadzić proste dowody wykorzystując poznaną wiedzę z teorii procesów stochastycznych + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii procesów stochastycznych: martyngał, półmartyngał, proces Wienera, proces Markowa, + + - - - - - - - - -
M_W002 zna przykłady modelowania matematycznego wykorzystującego teorię procesów stochastycznych + + - - - - - - - - -
M_W003 zna najważniejsze twierdzenia z teorii procesów stochastycznych + + - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 102 h
Module ECTS credits 4 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 h
Preparation for classes 30 h
Realization of independently performed tasks 10 h
Examination or Final test 2 h
Module content
Lectures (30h):

1. Przestrzeń probabilistyczna, zmienna losowa, jej rozkład. Wielowymiarowe zmienne losowe i ich przykłady (wielowymiarowy rozkład normalny). Rozkłady funkcji jedno- i wielowymiarowych zmiennych losowych. Funkcja charakterystyczna i jej zastosowanie do wyznaczenia rozkładu. Tansformata Laplace’a.

2. Warunkowa wartość oczekiwana: Przypomnienie definicji gdy warunkiem jest zdarzenie, zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym, partycja, sigma-ciało, dowolna zmienna losowa.

3. Warunkowa wartość oczekiwana jako projekcja w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem. Własności warunkowej wartości oczekiwanej.

4. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych i ich rozkładów oraz ich związki. Twierdzenia graniczne (bd.). Twierdzenia o zbieżności dla warunkowych wartości oczekiwanych. Nierówność Jensena.

5. Martyngały w czasie dyskretnym. Definicja procesu stochastycznego w czasie dyskretnym, trajektorie, rozkłady, filtracja generowana przez proces. Proces adaptowany, przewidywalny. Definicja martyngału, submartyngału, supermartyngału. Przykłady.

6. Momenty zatrzymania, proces zastopowany. Twierdzenie o opcjonalnym stopowaniu. Błądzenie przypadkowe, własności momentu pierwszego przejścia przez barierę.

7. Maksymalna nierówność Dooba. Własność liczby przekroczeń. Twierdzenie Dooba o zbieżności supermartyngału. Jednostajnie całkowalne martyngały, zbieżność. Twierdzenie 0-1 Kołmogorowa (bd.).

8. Łańcuchy Markowa. Definicja i przykłady. Klasyfikacja stanów. Twierdzenie graniczne

9. Procesy w czasie ciągłym. Definicja, trajektorie, filtracja, procesy adaptowane. Regularność procesów. Twierdzenie Kołmogorowa o trajektoriach ciągłych (bd.).
Martyngały w czasie ciągłym, nierówności Dooba (bd.). Proces Poissona.

10. Proces Wienera. Skalowane błądzenie przypadkowe. Definicja procesu Wienera. Konstrukcje procesu Wienera przez twierdzenie Kołmogorowa o rozkładach zgodnych oraz z użyciem falek (bd).

11. Własności trajektorii. Wariacja i wariacja kwadratowa procesu Wienera. Twierdzenie Dooba-Meyera (bd.)

12. Całka stochastyczna Ito. Definicja dla funkcji schodkowych w klasie procesów całkowalnych z kwadratem . Aproksymacja procesów procesami schodkowymi.
Własności całki: liniowość, izometria.

13. Definicja procesu Ito. Wzór Ito i jego zastosowania

14. Dowód wzoru Ito dla przypadku Y(t)=f(W(t)).
Ćwiczenia: rozwiązywanie zadań ilustrujących treści kolejnych wykładów.

Auditorium classes (30h):
Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

Rozwiązywanie problemów (głównie związanych z zagadnieniami praktycznymi) ilustrujących treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

W przypadku braku zaliczenia z ćwiczeń w pierwszym terminie, student ma prawo do dwóch zaliczeń poprawkowych, których sposób przeprowadzenia ustala osoba prowadząca ćwiczenia.

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Method of calculating the final grade:
  1. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  2. Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    SW = 1/3 OC + 2/3 OE,
    gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń,
    a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  3. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).
  4. Niewielkie odstępstwa są możliwe w zależności od kompetencji egzaminowanego wykazanej w czasie egzaminu
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Prerequisites and additional requirements:

Studentowi, który nie uzyskał zaliczenia przysługuje tylko jeden termin zaliczenia poprawkowego.
Zaliczenia poprawkowe nie może być ocenione na ocenę wyższą niż 3.0.

Recommended literature and teaching resources:
  1. Z.Brzeźniak, T.Zastawniak, Basic Stochastic Processes, Springer 2000.
  2. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script 2004.
  3. S. Peszat, Procesy stochastyczne (notatki do wykładu w formie pliku pdf).
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

On analytic functions with divergent series of Taylor coefficients / Piotr KOT // Complex Analysis and Operator Theory ; ISSN 1661-8254. — 2018 vol. 12 iss. 5, s. 1237–1249. — Bibliogr. s. 1248–1249, Abstr.. — Publikacja dostępna online od: 2017-10-31. — tekst: https://link-1springer-1com-1nyztljxr10b5.wbg2.bg.agh.edu.pl/content/pdf/10.1007%2Fs11785-017-0742-9.pdf

Additional information:

None