Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Topological and Combinatorial Dynamics
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-2-037-MZ-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
Second-cycle studies
Specialty:
Mathematics in Management
Field of study:
Mathematics
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
prof. dr hab. Oprocha Piotr (oprocha@agh.edu.pl)
Module summary

Seminarium częściowo zapewnia studentowi udział w badaniach.
Seminarium jest wybierane zgodnie z zainteresowaniami, rozszerza wiedzę teoretyczną lub zastosowania, zapoznaje z fachową literaturą.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence: is able to
M_K001 umie ocenić stopień zrozumienia przez siebie problemu i brakujące elementy rozumowania MAT2A_K01, MAT2A_K07, MAT2A_K02 Activity during classes,
Scientific paper,
Participation in a discussion
Skills: he can
M_U001 potrafi ze zrozumieniem przedstawić w mowie i piśmie poznane na wykładzie dowody twierdzeń MAT2A_W02, MAT2A_W04, MAT2A_U13, MAT2A_U02, MAT2A_U03, MAT2A_W05 Activity during classes,
Test
M_U002 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki (analiza, algebra, topologia) w teorii układów dynamicznych MAT2A_U14, MAT2A_U04, MAT2A_W07, MAT2A_U08 Activity during classes,
Project,
Participation in a discussion
M_U003 potrafi samodzielnie przeprowadzić proste dowody wykorzystując poznaną wiedzę z teorii układów dynamicznych MAT2A_K01, MAT2A_W02, MAT2A_K02 Activity during classes,
Scientific paper,
Participation in a discussion
Knowledge: he knows and understands
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia dotyczące topologicznej teorii układów dynamicznych (zbiór graniczny, minimalność, tranzytywność, proksymalność, dystalność, rónociągłość) MAT2A_W02, MAT2A_W04, MAT2A_U13, MAT2A_U02, MAT2A_W05 Activity during classes,
Scientific paper,
Participation in a discussion
M_W002 zna podstawowe definicje chaosu dla dyskretnych układów dynamicznych MAT2A_W06, MAT2A_U15, MAT2A_W07, MAT2A_U08 Activity during classes,
Presentation,
Participation in a discussion
M_W003 zna podstawowe twierdzenia i własności i przykłady niskowymiarowych układów dynamicznych MAT2A_U01, MAT2A_W06, MAT2A_U13, MAT2A_U08, MAT2A_W05 Activity during classes,
Scientific paper,
Participation in a discussion
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
30 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Social competence
M_K001 umie ocenić stopień zrozumienia przez siebie problemu i brakujące elementy rozumowania - - - - - + - - - - -
Skills
M_U001 potrafi ze zrozumieniem przedstawić w mowie i piśmie poznane na wykładzie dowody twierdzeń - - - - - + - - - - -
M_U002 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki (analiza, algebra, topologia) w teorii układów dynamicznych - - - - - + - - - - -
M_U003 potrafi samodzielnie przeprowadzić proste dowody wykorzystując poznaną wiedzę z teorii układów dynamicznych - - - - - + - - - - -
Knowledge
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia dotyczące topologicznej teorii układów dynamicznych (zbiór graniczny, minimalność, tranzytywność, proksymalność, dystalność, rónociągłość) - - - - - + - - - - -
M_W002 zna podstawowe definicje chaosu dla dyskretnych układów dynamicznych - - - - - + - - - - -
M_W003 zna podstawowe twierdzenia i własności i przykłady niskowymiarowych układów dynamicznych - - - - - + - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 60 h
Module ECTS credits 2 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 30 h
Preparation for classes 28 h
Contact hours 2 h
Module content
Seminar classes (30h):
Zajęcia seminaryjne poświęcone są następującym zagadnieniom:

1. Podstawowe definicje: punkt okresowy, rekurencyjny, niewędrujący, łańcuchowo rekurencyjny; zbiór graniczny, układ minimalny.

2. Powracanie w układach dynamicznych i równociagłość.

3. Tranzytywność i mieszanie topologiczne.

4. Podstawowe klasy układów dynamicznych (pełne przesunięcie, odwzorowanie namiotowe, obroty na okręgu, automorfizmy torusa, maszyna dodająca).

5. Proksymalność i dystalność.

6. Śledzenie pseudo-orbit i zbiór punktów łańcuchowo-rekurencyjnych

7. Twierdzenie o rozkładzie spektralnym Bowena.

8. Twierdzenie o rozkładzie spektralnym Smale’a

9. Entropia topologiczna – równoważne definicje.

10. Podkowy topologiczne a entropia.

11. Odwzorowania odcinka: tranzytywnosc, mieszanie, gęste punkty okresowe.

12. Twierdzenie Szarkowskiego.

13. Globalne definicje chaosu: chaos w sensie Devaney’a

14. Lokalne definicje chaosu: chaos w sensie Li i Yorka.

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Seminar classes: Na zajęciach seminaryjnych podstawą jest prezentacja multimedialna oraz ustna prowadzona przez studentów. Kolejnym ważnym elementem kształcenia są odpowiedzi na powstałe pytania, a także dyskusja studentów nad prezentowanymi treściami.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Participation rules in classes:
  • Seminar classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci prezentują na forum grupy temat wskazany przez prowadzącego oraz uczestniczą w dyskusji nad tym tematem. Ocenie podlega zarówno wartość merytoryczna prezentacji, jak i tzw. kompetencje miękkie.
Method of calculating the final grade:

Ocena z referatu i aktywności na zajęciach.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Prerequisites and additional requirements:

Prerequisites and additional requirements not specified

Recommended literature and teaching resources:

1.L. Alseda, J. Llibre, M. Misiurewicz, Combinatorial dynamics and entropy in dimension one, World Scientific, River Edge, NJ, 2000.

2.N. Aoki, K. Hiraide, Topological theory of dynamical systems. Recent advances, North-Holland, Amsterdam, 1994.

3.L. Block, W. Coppel, Dynamics in one dimension, Springer-Verlag, Berlin,1992.

4.P. Kurka, Topological and symbolic dynamics, Soci´et´e Math´ematique de France, Paris, 2003.

5.P. Walters, An introduction to ergodic theory, Springer-Verlag, Berlin, 1982.

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. Bruin, Henk; Oprocha, Piotr; On ’observable’ Li-Yorke tuples for interval maps; Nonlinearity 28, No. 6, 1675-1694 (2015).

2. Boroński, Jan P.; Oprocha, Piotr; On indecomposability in chaotic attractors. Proc. Am. Math. Soc. 143, No. 8, 3659-3670 (2015).

3. Boroński, Jan P.; Oprocha, Piotr; Rotational chaos and strange attractors on the 2-torus; Math. Z. 279, No. 3-4, 689-702 (2015).

4. Foryś, Magdalena; Oprocha, Piotr; Wilczyński, Paweł; Factor maps and invariant distributional chaos; J. Differ. Equations 256, No. 2, 475-502 (2014).

5. Oprocha, Piotr; Ahmadi Dastjerdi, Dawoud; Hosseini, Maryam; On partial shadowing of complete pseudo-orbits; J. Math. Anal. Appl. 411, No. 1, 454-463 (2014).

6. Drwiega, T.; Oprocha, P.; Topologically mixing maps and the pseudoarc; Ukr. Math. J. 66, No. 2, 197-208 (2014) and Ukr. Mat. Zh. 66, No. 2, 176-186 (2014).

7. Kościelniak, Piotr; Mazur, Marcin; Oprocha, Piotr; Pilarczyk, Paweł; Shadowing is generic – a continuous map case; Discrete Contin. Dyn. Syst. 34, No. 9, 3591-3609 (2014).

8. Oprocha, Piotr; Zhang, Guohua; On local aspects of topological weak mixing, sequence entropy and chaos; Ergodic Theory Dyn. Syst. 34, No. 5, 1615-1639 (2014).

9. Harańczyk, Grzegorz; Kwietniak, Dominik; Oprocha, Piotr; Topological structure and entropy of mixing graph maps; Ergodic Theory Dyn. Syst. 34, No. 5, 1587-1614 (2014).

10. Oprocha, Piotr; Transitivity, two-sided limit shadowing property and dense ω-chaos; J. Korean Math. Soc. 51, No. 4, 837-851 (2014).

11. Oprocha, Piotr; Zhang, Guohua; Topological aspects of dynamics of pairs, tuples and sets;
Hart, K. P. (ed.) et al., Recent progress in general topology III. Based on the presentations at the Prague symposium, Prague, Czech Republic, 2001. Amsterdam: Atlantis Press 665-709 (2014).

12. Kulczycki, Marcin; Kwietniak, Dominik; Oprocha, Piotr; On almost specification and average shadowing properties; Fundam. Math. 224, No. 3, 241-278 (2014).

13. Kościelniak, Piotr; Oprocha, Piotr; Tuncali, Murat; Hereditarily indecomposable inverse limits of graphs: shadowing, mixing and exactness; Proc. Am. Math. Soc. 142, No. 2, 681-694 (2014).

Additional information:

None