Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Calculus I
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-1-102-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
First-cycle studies
Specialty:
-
Field of study:
Mathematics
Semester:
1
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Rudol Krzysztof (rudol@agh.edu.pl)
Module summary

Własności zbioru liczb rzeczywistych i zespolonych. Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej. Całka nieoznaczona i oznaczona Riemanna.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence: is able to
M_K001 Wie, że matematyki należy uczyć się ze zrozumieniem, zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia. MAT1A_K01, MAT1A_K02 Oral answer,
Test,
Examination,
Activity during classes
Skills: he can
M_U001 Potrafi obliczać całki nieoznaczone. MAT1A_U14, MAT1A_U13 Oral answer,
Test,
Examination,
Activity during classes
M_U002 Umie liczyć pochodne oraz badać wykresy funkcji jednej zmiennej. MAT1A_U10, MAT1A_U12 Oral answer,
Test,
Examination,
Activity during classes
M_U003 Potrafi obliczać granice ciągów liczbowych oraz badać zbieżność szeregów liczbowych. MAT1A_U11, MAT1A_U10 Oral answer,
Test,
Examination,
Activity during classes
Knowledge: he knows and understands
M_W001 Zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. MAT1A_U01, MAT1A_U10, MAT1A_W04, MAT1A_U12, MAT1A_W07, MAT1A_U09 Oral answer,
Test,
Examination,
Activity during classes
M_W002 Zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) z teorii ciągów i szeregów liczbowych. MAT1A_W05, MAT1A_U08, MAT1A_U01, MAT1A_U10, MAT1A_W04, MAT1A_W02 Oral answer,
Test,
Examination,
Activity during classes
M_W003 Zna podstawowe metody obliczania całki nieoznaczonej. MAT1A_U14, MAT1A_W07 Oral answer,
Test,
Examination,
Activity during classes
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
120 60 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Social competence
M_K001 Wie, że matematyki należy uczyć się ze zrozumieniem, zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia. + + - - - - - - - - -
Skills
M_U001 Potrafi obliczać całki nieoznaczone. + + - - - - - - - - -
M_U002 Umie liczyć pochodne oraz badać wykresy funkcji jednej zmiennej. + + - - - - - - - - -
M_U003 Potrafi obliczać granice ciągów liczbowych oraz badać zbieżność szeregów liczbowych. + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. + + - - - - - - - - -
M_W002 Zna podstawowe pojęcia oraz twierdzenia (wraz z dowodami) z teorii ciągów i szeregów liczbowych. + + - - - - - - - - -
M_W003 Zna podstawowe metody obliczania całki nieoznaczonej. + + - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 287 h
Module ECTS credits 11 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 120 h
Preparation for classes 50 h
Realization of independently performed tasks 110 h
Examination or Final test 2 h
Contact hours 5 h
Module content
Lectures (60h):
  1. Ciało liczb rzeczywistych

    Konstrukcja Dedekinda ciała liczb rzeczywistych (twierdzenie o istnieniu). Twierdzenie o jednoznaczności (bez dowodu).

  2. Twierdzenie Stolza o granicy ciągu.
  3. Uporzdkowanie zbioru liczb rzeczywistych

    Uporządkowanie zbioru liczb rzeczywistych. Ciągłość zbioru liczb rzeczywistych. Kresy zbiorów liczbowych. Rozszerzony układ liczb rzeczywistych.

  4. Funkcje

    Odwzorowania (funkcje) podstawowe określenia. Sposoby określania funkcji. Wykres funkcji. Ważniejsze klasy funkcji. Złożenie funkcji. Pojęcie funkcji odwrotnej. Funkcje cyklometryczne (kołowe).

  5. Ciągi liczbowe

    Ciągi liczbowe. Granica ciągu. Ciągi zbieżne i rozbieżne. Twierdzenie o ograniczoności ciągu zbieżnego. Twierdzenie o arytmetyce granic ciągów. Granice niewłaściwe (nieskończone) ciągu. Symbole nieoznaczone. Przejcie do granicy w równości i w nierówności. Twierdzenie o trzech ciągach.

  6. Podciągi

    Twierdzenie o granicy podciągu. Granica częściowa. Punkty skupienia ciągu. Granice dolna i górna.

  7. Twierdzenie Weierstrassa

    Twierdzenie Weierstrassa o ciągu monotonicznym i ograniczonym. Liczba e.

  8. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

    Zasada Cantora o przedziałach zstępujących. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa o ciągach ograniczonych.

  9. Ciągi Cauchy'ego.

    Własności. Kryterium zbieżności Cauchy’ego.

  10. Ciągi zespolone

    Ciągi zespolone. Granice ciągów zespolonych. Uwagi o przenoszeniu podstawowych pojęć oraz twierdzeń o zbieżności ciągów (tzn. twierdzenie o arytmetyce granic ciągów; ciągi ograniczone; twierdzenie Bolzano-Weierstrassa o ciągach ograniczonych; zasada Cantora o zstępującym ciągu kul (ściągających się do punktu); ciągi Cauchy’ego oraz kryterium zbieżności Cauchy’ego) w przypadku ciągów zespolonych.

  11. Szeregi liczbowe

    Szeregi liczbowe. Sumy częściowe szeregu. Szeregi zbieżne i rozbieżnie. Suma i reszta szeregu. Twierdzenie o zbieżności reszty szeregu. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Ogólne kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregu.

  12. Szeregi nieujemne

    Szeregi o wyrazach nieujemnych. Twierdzenie o porównywaniu szeregów. Kryteria zbieżności Cauchy’ego, d’Alemberta i inne.

  13. Zbieżność bezwzględna i warunkowa

    Zbieżność bezwzględna i zbieżność warunkowa. Twierdzenie o zbieżności szeregów zbieżnych bezwzględnie. Szeregi naprzemienne. Twierdzenie Leibniza o zbieżności szeregu naprzemiennego.

  14. Przekształcenie Abela

    Sumowanie częściowe. Kryteria Abela i Dirichleta.

  15. Przemienność sum nieskńczonych

    Zmiana kolejności sumowania. Prawo przemienności szeregów bezwzględne zbieżnych. Twierdzenie Riemanna o sumie szeregu warunkowo zbieżnego.

  16. Szeregi zespolone

    Szeregi o wyrazach zespolonych. Podstawowe twierdzenia o zbieżności.

  17. Granica funkcji.

    Granice funkcji (definicje). Granice jednostronne. Warunki istnienia granicy funkcji. Twierdzenie o arytmetyce granic funkcji. Twierdzenie o granicy funkcji złożonej. Granica funkcji monotonicznej. Ogólne kryterium Bolzano-Cauchy’ego.

  18. Granice niewłaściwe

    Granice nieskończone i granice w nieskończoności. Klasyfikacja wielkości nieskoczenie małych i nieskoczenie dużych. Symbole Landaua o(), O(). Asymptoty funkcji.

  19. Ciągłość funkcji

    Funkcje ciągłe (definicje). Działania na funkcjach ciągłych. Złożenie funkcji ciągłych. Ciągłość jednostronna. Warunki ciągłości funkcji. Klasyfikacja punktów nieciągłości (rodzaje nieciągłości).

  20. Funkcje monotoniczne

    Ciągłość funkcji monotonicznej. Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej. Twierdzenie Bolzano-Cauchy’ego o zerowaniu się funkcji. Twierdzenie Bolzano-Cauchy’ego o wartości średniej.

  21. Ciągłość jednostajna

    Twierdzenie Weierstrassa o ograniczoności funkcji. Najmniejsza i największa wartość funkcji. Oscylacja funkcji, moduł ciągłości. Pojęcie ciągłości jednostajnej. Twierdzenie Cantora.

  22. Pochodna funkcji

    Pochodne funkcji (definicje). Interpretacja geometryczna pochodnej. Interpretacje fizyczne. Równanie stycznej do wykresu funkcji. Pochodne jednostronne. Warunki istnienia pochodnej.

  23. Różniczkowalność funkcji

    Ciągłość a różniczkowalność funkcji. Różniczka funkcji. Reguły różniczkowania. Niezmienniczość wzoru na różniczkę. Pochodne i różniczki wyższych rzędów.

  24. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego

    Twierdzenie Fermata; twierdzenie Rolle’a; twierdzenie Lagrange’a; twierdzenie Cauchy’ego; twierdzenia de L’Hospitala.

  25. Wielomiany Taylora i Maclaurena

    Wzór Taylora z resztą Peana. Reszta w postaci Lagrange’a i inne. Rozwinięcie Taylora/Maclaurina funkcji elementarnych.

  26. Monotoniczność a różniczkowalność

    Różniczkowy warunek monotoniczności funkcji. Lokalne ekstrema funkcji. Warunki konieczne oraz warunki dostateczne istnienia ekstremum. Ekstrema globalne.

  27. Funkcje wypuke i wklęsłe

    Warunki wypukłości oraz wklęsłości funkcji. Punkty przegięcia. Konstrukcja wykresów funkcji.

  28. Całka nieoznaczona

    Pojęcie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej. Reguły całkowania. Całkowanie przez części. Zamiana zmiennych w całce pojedynczej. Wybrane wzory rekurencyjne.

  29. Podstawowe metody całkowania

    Całkowanie funkcji wymiernych. Całkowanie pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki, funkcje trygonometryczne i inne.

  30. Całka oznaczona Riemanna

    Ciągi normalne podziałów. Sumy całkowe. Przykłady.

Auditorium classes (60h):
Rozwizywanie zadań dotyczcych treści przekazywanych na kolejnych wykadach
Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Terminy zaliczeń poprawkowych odpowiadają terminom cz. pisemnej egzaminu.

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Method of calculating the final grade:
  1. Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny końcowej OK jest otrzymanie pozytywnej oceny z ćwiczeń i z egzaminu.
  2. Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  3. Ocenę końcową wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    SW = 1/3 OC + 2/3 OE,
    gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń, a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  4. Ocena końcowa OK jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW > 4.75, to OK:=5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK:=4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK:=4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK:=3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK:=3.0 (dst).
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu omówienia indywidualnego trybu uzupełnienia zaległości.

Prerequisites and additional requirements:

brak

Recommended literature and teaching resources:
  1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, WNT, 1997.
  2. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1977.
  3. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2. Warszawa, PWN, 2005.
  4. J. Kaczor, M. T. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, t. 1, 2. Warszawa, PWN, 2005.
  5. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1982.
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1) K. Rudol, Extensions of the Foias – Mlak spectral mapping theorem, Univ. Iagell. Acta
Math. (Zeszyty Naukowe UJ) 34, (1997), 101-111.

2) K. Rudol, Some results related to Beurling’s theorem. Univ. Iagell. Acta Math.
(Zeszyty Naukowe UJ) 38 (2000) Fasc. 38, 290-298.

3) K. Rudol, Corona theorem and isometries Opuscula Math.24 (2004).

4) K. Rudol; Spectra of subnormal pairs, Opuscula Math. 27, (2007), 301-304.

5) Z.Ambrozinski, K. Rudol, Matrices defined by frames, Opuscula Math. 29,
(2009), 365-375.

6) K. Rudol, Matrices related to some Fock space operators, Opuscula Math. 31, (2011),
289-296

7) M.Kosiek, K. Rudol, Dual algebras and A-measures, Journal of function spaces.

8) M. Malejki, Asymptotics of the discrete spectrum for complex Jacobi matrices,
Opusc. Math. 34, No. 1, 139-160 (2014).

9) M. Malejki, Approximation and asymptotics of eigenvalues of unbounded self-adjoint Jacobi matrices acting in l^2 by the use of finite submatrices, Cent. Eur. J. Math. 8, No. 1, 114-128 (2010).

10) M. Malejki, Asymptotics of large eigenvalues for some discrete unbounded Jacobi matrices.
Linear Algebra Appl. 431, No. 10, 1952-1970 (2009).

11) Majdak, Witold; Secelean, Nicolae-Adrian; Suciu, Laurian; Ergodic properties of operators in some semi-Hilbertian spaces, Linear Multilinear Algebra 61, No. 2, 139-159 (2013).

12) Majdak, Witold; Stochel, Jan; A local lifting theorem for jointly subnormal families of unbounded operators, Integral Equations Oper. Theory 69, No. 2, 233-246 (2011).

13) Majdak, Witold, A lifting theorem for unbounded quasinormal operators;
J. Math. Anal. Appl. 332, No. 2, 934-946 (2007).

14) Szybowski, Jacek; The Conley index over a phase space for flows, Topol. Methods Nonlinear Anal. 39, No. 2, 311-333 (2012).

15) Szybowski, Jacek; A proof of the continuation property of the Conley index over a phase space,
Topol. Methods Nonlinear Anal. 31, No. 1, 139-149 (2008).

16) Szybowski, Jacek; The external multiplication for the Conley index, Topology Appl. 154, No. 8, 1703-1713 (2007).

Additional information:

W przypadku braku zaliczenia z ćwiczeń w terminie podstawowym (przed rozpoczęciem sesji egzaminacyjnej) student ma dwa zaliczenia poprawkowe w formie pisemnej, które odbędą się w terminie i formie ogłoszonej przez prowadzącego zajęcia.