Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Topology
Course of study:
2019/2020
Code:
AMAT-1-307-s
Faculty of:
Applied Mathematics
Study level:
First-cycle studies
Specialty:
-
Field of study:
Mathematics
Semester:
3
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr Majdak Witold (majdak@agh.edu.pl)
Module summary

Na kursie omówione są podstawowe pojęcia topologiczne i ich własności oraz zastosowania w pokrewnych dziedzinach. W szczególności omówione są przestrzenie metryczne.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Skills: he can
M_U001 Student potrafi omówić własności zbiorów zwartych oraz zbiorów spójnych. W szczególności student potrafi zdefiniować topologię Tichonowa i podać jej zastosowania. MAT1A_U23, MAT1A_U24, MAT1A_U10, MAT1A_U05 Examination,
Activity during classes
M_U002 Student potrafi sklasyfikować rozmaitości różniczkowalne wymiaru 1 i 2. Examination,
Activity during classes
M_U003 Student zna podstawowe pojęcia teorii homotopii i potrafi skonstruować grupę podstawową przestrzeni topologicznej. MAT1A_U23, MAT1A_U24 Examination,
Activity during classes
Knowledge: he knows and understands
M_W001 Student zna definicję, różne sposoby wprowadzania i przykłady topologii, a także podstawowe operacje topologiczne na zbiorach. MAT1A_W04, MAT1A_W02 Examination,
Activity during classes
M_W002 Student zna równoważne definicje ciągłości odwzorowań w przestrzeniach topologicznych oraz umie ocenić, czy dane zbiory są homeomorficzne. Examination,
Activity during classes
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Skills
M_U001 Student potrafi omówić własności zbiorów zwartych oraz zbiorów spójnych. W szczególności student potrafi zdefiniować topologię Tichonowa i podać jej zastosowania. + + - - - - - - - - -
M_U002 Student potrafi sklasyfikować rozmaitości różniczkowalne wymiaru 1 i 2. + + - - - - - - - - -
M_U003 Student zna podstawowe pojęcia teorii homotopii i potrafi skonstruować grupę podstawową przestrzeni topologicznej. + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Student zna definicję, różne sposoby wprowadzania i przykłady topologii, a także podstawowe operacje topologiczne na zbiorach. + + - - - - - - - - -
M_W002 Student zna równoważne definicje ciągłości odwzorowań w przestrzeniach topologicznych oraz umie ocenić, czy dane zbiory są homeomorficzne. + + - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 150 h
Module ECTS credits 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 h
Preparation for classes 31 h
Realization of independently performed tasks 52 h
Examination or Final test 2 h
Contact hours 5 h
Module content
Lectures (30h):

1. Definicje topologii (różne podejścia). Przestrzenie topologiczne. Przykłady (w szczególności: przestrzeń metryczna jako przestrzeń topologiczna). Zbiory otwarte, zbiory domknięte. Domknięcie, wnętrze i brzegu zbioru. Zbiory gęste i brzegowe. Ośrodkowość.

2. Otoczenie. Baza otoczeń punktu. Pełny układ otoczeń. Baza topologii. Aksjomaty przeliczalności. Związek z ośrodkowością.

3. Przekształcenia i funkcje ciągłe. Kryteria ciągłości. Przekształcenia domknięte, otwarte i homeomorfizmy. Podstawowe własności.

4. Porównywanie topologii. Topologie początkowe i końcowe. Podprzestrzeń. Przestrzeń topologiczna ilorazowa. Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych.

5. Aksjomaty oddzielania (w szczególności: przestrzenie Hausdorffa, regularne oraz normalne). Przykłady. Lemat Uryshona. Twierdzenie Tietzego o przedłużaniu funkcji (bez dowodu).

6. Zbieżność w przestrzeni topologicznej. Ciągi uogólnione i filtry. Przestrzenie ciągowe i przestrzenie typu Frecheta.

7. Przestrzenie zwarte. Zwartość a domkniętość. Normalność przestrzeni zwartych. Zbiory przeliczalnie zwarte i ciągowo zwarte. Twierdzenie Tichonowa.

8. Przekształcenia i funkcje ciągłe na przestrzeniach zwartych. Twierdzenia typu Weierstrassa. Przestrzenie przekształceń ciągłych. Przestrzenie lokalnie zwarte. Uzwarcenie Aleksandrowa (informacyjnie).

9. Przestrzenie metryzowalne. Zwartość w przestrzeniach metrycznych. Twierdzenie Hausdorffa.

10.Przestrzenie funkcyjne. Rodziny funkcji wspólnie ograniczone i równociągłe. Twierdzenie Arzeli-Ascoliego. Zastosowania.

11. Przestrzenie spójne. Operacje na przestrzeniach spójnych. Obraz zbioru spójnego przez przekształcenie ciągłe. Różne rodzaje spójności. Przykłady.

12. Homotopie. Homotopijna równoważność funkcji. Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej.

13. Rozmaitość różniczkowalna. Klasyfikacja rozmaitości różniczkowalnych wymiaru 1 i 2.

14. Grafy. Topologia grafów. Twierdzenie Kuratowskiego o grafach.

Auditorium classes (30h):
Program ćwiczeń odpowiada wykładom.
Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Method of calculating the final grade:

Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest uzyskanie pozytywnej oceny zaliczenia ćwiczeń.

  1. Ocena końcowe OK jest oceną z egzaminu OE.
  2. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli OE ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > OE ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > OE ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > OE ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > OE ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Prerequisites and additional requirements:

Wiedza z zakresu wstępu do logiki i teorii mnogości, analizy matematycznej oraz teorii równań różniczkowych na poziomie absolwenta studiów matematycznych I-go stopnia.

Recommended literature and teaching resources:
  1. R. Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1976.
  2. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 1980.
  3. N. Bourbaki, Topologie générale, Paris 1953.
  4. J.L. Kelley, General topology, Springer – Verlag New York Berlin Heidelberg 1955.
  5. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1996.
Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1) Witold Majdak, Mostafa Mbekhta, Laurian Suciu, Operators intertwining with isometries and Brownian parts of 2-isometries, Linear Algebra and its Applications 509 (2016), 168–190.

2) Witold Majdak, Jerzy B. Stochel, Weighted shifts on directed semi-trees: an application to creation operators on Segal-Bargmann spaces, Complex Anal. Oper. Theory 10 (2016), 1427–1452.

3) Witold Majdak, Nicolae-Adrian Secelean, Laurian Suciu, Ergodic properties of operators in some semi-Hilbertian spaces, Linear Multilinear Algebra 61, No. 2, 139-159 (2013).

4) Witold Majdak, Jan Stochel, A local lifting theorem for jointly subnormal families of unbounded operators, Integral Equations Oper. Theory 69, No. 2, 233-246 (2011).

5) Witold Majdak, A lifting theorem for unbounded quasinormal operators. (English) Zbl 1123.47011
J. Math. Anal. Appl. 332, No. 2, 934-946 (2007).

4) Szybowski, Jacek; The Conley index over a phase space for flows, Topol. Methods Nonlinear Anal. 39, No. 2, 311-333 (2012).

5) Szybowski, Jacek; A proof of the continuation property of the Conley index over a phase space,
Topol. Methods Nonlinear Anal. 31, No. 1, 139-149 (2008).

6) Szybowski, Jacek; The external multiplication for the Conley index, Topology Appl. 154, No. 8, 1703-1713 (2007).

Additional information:

None