Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Monte Carlo methods and stochastic simulations – theoretical and implementation aspects
Course of study:
2019/2020
Code:
ZSDA-3-0248-s
Faculty of:
Szkoła Doktorska AGH
Study level:
Third-cycle studies
Specialty:
-
Field of study:
Szkoła Doktorska AGH
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
English
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Przybyłowicz Paweł (pprzybyl@agh.edu.pl)
Dyscypliny:
matematyka
Module summary

In recent years dynamical systems, describing many models in mathematics, physics and finances, become more and more complex. Numerical analysis narrowed only to deterministic algorithms seems to be insufficient for such systems. Therefore, we can observe increasing popularity of Monte Carlo algorithms. We present main ideas of Monte Carlo methods, its theoretical properties and theirs application to option pricing.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence: is able to
M_K001 potrafi pracować zespołowo; rozumie konieczność systematycznej pracy nad wszelkimi projektami, które mają długofalowy charakter SDA3A_K01, SDA3A_K03, SDA3A_K02 Project,
Activity during classes
M_K002 rozumie i docenia znaczenie uczciwości intelektualnej w działaniach własnych i innych osób; postępuje etycznie SDA3A_K03, SDA3A_K02 Project,
Activity during classes
M_K003 potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, także w języku obcym SDA3A_K02 Project,
Activity during classes
Skills: he can
M_U001 rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów, procesów obliczeniowych oraz związanych z nimi problemów SDA3A_U02, SDA3A_U01, SDA3A_U04 Project,
Activity during classes
M_U002 zna podstawowe rozkłady probabilistyczne i ich własności; potrafi je stosować w zagadnieniach praktycznych, potrafi stosować metody Monte Carlo oraz procesy stochastyczne jako narzędzie do modelowania zjawisk i analizy ich ewolucji SDA3A_U07, SDA3A_U06, SDA3A_U01 Project,
Activity during classes
M_U003 potrafi implementować znane algorytmu lub też konstruować nowe o porządanych własnościach numerycznych, służące do rozwiązywania typowych i nietypowych problemów matematycznych SDA3A_U07, SDA3A_U06, SDA3A_U04, SDA3A_U03 Project,
Activity during classes
Knowledge: he knows and understands
M_W001 zna zaawansowane techniki obliczeniowe, wspomagające pracę matematyka i rozumie ich ograniczenia, zna podstawy modelowania stochastycznego w matematyce finansowej i aktuarialnej lub w naukach przyrodniczych, w szczególności fizyce, chemii lub biologi SDA3A_W02 Activity during classes,
Project
M_W002 zna metody numeryczne stosowane do znajdowania przybliżonych rozwiązań zagadnień matematycznych (na przykład równań różniczkowych) stawianych przez dziedziny stosowane (np. technologie przemysłowe, zarządzanie itp.) SDA3A_W03, SDA3A_W01 Project,
Activity during classes
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Social competence
M_K001 potrafi pracować zespołowo; rozumie konieczność systematycznej pracy nad wszelkimi projektami, które mają długofalowy charakter + - - - - - - - - - -
M_K002 rozumie i docenia znaczenie uczciwości intelektualnej w działaniach własnych i innych osób; postępuje etycznie + - - - - - - - - - -
M_K003 potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, także w języku obcym + - - - - - - - - - -
Skills
M_U001 rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów, procesów obliczeniowych oraz związanych z nimi problemów + - - - - - - - - - -
M_U002 zna podstawowe rozkłady probabilistyczne i ich własności; potrafi je stosować w zagadnieniach praktycznych, potrafi stosować metody Monte Carlo oraz procesy stochastyczne jako narzędzie do modelowania zjawisk i analizy ich ewolucji + - - - - - - - - - -
M_U003 potrafi implementować znane algorytmu lub też konstruować nowe o porządanych własnościach numerycznych, służące do rozwiązywania typowych i nietypowych problemów matematycznych + - - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 zna zaawansowane techniki obliczeniowe, wspomagające pracę matematyka i rozumie ich ograniczenia, zna podstawy modelowania stochastycznego w matematyce finansowej i aktuarialnej lub w naukach przyrodniczych, w szczególności fizyce, chemii lub biologi + - - - - - - - - - -
M_W002 zna metody numeryczne stosowane do znajdowania przybliżonych rozwiązań zagadnień matematycznych (na przykład równań różniczkowych) stawianych przez dziedziny stosowane (np. technologie przemysłowe, zarządzanie itp.) + - - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 75 h
Module ECTS credits 4 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 30 h
Preparation for classes 15 h
przygotowanie projektu, prezentacji, pracy pisemnej, sprawozdania 30 h
Module content
Lectures (30h):

1. Basic definitions and theorems from probability. Main ideas of Monte Carlo methods and stochastic simulation. Empirical variance and confidence intervals.

2. Introduction to programming in Python language. Random numbers generation in Python.

3. Monte Carlo methods for integration, curse of dimensionality for deterministic qubatures.

4. Randomized algorithms (Euler and Runge-Kutta) for approximation of solution of deterministic ordinary differential equations.

5. Basic definitions and theorems from theory of stochastic processes, definitions of Wiener, homogeneous Poisson processes, compound Poisson process. Brownian bridge construction.

6. Basic properties of stochastic integral driven by Wiener and Poisson processes. Ito formula and definition of solution of stochastic differential equation in the jump-diffusion case (SDE).

7. Main properties of solutions of SDEs in the Gaussian case and jump-diffusion case (existence and uniqueness of strong solution, mean square regularity and boundedness of solution).

8. Euler and Milstein algorithms for strong approximation of solutions of SDEs. Their mean square error. Purely Gaussian and jump-diffusion cases.

9. General information about Ito-Taylor schemes of higher order (Wagner-Platen scheme, multiple Ito integrals, problems with implementation).

10. Randomized methods for strong approximation of solutions of SDEs.

11. Issues of optimality in the context of Information-Based Complexity.

12. Monte Carlo methods for weak approximation of SDEs, Feynman–Kac formula. Application to option pricing (Black-Scholes model, Merton and Kou jump-diffusion models).

We will also present exemplary implementation of chosen algorithms in Python programming language.

In addition, students will work on a larger individual project that combines theoretical knowledge, gained during lectures, with programming skills.

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Lectures and exemplary implementation of algorithms in Python programming language.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

The final grade is equal to the grade obtained for the individual project.

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Presence is obligatory, 2 unjustified absences allowed.
Method of calculating the final grade:

The final grade is equal to the grade obtained for the individual project.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

In the case of absence the students are obligated to prepare the material for the next classes on their own.

Prerequisites and additional requirements:

Basic knowledge of ordinary differential equations, numerical analysis and probability theory.

Recommended literature and teaching resources:

1. Kloeden, P.E., Platen, E., Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1992.
2. Janicki, A., Izydorczyk, A., Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym. in Polish, WNT Warszawa, 2001.
3. Kloeden, P.E., Platen, E., Schurz, H., Numerical Solution of SDE Through Computer Experiments, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1994.
4. Karatzas, I., Shreve, S.E. Brownian Motion and Stochastic Calculus. 2nd Edition, Springer-Verlag, New York, 1998.
5. S. Asmussen, P. W. Glynn, Stochastic Simulation – Algorithms and Analysis, Springer Science, 2007.
6. P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer Science, 2004.
7. J.F. Traub, G.W. Wasilkowski, H. Woźniakowski, Information—Based Complexity, Academic Press, New York, 1988.

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. Przybyłowicz P. (2009), „Linear Information for Approximation of the Itô Integrals”, Numerical Algorithms 52, 677-699,

2. Przybyłowicz P. (2010), „Adaptive Itô-Taylor algorithm can optimally approximate the Itô integrals of singular functions” , Journal of Computational and Applied Mathematics 235, 203-217,

3. Przybyłowicz P. (2013), „Optimal sampling design for approximation of stochastic Itô integrals with application to the nonlinear Lebesgue integration”, Journal of Computational and Applied Mathematics 245, 10-29,

4. Przybyłowicz P. (2014), „Optimality of Euler-type algorithms for approximation of stochastic -differential equations with discontinuous coefficients”, International Journal of Computer Mathematics 91, 1461-1479

5. Przybyłowicz P., Morkisz P. (2014), „Strong approximation of solutions of stochastic differential equations with the time-irregular coefficients via randomized Euler algorithm”, Applied Numerical Mathematics 78, 80-94,

6. Przybyłowicz P. (2015), „Minimal asymptotic error for one-point approximation of SDEs with time-irregular coefficients”, Journal of Computational and Applied Mathematics 282, 98-110

7. Przybyłowicz P. (2015), „Global approximation with minimal asymptotic error of SDEs with time-irregular coefficients ” , Applied Mathematics and Computation 270, 441-457

8. Przybyłowicz P. (2016), „Optimal global approximation of stochastic differential equations with additive Poisson noise”, Numerical Algorithms 73, 323-348

9. Dębowski J., Przybyłowicz P. (2016), „Optimal approximation of stochastic integrals with respect to a homogeneous Poisson process”, Mediterranean Journal of Mathematics 13, 3713-3727

10. Morkisz P. M., Przybyłowicz P. (2017), „Optimal pointwise approximation of SDE’s from inexact information”, Journal of Computational and Applied Mathematics 324, 85-100

11. Kałuża A., Przybyłowicz P. (2018), „Optimal global approximation of jump-diffusion SDEs via path-independent step-size control”, Applied Numerical Mathematics 128, 24-42

12. Przybyłowicz P. (2019), „Optimal sampling design for global approximation of jump diffusion stochastic differential equations”, Stochastics 91, 235-264

13. Przybyłowicz P. (2019), “Efficient approximate solution of jump-diffusion SDEs via path-dependent adaptive step-size control”, Journal of Computational and Applied Mathematics 350, 396-411

14. Kałuża A., Morkisz P. M., Przybyłowicz P. (2019), „Optimal approximation of stochastic integrals in analytic noise model”, Applied Mathematics and Computation 356, 74-91

Additional information:

None