Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Properties of solutions of certain families of nonlinear evolutionary models
Course of study:
2019/2020
Code:
ZSDA-3-0249-s
Faculty of:
Szkoła Doktorska AGH
Study level:
Third-cycle studies
Specialty:
-
Field of study:
Szkoła Doktorska AGH
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polski i Angielski
Form and type of study:
Full-time studies
Responsible teacher:
dr hab. Vladimirov Vsevolod (vladimir@mat.agh.edu.pl)
Dyscypliny:
matematyka, nauki fizyczne
Module summary

Modele nieliniowe zjawisk transportu. Modele propagacji fali w ośrodkach nieliniowych oraz nielokalnych. Badania pewnych reprezentacyjnych klas rozwiązań za pomocą metod symetrii oraz analizy jakościowej. Wykorzystanie narzędzi analitycznych i jakościowych do znalezienia typowych rozwiązań dla pewnych klas nieliniowych równań falowych. Badania stabilności określonych typów rozwiązań zlokalizowanych ważnych z punktu widzenia zastosowań.

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Social competence: is able to
M_K001 Umie stosować teorię wymiarów i podobieństwa oraz narzędzia analizy jakościowej do poszukiwania rozwiązań o zadanych własnościach, spełniających równania ewolucyjne. Uświadamia rolę uproszczonych modeli przy badaniu złożonych zjawisk nieliniowych. SDA3A_K01, SDA3A_W03, SDA3A_W01, SDA3A_U02, SDA3A_U01 Examination,
Activity during classes
Skills: he can
M_U001 Zna podstawy teorii wymiarów i podobieństwa. Wie co to są zagadnienia samopodobne. Rozumie rolę zagadnień samopodobnych w nieliniowych modelach ewolucyjnych. Rozumie rolę zasady maksimum w teorii równań parabolicznych SDA3A_K01, SDA3A_W03, SDA3A_W01, SDA3A_U03, SDA3A_U02, SDA3A_U01, SDA3A_U04 Oral answer,
Test
M_U002 Student posiada wiedzę na temat istnienia i warunków powstania klasycznych (solitony, kinki, fale knoidalne i t. p.) oraz uogólnionych (kompaktony, peakony, fale uderzeniowe i t. p.) rozwiązań falowych, charakterystycznych dla nieliniowych równań ewolucyjnych. Zna on różne definicje stabilności rozwiązań typu fali biegnącej i uświadamia rolę rozwiązań stabilnych w opisie zjawisk nieliniowych SDA3A_U03, SDA3A_U02, SDA3A_U01 Examination,
Activity during classes
Knowledge: he knows and understands
M_W001 Student umie stosować teorię wymiarów i podobieństwa oraz narzędzia analizy jakościowej do poszukiwania fizycznie treściwych rozwiązań nieliniowych równań ewolucyjnych. Wie jak wykorzystuje się zasada maksimum w nieliniowych problemach parabolicznych SDA3A_W03, SDA3A_W02, SDA3A_W01
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Social competence
M_K001 Umie stosować teorię wymiarów i podobieństwa oraz narzędzia analizy jakościowej do poszukiwania rozwiązań o zadanych własnościach, spełniających równania ewolucyjne. Uświadamia rolę uproszczonych modeli przy badaniu złożonych zjawisk nieliniowych. - - - - - - - - - - -
Skills
M_U001 Zna podstawy teorii wymiarów i podobieństwa. Wie co to są zagadnienia samopodobne. Rozumie rolę zagadnień samopodobnych w nieliniowych modelach ewolucyjnych. Rozumie rolę zasady maksimum w teorii równań parabolicznych + + - - - - - - - - -
M_U002 Student posiada wiedzę na temat istnienia i warunków powstania klasycznych (solitony, kinki, fale knoidalne i t. p.) oraz uogólnionych (kompaktony, peakony, fale uderzeniowe i t. p.) rozwiązań falowych, charakterystycznych dla nieliniowych równań ewolucyjnych. Zna on różne definicje stabilności rozwiązań typu fali biegnącej i uświadamia rolę rozwiązań stabilnych w opisie zjawisk nieliniowych + + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Student umie stosować teorię wymiarów i podobieństwa oraz narzędzia analizy jakościowej do poszukiwania fizycznie treściwych rozwiązań nieliniowych równań ewolucyjnych. Wie jak wykorzystuje się zasada maksimum w nieliniowych problemach parabolicznych + + - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 152 h
Module ECTS credits 4 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 h
Preparation for classes 30 h
Realization of independently performed tasks 60 h
Examination or Final test 2 h
Module content
Lectures (30h):
Właściwości rozwiązań pewnych rodzin modeli ewolucyjnych

1. Teoria wymiarów i podobieństwa. Twierdzenie Pi Buckinghama. Przykłady zastosowań w klasycznej teorii wymiarów.

2. Równania transportu. Postać zlinearyzowana: ogólne rozwiązanie zagadnienia początkowego.

3. Rozwiązania samopodobne równań transportu: wybuch cieplny; efekt lokalizacji energii; rozwiązania typu blow-up.

4. Zasada maksimum i twierdzenia porównawcze. Rola rozwiązań samopodobnych.

5. Podstawowe równania dynamiki cieczy i gazu: układ Eulera oraz układ Naviera-Stokesa

6. Submodele: (a) równanie falowe i jego rozwiązanie ogólne. Liniowa zasada superpozycji; (b) równanie Hopfa. Tworzenie się fal uderzeniowych; © równanie Burgersa. Rozwiązanie typu fali biegnącej.

7. Zupełna całkowalność równania Burgersa. Związek z równaniem Hopfa oraz z równaniem transportu.

8. Zagadnienie Fermiego-Pasty-Ulama oraz wyprowadzenie równania Kortevega-de Vriesa (KdV). Rozwiązania typu fali biegnącej. Solitony i ich własności.

9. Metoda Hiroty. Rozwiązania wielosolitonowe równania KdV. Nieliniowa zasada superpozycji.

10. Uogólnienia równania KdV. Modele posiadające rozwiązania zlokalizowane (kinki, peakony, kaspony, kompaktony).

11. Postać wariacyjna równań typu KdV. Stabilność rozwiązań typu fali biegnącej.

12. Stabilność spektralna rozwiązań typu fali biegnącej. Oscylacyjne twierdzenie Sturma.

13. Niestabilność rozwiązań solitonowych równań typu konwekcji-reakcji-dyfuzji.

14. Kryteria stabilności rozwiązań typu kinków równań konwekcji-reakcji-dyfuzji.

Auditorium classes (30h):
Właściwości rozwiązań pewnych rodzin rozwiązań modeli ewolucyjnych

Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

Rozwiązywanie problemów (głównie związanych z zagadnieniami praktycznymi) ilustrujących treści przekazywanych na kolejnych wykładach

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:
Zaliczenie ćwiczeń odbywa się na podstawie aktywności pod czas zajęć oraz oceny z kolokwium. Zaliczenia poprawkowe odbywają się w formie pisemnej. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Method of calculating the final grade:

Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
SW = 1/3 OC + 2/3 OE,
gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń,
a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).
Niewielkie odstępstwa są możliwe w zależności od kompetencji egzaminowanego wykazanej w czasie egzaminu.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student wyrównuje zaległości powstałe wskutek nieobecności na zajęciach samodzielnie, korzystając, w razie konieczności, z pomocy prowadzącego ćwiczenia pod czas konsultacji.

Prerequisites and additional requirements:

Znajomość rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych. Znajomość podstaw algebry oraz rachunku macierzy. Umiejętność rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych.

Dodatkowa wiedza (opcjonalnie): elementarna znajomość teorii równań różniczkowych cząstkowych lub równań fizyki matematycznej; znajomość analizy jakościowej dwuwymiarowych układów dynamicznych.

Recommended literature and teaching resources:

1. G. Barenblatt, Similarity, Self-Similarity and Intermediate Asymptotics, Cambridge Univ. Press, 1985.
2. A. Samarskii, A. Mikhailov, Principles of Mathematical Modelling: Ideas, Methods, Examples, Taylor & Francis, 2002.
3. A. Scott, Nonlinear Science, Oxford Univ. Press, 2003.
4. V. Vladimirov, Nieliniowe Modele Zjawisk Transportu, Kraków, 2014 (http://wms.mat.agh.edu.pl/~vladimir/frame.htm)

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. Likus, W.; Vladimirov, V.A. Solitary waves in the model of active media, taking into account effects of relaxation; Rep. Math. Phys. 75, No. 2, 213-230 (2015).

2. Danylenko, V.A.; Danevich, T.B.; Makarenko, O.S.; Moskaliuk, V.S.; Skurativskiy, S.I.; Vladimirov, V.A.
Exact solutions and wave patterns within some non-local hydrodynamic-type models;
Algebras Groups Geom. 31, No. 4, 407-477 (2014).

3. Danylenko, V.A.; Danevich, T.B.; Makarenko, O.S.; Moskaliuk, S.S.jun.; Skurativskiy, S.I.; Vladimirov, V.A.
Group analysis of reaction-diffusion-convection of nonlinear equations;
Algebras Groups Geom. 30, No. 3, 275-365 (2013).

4. Danylenko, V.A.; Danevich, T.B.; Makarenko, O.S.; Moskaliuk, N.M.; Skurativskiy, S.I.; Vladimirov, V.A.
Algebra-invariant models for nonlinear nonlocal media;
Algebras Groups Geom. 29, No. 3, 309-376 (2012).

5. Vladimirov, V.A.; Ma̧czka, Cz.; On the stability of kink-like and soliton-like solutions of the generalized convection-reaction-diffusion equation; Rep. Math. Phys. 70, No. 3, 313-329 (2012).

6. Vladimirov, V.A.; Kutafina, E.V.; Zorychta, B., On the non-local hydrodynamic-type system and its soliton-like solutions; J. Phys. A, Math. Theor. 45, No. 8, Article ID 085210, 12 p. (2012).

7. VLADIMIROV V. A., KUTAFINA E. V. and PUDEŁKO A., Constructing Soliton and Kink Solutions
of PDE Models in Transport and Biology, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications Vol. 2 (2006), Paper 061, 15 pages.

8.W. Rzeszut, O. Tertyshnyk, V. Tychynin, V. VLADIMIROV, Linearizability and nonlocal superposition for nonlinear transport equation with memory / Reports on Mathematical Physics ; ISSN 0034-4877. — 2013 vol. 72 no. 2, s. 235–252.

9. Vladimirov, V.A.; Ma̧czka, Cz., On the stability of kink-like and soliton-like solutions of the generalized convection-reaction-diffusion equation // Reports on Mathematical Physics ; ISSN 0034-4877. — 2012 vol. 70 no. 3, s. 313–329.

10. Vladimirov, V.A.; Ma̧czka, Cz., On the stability of some exact solutions to the generalized convection-reaction-diffusion equation // Chaos, Solitons & Fractals ; ISSN 0960-0779. — 2011 vol. 44 iss. 9, pp. 677–684.

11. Vladimirov, V.A., Ma̧czka, Cz., Sergyeyev A., Skurativskyi S., Stability and dynamical features of solitary wave solutions for a hydrodynamic-type system taking into account nonlocal effects // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation ; ISSN 1007-5704. — 2014 vol. 19 iss. 6, pp. 1770–1782.

12. Sergyeyev A., Skurativskyi S., Vladimirov, V.A., Compacton solutions and (non)integrability of nonlinear evolutionary PDEs associated with a chain of prestressed granules // Nonlinear Analysis : real world applications ; ISSN 1468-1218. — 2019 vol. 47, pp. 68–84.

13. Vladimirov V. A., Compacton-like solutions of the hydrodynamic system describing relaxing media, Reports on Mathematical Physics, vol. 61 (2007), pp.381-400.

14. Vladimirov V. A., Skurativskyi S., On the spectral stability of soliton-like solutions to a
non-local hydrodynamic-type model, arXiv:1807.08494v2 [nlin PS] (the paper is published in Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation (2019),
DOI:10.1016/j.cnsns.2019.104998).

Additional information:

Literatura dodatkowa

1. A. Samarskii, V. Galaktionov, S. Kurdiumov, A. Mikhailov, Blow-up Regimes in Quasiliniear Parabolic Equations, Academic Press, London, 1994.

2. R. Dodd, J. Ejlbeck, J. Gibbon, H. Morris, Solitons and Nonlinear Wave Equations, Academic Press, London, 1985.

3. D. Dubin, Numerical and Analytical Methods for Scientists and Engineers Using Mathematica, Wiley, New Jersey, 2003.

4. A. Tichonov, A. Samarskii, Równania Fizyki Matematycznej, PWN, Warszawa, 1963.