Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Applications of classical and generalized symmetries for constructing solutions of nonlinear mathematical physics differential equations
Course of study:
2019/2020
Code:
ZSDA-3-0251-s
Faculty of:
Szkoła Doktorska AGH
Study level:
Third-cycle studies
Specialty:
-
Field of study:
Szkoła Doktorska AGH
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polski i Angielski
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Tsyfra Iwan (tsyfra@agh.edu.pl)
Dyscypliny:
matematyka, nauki fizyczne
Module summary

Doktoranci zdobywają wiedzę o zastosowaniu teorii symetrii do równań różniczkowych

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Skills: he can
M_U001 Potrafi znałeżć generator infinitezymalny grupy Liego przekształceń punktowych SDA3A_U01, SDA3A_U03 Examination,
Activity during classes
M_U002 Rozumie w jaki sposób symetria uogólniona może być wykorzystana dla konsrukcji rozwiązań równań różniczkowych SDA3A_U01, SDA3A_U03 Examination,
Activity during classes
Knowledge: he knows and understands
M_W001 Rozumie znaczenie terminu grupa symetrii równania różniczkowego oraz rozwiązania niezmienniczego SDA3A_W02, SDA3A_W01 Examination,
Activity during classes
M_W002 Zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii grupowej równań różniczkowych SDA3A_W03, SDA3A_W02 Examination,
Activity during classes
M_W003 Zna metodę redukcji równań cząstkowych za pomocą operatorów symetrii uogólnionej SDA3A_W03 Examination,
Activity during classes
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Skills
M_U001 Potrafi znałeżć generator infinitezymalny grupy Liego przekształceń punktowych - + - - - - - - - - -
M_U002 Rozumie w jaki sposób symetria uogólniona może być wykorzystana dla konsrukcji rozwiązań równań różniczkowych - + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 Rozumie znaczenie terminu grupa symetrii równania różniczkowego oraz rozwiązania niezmienniczego + - - - - - - - - - -
M_W002 Zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii grupowej równań różniczkowych + - - - - - - - - - -
M_W003 Zna metodę redukcji równań cząstkowych za pomocą operatorów symetrii uogólnionej + - - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 116 h
Module ECTS credits 4 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 h
Preparation for classes 30 h
Realization of independently performed tasks 24 h
Examination or Final test 2 h
Module content
Lectures (30h):
Zastosowanie klasycznej i uogólnionej symetrii do konstrukcji rozwiązań nieliniowych równań różniczkowych fizyki matematycznej

1. Lokalne grupy Liego transformacji. Przekształcenia infinitezymalne.Pierwsze fundamentalne twierdzenie Liego. Układ równań Liego.
2. Niezmienniki grupy Liego i rozmaitości niezmiennicze. Kryterium infinitezymalne niezmienniczości rozmaitości.
3. Teoria przedłużenia pól wektorowych na przestrzeń żetów. Niezmienniczość równań różniczkowych cząstkowych względem przekształceń punktowych. Kryterium Liego niezmienniczości równań różniczkowych cząstkowych. Równania określające. Algebra Liego.
4. Grupy niezmienniczości i rozwiązania niezmiennicze liniowych i nieliniowych równań Fizyki Matematycznej. Grupowa metoda konstrukcji fundamentalnego rozwiązania równania przewodnictwa ciepła.
5. Uogólnienie klasycznej niezmienniczości Liego równań różniczkowych. Niezmienniczość warunkowa. Kryterium infinitezymalne niezmienniczości warunkowej równań różniczkowych.
6. Warunkowo niezmiennicze rozwiązania nieliniowego równania fałowego,
równania Fishera oraz innych równań ewolucyjnych.
7. Przekształcenia styczne skończonego rzędu. Niezmienniczość równań różniczkowych cząstkowych względem grup przekształceń Liego-Backlunda. Niezmienniczość liniowych równań różniczkowych zwyczajnych i nieliniowe rozdzielenie zmiennych w równaniach cząstkowych. Grupowa redukcja zagadnienia Cauchego dla nieliniowego równania ewolucyjnego cząstkowego do zagadnienia Cauchego dla układu równań różniczkowych zwyczajnych.
8. Nieskończenie wymiarowa algebra Liego i całkowalność nieliniowych równań Fizyki
Matematycznej. Operatory rekursji, prawa zachowania, Pary Laksa.Przykłady równań Liouville’a, Burgersa, Kortewega-de Vriesa, Kadomtseva-Petwiaszwili’ego, Nizhnyka-Novikova-Veselova.

Auditorium classes (30h):
Zastosowanie klasycznej i uogólnionej symetrii do konstrukcji rozwiązań nieliniowych równań różniczkowych fizyki matematycznej

Zajęcia ćwiczeniowe

Ilustracja tematów prezentowanych podczas wykładów. Dyskusja i rozwiązywane problemów ilustrujących treści przekazywane na wykładach.

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie klasycznego wykładu tablicowego
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych doktoranci na tablicy rozwiązują konkretne problemy i przykłady
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest aktywność na zajęciach, dopuszczalne są trzy nieobecności (na wykładach / ćwiczeniach).

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Nie określono
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Nie określono
Method of calculating the final grade:

Ocena końcowa zależeć będzie przede wszystkim od oceny egzaminu i aktywności na zajęciach, zarówno na wykładach jak i ćwiczeniach,

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Zapoznanie się z materiałem dotyczącym tematu omawianego na zajęciach, na których student był nieobecny.

Prerequisites and additional requirements:

Podstawowa wiedza z zakresu analizy matematycznej i równań różniczkowych zwyczajnych

Recommended literature and teaching resources:

1. Olver P. Applications of Lie groups to differential equations, N.Y., Springer-Verlag, 1986
2. Andersen R.L., Ibragimov N. H. Lie – Backlund transformations in applications, SIAM, Philadelphia, 1979.
3. Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and differential equations. N.Y., Springer-Verlag, 1989

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. Fushchich W.I., Tsifra I.M. on a reduction and solutions of nonlinear wave equations with broken symmetry, J. Phys. A: Math. Gen. 1987, v.20, no. 2, L45-L48
2. Zhdanov R.Z., Tsyfra I.M. Reduction of differential equations and conditional symmetry, Ukraїn. Math. Zh., 1996, v.48, no. 5, 595-602, translation in Ukrainian Math. J. 1997, v.48, no. 5, 661-670
3. Zhdanov R.Z., Tsyfra I.M. and Popovych R.O.A precise definition of reduction of partial differential equations, J. Math. Anal. Appl. 1999, v.238, 101—123
4.Tsyfra I., Messina A., Napoli A., Tretynyk V., On new ways of group methods for reduction of evolution-type equations, J. Math. Anal. Appl. 2005, v.307, no. 2, 724-735
5.Tsyfra I., Czyzycki T., Nonpoint symmetry and reduction of nonlinear evolution and wave type equations, Abstr. Appl. Anal. 2015, Art. ID181275, p.1-6

Additional information:

None