Module also offered within study programmes:
General information:
Name:
Elements of differential topology
Course of study:
2019/2020
Code:
ZSDA-3-0257-s
Faculty of:
Szkoła Doktorska AGH
Study level:
Third-cycle studies
Specialty:
-
Field of study:
Szkoła Doktorska AGH
Semester:
0
Profile of education:
Academic (A)
Lecture language:
Polish
Form and type of study:
Full-time studies
Course homepage:
 
Responsible teacher:
dr hab. Płachta Leonid (lplachta@wms.mat.agh.edu.pl)
Dyscypliny:
informatyka, matematyka, nauki fizyczne
Module summary

wykład prezentuje podstawowe pojęcia i twierdzenia z topologii różniczkowej w nowoczesnym ujęciu które są pomocnicze i mogą być zastosowane w topologii geometrycznej, układach dynamicznych i innych dziedzinach matematyki

Description of learning outcomes for module
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Connections with FLO Method of learning outcomes verification (form of completion)
Skills: he can
M_U001 Potrafi obliczyć proste przykłady na temat odwzorowań gładkich rozmaitości, stopnia odwzorowania, osobliwości pola wektorowego i grup Liego SDA3A_U01 Activity during classes
M_U002 potrafi samodzielnie przeprowadzić dowody podstawowych twierdzeń topologii różniczkowej i wykorzystując poznaną wiedzę w innych dziedzinach matematyki SDA3A_U02, SDA3A_U01 Activity during classes
Knowledge: he knows and understands
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia topologii różniczkowej (rozmaitość gładka, przykłady rozmaitości gładkich, odwzorowanie gładkie rozmaitości, rozmaitość i wiązka styczna, zanurzenie rozmaitości, topologia w przestrzeni gładkich odwzorowań rozmaitości, twierdzenie Sarda, twierdzenie Whitney’a, pole wektorowe, funkcja Morse’a, singularność pola wektorowego, jednoparametryczna rodzina dyfeomorfizmów, stopień odwzorowania, otoczenie tubularne) SDA3A_W01 Examination,
Activity during classes
M_W002 Posiada wiedzę na temat struktury różniczkowej na rozmaitościach i teorii Morse'a, Zna przykłady zastosowania topologii różniczkowej w innych dziedzinach matematyki czystej i stosowanej SDA3A_W02, SDA3A_W01 Examination,
Activity during classes
M_W003 Rozumie znaczenie metod topologii algebraicznej, ogólnej i analizy matematycznej w badaniu gładkich rozmaitości i gładkich odwzorowań między nimi SDA3A_W03, SDA3A_W01 Examination,
Activity during classes
Number of hours for each form of classes:
Sum (hours)
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FLO matrix in relation to forms of classes
MLO code Student after module completion has the knowledge/ knows how to/is able to Form of classes
Lecture
Audit. classes
Lab. classes
Project classes
Conv. seminar
Seminar classes
Pract. classes
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Skills
M_U001 Potrafi obliczyć proste przykłady na temat odwzorowań gładkich rozmaitości, stopnia odwzorowania, osobliwości pola wektorowego i grup Liego - + - - - - - - - - -
M_U002 potrafi samodzielnie przeprowadzić dowody podstawowych twierdzeń topologii różniczkowej i wykorzystując poznaną wiedzę w innych dziedzinach matematyki - + - - - - - - - - -
Knowledge
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia topologii różniczkowej (rozmaitość gładka, przykłady rozmaitości gładkich, odwzorowanie gładkie rozmaitości, rozmaitość i wiązka styczna, zanurzenie rozmaitości, topologia w przestrzeni gładkich odwzorowań rozmaitości, twierdzenie Sarda, twierdzenie Whitney’a, pole wektorowe, funkcja Morse’a, singularność pola wektorowego, jednoparametryczna rodzina dyfeomorfizmów, stopień odwzorowania, otoczenie tubularne) + - - - - - - - - - -
M_W002 Posiada wiedzę na temat struktury różniczkowej na rozmaitościach i teorii Morse'a, Zna przykłady zastosowania topologii różniczkowej w innych dziedzinach matematyki czystej i stosowanej + - - - - - - - - - -
M_W003 Rozumie znaczenie metod topologii algebraicznej, ogólnej i analizy matematycznej w badaniu gładkich rozmaitości i gładkich odwzorowań między nimi + - - - - - - - - - -
Student workload (ECTS credits balance)
Student activity form Student workload
Summary student workload 152 h
Module ECTS credits 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 h
Preparation for classes 30 h
Realization of independently performed tasks 30 h
Examination or Final test 2 h
Contact hours 30 h
Module content
Lectures (30h):

1. Мару, atłasy. Gładkie rоzmаitоśсi, lokalne wsрółrzędnе. Рrzуkłаdу.

2. Gładkie оdwzоrоwaniа, punkty regularne odwzorowań. Арrоksуmасjе odwzorowań.

3. Wiązka styczna, struktura różniczkowa na przestrzeniach stycznych,
odwzoгowania gładkie ргzеstгzеni stycznych.

4. Orientacja gładkiej гоzmаitоśсi.

5. Twierdzenie Whitney’a o włożeniu rozmaitości gładkich w przestrzenie Euklidesowe.

6. Submersje, immersje i włożenia гоzmаitоśсi gładkich.

7.Trаnswеrsаlność.

8. Twierdzenie Вrаuеrа о punkcie stałуm.

9. Тwiеrdzеniе Sarda.

10. Gładkie funkcje nа rоzmаitоśсiасh. Punkty krytyczne funkcji.

11. Stopień odwzorowania гоzmаitоśсi gładkich orientowalnych,
jego zastоsоwаnia.

12. Funkcje Morse’a na rozmaitościach gładkich i ich zastosowania. Lemat Morse’a.

13. Pola wektorowe nа gładkich гоzmaitоśсiасh, singularności.

14. Indeks punktu kгytycznego pola wektorowego. Тwiеrdzeniе Poincare-Hopfa

15.Rоdzinа jеdnораrаmеtгусznа dуfеоmоrfizmów. Gładkie potoki na rоzmаitоśсiасh.

16. Przestrzenie topologiczne gładkich odwzorowań rozmaitości.

17. Klasyczne grupy Liego

Auditorium classes (30h):

ĆWICZENIA AUDYTORYJNE
Rozwiązywanie problemów (głównie teoretycznych) dotyczących treści przekazywanych na kolejnych wykładach. Rozwiązywanie zadań dotyczących materiału teoretycznego podanego ne wykładach.

Additional information
Teaching methods and techniques:
  • Lectures: treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie klasycznego wykładu tablicowego
  • Auditorium classes: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie zaliczenia z ćwiczeń

Participation rules in classes:
  • Lectures:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Nie określono
  • Auditorium classes:
    – Attendance is mandatory: Yes
    – Participation rules in classes: Nie określono
Method of calculating the final grade:

Ocena końcowa (OK) jest średnią ważoną ocen z egzaminu (E) i zaliczenia ćwiczeń audytoryjnych (A):
OK = 2/3 x E + 1/3 x A.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Opracowanie materiału wykładu (ćwiczenia) samodzielnie

Prerequisites and additional requirements:

Wiedza podstawowych pojęć i twierdzeń w zakresie kursów: 1) algebra , 2) analiza matematyczna, 3)
topologia ogólna+ Topologia II

Recommended literature and teaching resources:

1. Anant R. Shastri, Elements of differential topology, CRC Press, 2011.

2. Th.Broecker & K.Jaenich, Introduction to differential topology, Cambridge
University Press, 2007.

3. Milnor Jоhn, Topology frоm diffеrеntiаl роint of view, Ргinсеtоn Univеrsitу press,
Рrinсеtоn, 1965.

4. Morris W. Hirsch, Differential Topology (Graduate Texts in Mathematics), Springer-Verlag, 1997.

5. C.Munkres, J.R., Elementary differential topology, Ann. Math.Studies, Princeton
University Press, 1966.

Scientific publications of module course instructors related to the topic of the module:

1. L.Plachta, The combinatorics of gradient-like flows and foliations on closed surfaces:
I.Topological classification, Topology Appl., 2003, vol. 128, Nu.1, 63-91.
2. L.Plachta, Chord diagrams in the classification of Morse-Smale flows
on two-manifolds, in Knot Theory, Banach Center Publications,
vol. 42, PAN, Warszawa, 1998, P.255-273.

Additional information:

None