Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Analiza matematyczna 2
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
IETP-1-201-s
Wydział:
Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji
Poziom studiów:
Studia I stopnia
Specjalność:
-
Kierunek:
Elektronika i Telekomunikacja
Semestr:
2
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr Figura Bogdan (figura@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Transformata Laplace’a, ciągi i szeregi funkcyjne, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji wielu zmiennych, wstęp do równań różniczkowych.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Ma wiedzę z teorii całek niewłaściwych ETP1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W002 Zna zastosowania całek oznaczonych ETP1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W003 Ma wiedzę z teorii szeregów liczbowych; wie jak stosować kryteria zbieżności szeregów ETP1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W004 Ma wiedzę z teorii szeregów funkcyjnych ETP1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W005 Ma wiedzę z teorii szeregów potęgowych; wie jak znajdować sumy szeregów potęgowych; wie jak rozwijać funkcje w szeregi Taylora ETP1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W006 Ma wiedzę z teorii szeregów Fouriera; wie jak rozwijać funkcje w szeregi Fouriera ETP1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W007 Ma wiedzę z rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych; wie jak znajdować ekstrema lokalne takich funkcji ETP1A_K01 Egzamin,
Kolokwium
M_W008 Ma wiedzę z rachunku całkowego funkcji wielu zmiennych; zna zastosowanie całek wielokrotnych ETP1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
M_W009 Ma wiedzę z teorii równań różniczkowych ETP1A_W01 Egzamin,
Kolokwium
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 Ma świadomość kultury matematycznej; podejmuje starania, aby przekazywać zdobytą wiedzę w sposób powszechnie zrozumiały ETP1A_K05 Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
90 45 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Ma wiedzę z teorii całek niewłaściwych + + - - - - - - - - -
M_W002 Zna zastosowania całek oznaczonych + + - - - - - - - - -
M_W003 Ma wiedzę z teorii szeregów liczbowych; wie jak stosować kryteria zbieżności szeregów + + - - - - - - - - -
M_W004 Ma wiedzę z teorii szeregów funkcyjnych + + - - - - - - - - -
M_W005 Ma wiedzę z teorii szeregów potęgowych; wie jak znajdować sumy szeregów potęgowych; wie jak rozwijać funkcje w szeregi Taylora + + - - - - - - - - -
M_W006 Ma wiedzę z teorii szeregów Fouriera; wie jak rozwijać funkcje w szeregi Fouriera + + - - - - - - - - -
M_W007 Ma wiedzę z rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych; wie jak znajdować ekstrema lokalne takich funkcji + + - - - - - - - - -
M_W008 Ma wiedzę z rachunku całkowego funkcji wielu zmiennych; zna zastosowanie całek wielokrotnych + + - - - - - - - - -
M_W009 Ma wiedzę z teorii równań różniczkowych + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Ma świadomość kultury matematycznej; podejmuje starania, aby przekazywać zdobytą wiedzę w sposób powszechnie zrozumiały - + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 167 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 90 godz
Przygotowanie do zajęć 30 godz
przygotowanie projektu, prezentacji, pracy pisemnej, sprawozdania 10 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 30 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (45h):
  1. Transformata Laplace'a
  2. Szeregi liczbowe.

    Definicja – zbieżność i rozbieżność szeregu.
    Zbieżność bezwzględna i zbieżność warunkowa – zmiana kolejności sumowania.
    Warunek konieczny zbieżności szeregu.
    Zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych:
    – kryterium porównawcze;
    – kryterium ilorazowe;
    – kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego;
    – kryterium całkowe.
    Zbieżność warunkowa szeregów:
    – kryterium Leibniza;
    – kryterium Dirichleta;
    – kryterium Abela.

  3. Ciągi i szeregi funkcyjne.

    Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu funkcyjnego.
    Zbieżność punktowa, jednostajna i bezwzględna szeregu funkcyjnego – kryterium Weierstrassa.
    Ciągłość, różniczkowalność i całkowalność funkcji granicznych ciągów i sum szeregów funkcyjnych.
    Funkcji ciągła, nieróżniczkowalna – szkic przykładu van der Waerdena.

  4. Szeregi potęgowe

    Lemat Abela – promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego.
    Tw. Cauchy’ego-Hadamarda i tw. d’Alemberta.
    Różniczkowanie i całkowanie szeregu potęgowego – zbieżnośc niemal jednostajna.
    Szeregi Taylora i Maclaurina podstawowych funkcji.

  5. Szeregi trygonometryczne.

    Tw. Eulera-Fouriera – postać zespolona szeregu trygonometrycznego.
    Warunki Dirichleta zbieżności szeregu trygonometrycznego.
    Rózniczkowanie i całkowanie szeregu trygonometrycznego.
    Zbieżność jednostajan i “z kwadratem” szeregów trygonometrycznych – twierdzenie Fejera..
    Nierównośc Bessela i tożsamość Parsevala.
    Rozwijanie funkcji w szereg sinusów i w szereg cosinusów.

  6. Funkcje wielu zmiennych rzeczywistych.

    Wstęp topologiczny:
    – zbiory otwarte, domknięte, ograniczone, zwarte i spójne w R^n.
    – otoczenie i sąsiedztwo punktu w R^n.
    – granica ciągu punktów w R^n.
    Granica funkcji wielu zmiennych – granice iterowane.
    Funkcje ciągłe, własności funkcji ciągłych (tw. Weierstrassa, tw. Darboux, tw. o zachowaniu znaku).

  7. Różniczkowalnośc funkcji wielu zmiennych.

    Pochodna cząstkowa, pochodna kierunkowa – interpretacja geometryczna.
    Różniczka zupełna i jej interpretacja geometryczna.
    Związki różniczki zupełnej z pochodnymi kierunkowymi i cząstkowymi.
    Własności różniczki zupełnej – macierzowy zapis różniczki.
    – gradient funkcji.
    – różniczka funkcji złożonych – macierz Jacobiego
    – różniczkowanie funkcji wektorowych.
    Pochodne cząstkowe wyższych rzędów – twierdzenie. Schwarza.
    Różniczka rzędu drugiego i jej macierzowy zapis

  8. Zastosowania rachunku różniczkowego wielu zmiennych.

    Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych.
    Wypukłość funkcji wielu zmiennych.
    Ekstrema funkcji wielu zmiennych.
    Funkcje uwikłane jednej zmiennej.

  9. Całki wielokrotne.

    Całka podwójna i potrójna:
    – całka Riemanna w przedziale w R^n. – interpretacja geometryczna;
    – własności całki podwójnej i potrójnej – całka w obszarach normalnym i regularnym;
    – twierdzenie o zamiani całki na całkę iterowaną;
    – zamiana zmiennych w całce wielokrotnej – twierdzenie Sarda.
    Przykłady zastosowania całek wielokrotnych w geometrii, fizyce i inżynierii.

  10. Całki krzywoliniowe.

    Łuki gładkie i krzywe Jordana.
    Całki krzywoliniowe niezorientowane.
    – własności całek krzywoliniowych niezorientowanych
    – twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej niezorientowanej na całką Riemanna.
    Całki krzywoliniowe zorientowane.
    – krzywe zorientowane;
    – własności całek krzywoliniowych zorientowanych;
    – twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej zorientowanej na całką Riemanna.

  11. Elementy teorii potencjału.

    wierdzenie Greena.
    Całki niezależne od drogi całkowania.
    Potencjał pola wektorowego, dywergencji i wir pola wektorowego.
    Twierdzenie Helmholtza o rozkładzie pola wektorowego.

  12. Wstęp do teorii równań różniczkowych.

    Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych zwyczajnych.
    Formalna definicja równania różniczkowego i jego rozwiązania – interpretacja geometryczna.
    Twierdzenie Picarda o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowego zwyczajnych – zagadnienie początkowe.
    Klasyfikacja równań.
    Przykłady równań i ich rozwiązań – równania o zmiennych rozdzielonych, równania liniowe jednorodne.

  13. Równania różniczkowe liniowe rzędu 1.

    Równania różniczkowe liniowe jednorodne.
    Równania różniczkowe liniowe niejednorodne – metoda współczynników nieoznaczonych, metoda uzmienniana stałej.
    Równanie Bernoulliego.
    Równnia różniczkowe liniowe drugiego rzędu – równania sprowadzalne do równań rzędu pierwszego;
    Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego jednorodne:
    - układ fundamentalny rozwiązań;
    - wrońskian, a liniowa niezależność rozwiązań.
    Metoda uzmienniania stałych.

Ćwiczenia audytoryjne (45h):

ĆWICZENIA
1. Całki oznaczone i ich zastosowania (7 godz.)
2. Szeregi liczbowe (4 godz.)
3. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów funkcyjnych (2 godz.)
4. Znajdowanie obszarów zbieżności i sum szeregów potęgowych (4 godz.)
5. Rozwijanie funkcji w szereg Taylora (2 godz.)
6. Rozwijanie funkcji w szeregi pełne Fouriera, sinusów i cosinusów (4 godz.)
7. 1. kolokwium (2 godz.)
8. Granice funkcji wielu zmiennych (2 godz.)
9. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych i jego zastosowania (6 godz.)
10. Całki wielokrotne (6 godz.)
11. Rozwiązywanie równań różniczkowych (4 godz.)
12. 2. kolokwium (2 godz.)

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Nie
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:
  1. Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny końcowej OK jest otrzymanie pozytywnej oceny z egzaminu. Przy czym warunkiem dopuszczenia do zdawania egzaminu jest uzyskanie pozytywnej oceny z ćwiczeń.
  2. Jeżeli student nie uzyskał pozytywnej oceny z ćwiczeń w terminie podstawowym, to dwukrotnie może ubiegać się o uzyskanie pozytywnej oceny w terminie poprawkowym.
  3. Punktu 2. nie stosuje się w przypadków studentów, którzy nie uzyskali zaliczenia ćwiczeń z powodu nieobecności na ćwiczeniach.
  4. W przypadku trzech lub większej ilości opuszczonych zajęć z ćwiczeń student uzyskuje ocenę nzal. i traci prawo do ubiegania się o ocenę w terminie poprawkowym.
  5. Pierwszy termin zaliczenia ćwiczeń w trybie poprawkowym powinien się odbyć przed terminem pierwszego egzaminu poprawkowego. Drugi termin zaliczenia poprawkowego powinien się odbyć przed terminem drugiego egzaminu poprawkowego.
  6. Ocena końcowa OK jest ustalana na podstawie średniej ważonej wyznaczanej według wzoru
    .
             SW = 0,4 SOC+0,6 SOE ,
    .
    gdzie SOC jest średnią arytmetyczną ocen uzyskanych we wszystkich terminach zaliczeń z ćwiczeń, a SOE jest średnią arytmetyczną ocen uzyskanych we wszystkich terminach egzaminacyjnych do których student przystępował.
    – Jeżeli student nie przystąpił do żadnego terminu egzaminacyjnego, to należy przyjąć SOE = 0.
    – Jeżeli student we wszystkich terminach egzaminacyjnych otrzymał ocenę 2,0, to należy przyjąć SW = 2,0.
  7. Ocena końcowa OK jest obliczana według zależności:
    Jeżeli SW > 4,75, to wówczas OK = 5,0 (bdb);
    Jeżeli 4,75 ≥ SW > 4,25, to OK = 4,5 (+db);
    Jeżeli 4,25 ≥ SW > 3,75, to OK = 4.0 (db);
    Jeżeli 3,75 ≥ SW > 3,25, to OK = 3,5 (dst);
    Jeżeli 3,25 ≥ SW >2,00, to OK = 3,0 (dst);
    Jeżeli 2,00 ≥ SW, to OK = nzal..
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Wiedza z przedmiotów: Analiza matematyczna 1 i Algebra

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. G. Decewicz, W. Żakowski, Matematyka cz. 1, WNT, Warszawa, 2018
  2. W. Żakowski, W. Kołodziej, Matematyka cz. 2, WNT, Warszawa, 2015
  3. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2016
  4. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2016
  5. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa, 2015
  6. W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, PWN, Warszawa, 2001
  7. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa, 2018
  8. B.P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Książka Naukowa, Lublin 1993
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

Nie podano dodatkowych publikacji

Informacje dodatkowe:

Brak