Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Metody Numeryczne dla Równań Różniczkowych Zwyczajnych ()
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-035-MF-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka finansowa
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
0
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr hab. Przybyłowicz Paweł (pprzybyl@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Modele matematyczne i ich własności numeryczne kilku zagadnień technicznych i fizycznych, algorytmy ich rozwiązania i przeprowadzenia symulacji komputerowych tych zagadnień.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Zna metody numeryczne stosowane do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych MAT2A_W11, MAT2A_W10 Aktywność na zajęciach,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W002 Zna przykłady modeli matematycznych kilku zagadnień technicznych i fizycznych, algorytmy ich rozwiązania i przeprowadzenia symulacji komputerowych tych zagadnień MAT2A_W07 Aktywność na zajęciach,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W003 Zna matematyczne podstawy teorii algorytmów i konstrukcji schematów rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych MAT2A_W11, MAT2A_W06 Aktywność na zajęciach,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 Potrafi konstruować schematy różnicowe rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych MAT2A_U20 Aktywność na zajęciach,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 Rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów, metod i procesów obliczeniowych MAT2A_U19 Aktywność na zajęciach,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U003 Swobodnie posługuje się narzędziami analizy w tym elementami analizy zespolonej, rachunku różniczkowego i całkowego, orientuje się w klasycznych metodach rozwiązywania równań różniczkowych MAT2A_U06, MAT2A_U05 Aktywność na zajęciach,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 Potrafi precyzyjnie formułować pytania, zna ograniczenia własnej wiedzy, potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, Internecie także w językach obcych MAT2A_K01, MAT2A_K06, MAT2A_K02 Aktywność na zajęciach,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Zna metody numeryczne stosowane do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych + + - - - - - - - - -
M_W002 Zna przykłady modeli matematycznych kilku zagadnień technicznych i fizycznych, algorytmy ich rozwiązania i przeprowadzenia symulacji komputerowych tych zagadnień + + - - - - - - - - -
M_W003 Zna matematyczne podstawy teorii algorytmów i konstrukcji schematów rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Potrafi konstruować schematy różnicowe rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych + + - - - - - - - - -
M_U002 Rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów, metod i procesów obliczeniowych + + - - - - - - - - -
M_U003 Swobodnie posługuje się narzędziami analizy w tym elementami analizy zespolonej, rachunku różniczkowego i całkowego, orientuje się w klasycznych metodach rozwiązywania równań różniczkowych + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Potrafi precyzyjnie formułować pytania, zna ograniczenia własnej wiedzy, potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, Internecie także w językach obcych + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 109 godz
Punkty ECTS za moduł 4 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 42 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):
  1. Podstawowe definicje i twierdzenia z teorii równań różniczkowych zwyczajnych

    Definicje i twierdzenia przydatne w dalszej części wykładu: istnienie, jednoznaczność i ciągła zależność rozwiązań. Analityczne rozwiązywanie wybranych typów równań, w tym układów równań liniowych i równań wyższych rzędów. Punkty stacjonarne i ich stabilność.

  2. Zasady konstruowania schematów różnicowych

    Metody Taylora. Ogólna postać schematu Rungego-Kutty, Wyprowadzenie metody typu jawnego. Macierz Butchera.

  3. Rząd metody jednokrokowej

    Rząd metody jednokrokowej, błąd lokalny i jego oszacowanie. Twierdzenie o zgodności schematu. Zbieżność schematu jednokrokowego – definicja zbieżności i dwa twierdzenia o zbieżności.

  4. Pojęcie zero-stabilności schematu jednokrokowego

    Twierdzenie o zero-stabilności i zgodności schematu. Absolutna stabilność, przykłady wyznaczania obszarów absolutnej stabilności schematu.

  5. Definicja równania różnicowego i jego rozwiązania

    Bazy rozwiązań równania jednorodnego, funkcja generująca oraz metoda przewidywania dla równania niejednorodnego.

  6. Schematy wielokrokowe

    Definicja i przykłady schematów wielokrokowych, wyznaczanie współczynników dla tych metod. Wyznaczanie rzędu. Definicja stabilności i twierdzenie o stabilności schematu wielokrokowego.

  7. Rząd schematu wielokrokowego

    Twierdzenie o rzędzie liniowego schematu wielokrokowego – (pierwsza bariera stabilności Dalquista).

  8. Twierdzenie o zbieżności schematu wielokrokowego

    Pojęcie własności root condition i twierdzenie o zbieżności schematu wielokrokowego. Twierdzenie o współczynnikach schematu symetrycznego.

  9. Zbieżności liniowego schematu wielokrokowego

    Dowód twierdzenia o zbieżności liniowego schematu wielokrokowego. Pojęcie sztywności problemu różniczkowego.

  10. Sztywność układu równań różniczkowych

    Przykłady, wskaźnik sztywności, schematy A-stabilne. Analiza stabilności schematu BDF (metody różnic wstecznych). Szkic dowodu twierdzenia o stabilności schematu BDF.

  11. Stabilności metody różnicowej

    Twierdzenie o stabilności metody różnicowej dla problemu brzegowego.

  12. Metoda wariacyjna Ritza-Rayleigha

    Metoda wariacyjna Ritza-Rayleigha, konstrukcja baz przestrzeni rozwiązań.

  13. Metody zmiennokrokowe

    Ogólne metody zmiennokrokowe, zasady konstrukcji i przykłady zastosowań tych metod.

  14. Metody strzału i różnicowa dla problemu brzegowego
Ćwiczenia audytoryjne (30h):
Program ćwiczeń jest zgodny z programem wykładów

Rozwiązywanie zadań ilustrujący treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:

ocena z zaliczenia

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, WNT 1999.
  2. J.C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, Wiley 2003.
  3. C.H. Edwards, D.E. Penney, Differential equations and linear algebra, Prentice Hall 2001
  4. D. Dubin, Numerical and analytical methods for scientists and engineers using Mathematica, Wiley 2003.
  5. E. Hairer, S. Norsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I, Springer, 2000
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Kacewicz B., Przybyłowicz P. (2008) „Optimal adaptive solution of initial-value problems with unknown singularities” , Journal of Complexity 24, 455–476.

2. Kacewicz B., Przybyłowicz P. (2014), „Optimal solution of a class of non-autonomous initial-value problems with unknown singularities”, Journal of Computational and Applied Mathematics 261, 364-377,

3. Kacewicz B., Przybyłowicz P. (2014), „Optimal adaptive solution of piecewise regular systems of IVPs with unknown switching hypersurface”, Applied Mathematics and Computation 228, 116-127

4. Kacewicz B., Przybyłowicz P. (2015), „Complexity of the derivative-free solution of systems of IVPs with unknown singularity hypersurface”, Journal of Complexity 31, 75-97

Informacje dodatkowe:

Brak