Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Analiza Funkcjonalna
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-201-MF-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka finansowa
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
2
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr hab. Rudol Krzysztof (rudol@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Podstawowy kurs analizy funkcjonalnej.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Ma pogłębioną wiedzę w wybranej dziedzinie matematyki teoretycznej lub stosowanej MAT2A_W03, MAT2A_U01, MAT2A_W01 Egzamin
M_W002 zna powiązania zagadnień wybranej dziedziny z innymi działami matematyki teoretycznej i stosowanej MAT2A_U04, MAT2A_W07 Aktywność na zajęciach
Umiejętności: potrafi
M_U001 posługuje się językiem oraz metodami analizy funkcjonalnej w zagadnieniach analizy matematycznej i jej zastosowaniach, w szczególności wykorzystuje własności klasycznych przestrzeni Banacha i Hilberta MAT2A_K02, MAT2A_U09 Egzamin
M_U002 umie, na poziomie zaawansowanym i obejmującym matematykę współczesną, stosować oraz przedstawiać w mowie i na piśmie, metody co najmniej jednej wybranej gałęzi matematyki: analizy matematycznej i analizy funkcjonalnej, teorii równań różniczkowych... MAT2A_U13, MAT2A_K06 Egzamin
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Ma pogłębioną wiedzę w wybranej dziedzinie matematyki teoretycznej lub stosowanej + - - - - - - - - - -
M_W002 zna powiązania zagadnień wybranej dziedziny z innymi działami matematyki teoretycznej i stosowanej + - - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 posługuje się językiem oraz metodami analizy funkcjonalnej w zagadnieniach analizy matematycznej i jej zastosowaniach, w szczególności wykorzystuje własności klasycznych przestrzeni Banacha i Hilberta + - - - - - - - - - -
M_U002 umie, na poziomie zaawansowanym i obejmującym matematykę współczesną, stosować oraz przedstawiać w mowie i na piśmie, metody co najmniej jednej wybranej gałęzi matematyki: analizy matematycznej i analizy funkcjonalnej, teorii równań różniczkowych... + - - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 100 godz
Punkty ECTS za moduł 4 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 30 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 63 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):
  1. Przykłady przestrzeni unormowanych

    Przestrzeń euklidesowa, przestrzenie ciągów: c, c_0, m, L_p, przestrzenie funkcji ciągłych, całkowalnych, przestrzenie Lebesgue’a (Lp), przestrzenie Sobolewa.

  2. Topologia przestrzeni unormowanej

    Zbieżność w konkretnych przestrzeniach. Zbiory gęste. Ośrodkowość.

  3. Przestrzenie Banacha

    Podstawowe operacje na przestrzeniach Banacha: przestrzenie ilorazowe, sumy proste. Podprzestrzenie.

  4. Ciągły funkcjonał liniowe , ich przedłużenie

    Twierdzenie Hahna-Banacha, najważniejsze wnioski.

  5. Przestrzenie sprzężone

    Przykłady. Przestrzenie refleksywne. Topologie: słaba i *-słaba.

  6. Operatory liniowe w przestrzeniach unormowanych

    Ograniczoność a ciągłość. Przestrzeń operatorów ograniczonych w przestrzeniach Banacha. Operator sprzężony.

  7. Zbieżność ciągów operatorów

    Rodzaje zbieżności ciągów operatorów jednostajna, silna oraz słaba. Twierdzenie Banacha-Steinhausa.

  8. Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym

    Twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym oraz o wykresie domkniętym, o odwzorowaniu odwrotnym.

  9. Widmo i rezolwenta operatora liniowego

    Rezolwenta operatora liniowego. Widmo operatora. Klasyfikacja widma. Przykłady.

  10. Operatory zwarte

    Podstawowe własności. Widmo operatora zwartego.

  11. Przestrzenie Hilberta

    Przykłady przestrzeni Hilberta. Ortogonalność. Rzut na podprzestrzeń.

  12. Układy ortonormalne

    Szeregi Fouriera. Nierówność Bessla. Baza przestrzeni Hilberta. Tożsamość Parsevala. Zagadnienie najlepszej aproksymacji. Twierdzenie Riesza-Fischera.

  13. Operatory liniowe w przestrzeni Hilberta

    Formy dwuliniowe a operatory. Operatory samosprzężone. Twierdzenie o widmie operatora samosprzężonego. Operatory unitarne.

  14. Operatory dodatnie

    Pierwiastek kwadratowy z operatora dodatniego. Rozkład spektralny operatora samosprzężonego. Twierdzenie spektralne dla operatorów samosprzężonych (bez dowodu).

  15. Operatory gęsto określone

    Operator domknięty i domykalny, rdzeń operatora, przykłady, związek z mechaniką kwantową. Różnica pomiędzy pojęciami: symetrii i samosprzężoności. Ogólne twierdzenie spektralne (bez dowodu).

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

-

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
Sposób obliczania oceny końcowej:
  1. Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie oceny uzyskanej podczas egzaminu.średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    OK = OE,
    gdzie OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  2. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > OE ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SE ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SE ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SE ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Kurs analizy matematycznej obejmujący teorię miary i całki Lebesgue’a. Elementy algebry liniiowej i topologii ogólnej.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 1969.
  2. S. G. Krein (red.), Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 1967.
  3. L. A. Lusternik, W. I. Sobolew, Elementy analizy funkcjonalnej, Warszawa, PWN, 1999.
  4. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, Warszawa, PWN, 1989.
  5. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 2002. # S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, Warszawa, PWN, 2007.
  6. K. Rudol, Zbiór zadań z analizy funkcjonalnej, Cz.I, UWND AGH, Kraków 2008.
  7. K. Rudol, M. Malejki, Analiza funkcjonalna: Kurs podstawowy, Wydawnictwa AGH.
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

- (W.Mikołajczyk, K.Rudol) Matrices of operators on some function spaces,
Current Trends in Analysis and Its Applications, Proc. of the 9th ISAAC
Congress, Kraków 2013, V.V. Mityushev, M.V. Ruzhansky, Eds., Birkhauser, (2015), 689-694.

- (K. Rudol) Matrices related to some Fock space operators, Opuscula Math. 31, (2011), 289-296.

- (M.Kosiek, K.Rudol) Dual algebras and A-measures, Journal of function spaces, 01/2014; 1-8.

- (K. Rudol) Corona theorem and isometries, Opuscula Math. 24 (2004),123-131.

- (K. Rudol) Spectra of subnormal pairs, Opuscula Math. 27, (2007), 301-304.

- (Z.Ambroziński, K.Rudol) Matrices defined by frames,Opuscula Math. 29 (2009), 365-375.

- K. Rudol, Zbiór zadań z analizy funkcjonalnej, Cz.I_, UWND AGH, Kraków 2008.

Informacje dodatkowe:

Brak