Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Model Blacka-Scholesa
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-203-MF-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka finansowa
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
2
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
prof. dr hab. Capiński Marek (capinski@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Wzór Ito – zastosowanie do wyceny opcji w specjalnym przypadku (Markowa). Inne
zastosowania wzoru Ito. Równanie stochastyczne Blacka-Scholesa, istnienie i jednoznaczność,

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Zna podstawowe modele cen instrumentów rynkowych oparte na analizie stochastycznej, ich własności oraz spoby wykorzystania MAT2A_W09 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 potrafi poprawnie sformułować zadanie stochastycznej wyceny opcji MAT2A_U09 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 Potrafi dowodzić twierdzeń z analizy stochastycznej oraz stosować je do wyceny instrumentów finansowych MAT2A_U13, MAT2A_U15, MAT2A_U11, MAT2A_U14 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 Umie formułować pytania prowadzące do analizy rozmaitych wariantów teorii MAT2A_K02 Aktywność na zajęciach,
Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
90 60 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Zna podstawowe modele cen instrumentów rynkowych oparte na analizie stochastycznej, ich własności oraz spoby wykorzystania + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 potrafi poprawnie sformułować zadanie stochastycznej wyceny opcji + + - - - - - - - - -
M_U002 Potrafi dowodzić twierdzeń z analizy stochastycznej oraz stosować je do wyceny instrumentów finansowych + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Umie formułować pytania prowadzące do analizy rozmaitych wariantów teorii + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 200 godz
Punkty ECTS za moduł 8 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 90 godz
Przygotowanie do zajęć 31 godz
przygotowanie projektu, prezentacji, pracy pisemnej, sprawozdania 40 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 32 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (60h):

1. Całka stochastyczna jako proces. Własność martyngałowa.

2. Definicja wariacji i wariacji kwadratowej. Twierdzenie Dooba-Meyera o istnieniu kompensatora dla submartyngałów (bd.). Twierdzenie o postaci kompensatora. Wariacja kwadratowa procesu Wienera, całki stochastycznej, procesu Ito. Jednoznaczność reprezentacji Ito.

3. Riemannowska aproksymacja całki stochastycznej. Wzór Ito dla funkcji ograniczonej procesu Ito. Problem z funkcją nieograniczoną.

4. Lokalizacja. Rozszerzenie definicji całki stochastycznej. Istnienie całki stochastycznej jako procesu. Twierdzenie o lokalizacji.

5. Lokalne martyngały, własności.

6. Wzór Ito w wersji ogólnej. Zastosowanie do wyceny opcji w specjalnym przypadku (Markowa). Wyprowadzenie równania cząstkowego Blacka-Scholesa.

7. Inne zastosowania wzoru Ito – eksponencjalny martyngał, wzór Feynmana-Kaca, całkowanie przez części, różniczka iloczynu.

8. Równanie stochastyczne Blacka-Scholesa, istnienie i jednoznaczność, wycena opcji

9. Stochastyczne równania różniczkowe. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności. Równanie liniowe, wzór na rozwiązanie.

10. Twierdzenia: o reprezentacji, Levy’ego, Girsanowa. Wniosek: zmiana dryfu w stochastycznym równaniu różniczkowym.

11. Model Blacka-Scholesa: walory, strategie. Istnienie miary martyngałowej.

12. Zupełność modelu Blacka-Scholesa.

13. Strategie dopuszczalne – eliminacja patologii. Optymalność strategii dopuszczalnych, jednoznaczność strategii replikujących.

14. Wycena opcji. Dowód wzoru Blacka-Scholesa. Zastosowania.
Ćwiczenia realizują powyższe zagadnienia w formie praktycznych problemów związanych z wyceną instrumentów finansowych.

Ćwiczenia audytoryjne (30h):
  1. Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

    Rozwiązywanie problemów (głównie związanych z zagadnieniami praktycznymi) ilustrujących treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

  2. Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

    Rozwiązywanie problemów (głównie związanych z zagadnieniami praktycznymi) ilustrujących treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

  3. Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

    Rozwiązywanie problemów (głównie związanych z zagadnieniami praktycznymi) ilustrujących treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

  4. Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

    Ćwiczenia realizują zagadnienia omawiana na wykładach w formie praktycznych problemów związanych z wyceną instrumentów finansowych.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Treści prezentowane na wykładzie są przekazywane w formie prezentacji multimedialnej w połączeniu z klasycznym wykładem tablicowym wzbogaconymi o pokazy odnoszące się do prezentowanych zagadnień.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest uzyskanie oceny pozytywnej z ćwiczeń (w przypadku braku zaliczenia z ćwiczeń w pierwszym terminie, student ma prawo do dwóch zaliczeń poprawkowych, których sposób przeprowadzenia ustala osoba prowadząca ćwiczenia).

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:

średnia oceny ćwiczeń i egzaminu ustnego

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. J.M.Steele, Stochastic calculus and Financial Applications, Springer 2001.
  2. S.Shreve, Stochastic Calculus for Finance II, Continuous-Time Models, Springer 2004.
  3. B.Oksendal, Stochastic Differential Equations, Springer 2003.
  4. M.Capinski, E.Kopp, The Black-Schole Model, Cambridge University Press 2013
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Capiński, Marek; Zastawniak, Tomasz; No arbitrage in a simple credit risk model; Appl. Math. Lett. 37, 39-42 (2014).

2. Capiński, Marek; Kopp, Ekkehard; Traple, Janusz; Stochastic calculus for finance.
Mastering Mathematical Finance. Cambridge: Cambridge University Press (2012).

3. Capiński, Marek; Kopp, Ekkehard; The Black-Scholes model;
Mastering Mathematical Finance. Cambridge: Cambridge University Press (2012).

3. Capinski, Marek; Kopp, Ekkehard; Derivative pricing methodology in continuous-time models.
Appl. Math. Lett. 25, No. 12, 2137-2139 (2012).

4. Capiński, Marek; Kopp, Ekkehard; Discrete models of financial markets; Mastering Mathematical Finance. Cambridge: Cambridge University Press (2012).

5. Capiński, Marek; Zastawniak, Tomasz; Mathematics for finance. An introduction to financial engineering. 2nd ed.; Springer Undergraduate Mathematics Series. New York, NY: Springer (2011).

6. Capinski, Marek; A model of credit risk based on cash flow; Comput. Math. Appl. 54, No. 4, 499-506 (2007).

Informacje dodatkowe:

Brak