Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Analiza Rzeczywista i Zespolona
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-101-MO-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka obliczeniowa i komputerowa
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
1
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
prof. zw. dr hab. Cojuhari Petru (cojuhari@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Kurs analizy rzeczywistej- teoria miary, całka Lebesgue’a.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Student zna pojęcia miary i mierzalności zbiorów, mierzalności funkcji oraz twierdzenia i przykłady dotyczące tych pojęć. MAT2A_W02 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W002 Student ma uporządkowaną wiedzę w zakresie całki Lebesgue’a. MAT2A_W03, MAT2A_W01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W003 Student zna podstawowe klasy funkcji rzeczywistych i ich własności. MAT2A_W01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W004 Student ma uporządkowaną podstawową wiedzę z analizy zespolonej i funkcji analitycznych. MAT2A_W03, MAT2A_W01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 Student zna konstrukcję miary Lebesgue’a i charakteryzację mierzalności zbiorów w sensie Lebesgue’a oraz przykłady zbiorów mierzalnych i niemierzalnych. MAT2A_U07, MAT2A_U01, MAT2A_U05 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 Student zna przykłady i potrafi rozpoznać pojęcia teorii całki Lebesgue’a i teorii miary w typowych zagadnieniach teoretycznych i praktycznych. MAT2A_U04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U003 Student potrafi stosować wzór całkowy Cauchy’ego i twierdzenie o residuach do znajdowania wartości pewnych całek i innych obliczeń. MAT2A_U05 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Student zna pojęcia miary i mierzalności zbiorów, mierzalności funkcji oraz twierdzenia i przykłady dotyczące tych pojęć. + + - - - - - - - - -
M_W002 Student ma uporządkowaną wiedzę w zakresie całki Lebesgue’a. + + - - - - - - - - -
M_W003 Student zna podstawowe klasy funkcji rzeczywistych i ich własności. + + - - - - - - - - -
M_W004 Student ma uporządkowaną podstawową wiedzę z analizy zespolonej i funkcji analitycznych. + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Student zna konstrukcję miary Lebesgue’a i charakteryzację mierzalności zbiorów w sensie Lebesgue’a oraz przykłady zbiorów mierzalnych i niemierzalnych. + + - - - - - - - - -
M_U002 Student zna przykłady i potrafi rozpoznać pojęcia teorii całki Lebesgue’a i teorii miary w typowych zagadnieniach teoretycznych i praktycznych. + + - - - - - - - - -
M_U003 Student potrafi stosować wzór całkowy Cauchy’ego i twierdzenie o residuach do znajdowania wartości pewnych całek i innych obliczeń. + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 150 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 37 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 46 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):

1. Algebra i σ-algebra zbiorów. Przestrzenie mierzalne. Miara, przestrzenie z miarą. Miara Borela. Miary zupełne i regularne.
2. Miara zewnętrzna. Zagadnienie rozszerzenia miar. Warunek Caratheodory’ego. Konstrukcje miary Lebesgue’a. Charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a.
3. Funkcje mierzalne. Przestrzeń funkcji prostych. Twierdzenie o aproksymacji funkcji mierzalnej przez funkcje proste.
4. Całka Lebesgue’a i jej własności. Związek całki Lebesgue’a z całką Riemanna. Twierdzenie o zbieżności. Lemat Fatou. Twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej.
5. Miary produktowe. Twierdzenia Tonelliego i Fubiniego.
6. Funkcje o wahaniu ograniczonym. Funkcje absolutnie ciągłe. Twierdzenie Lebesgue’a o różniczkowalności prawie wszędzie.
7. Geometria i topologia płaszczyzny zespolonej, sfera Riemanna.
Funkcje zespolone, ciągłość, funkcje elementarne.
8. Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej. Reguły różniczkowania. Równania Cauchy’ego-Riemanna. Interpretacja geometryczna pochodnej zespolonej.
9. Funkcje analityczne (regularne, holomorficzne). Regularność funkcji elementarnych. Odwzorowanie konforemne.
10. Całkowanie funkcji zespolonych. Całki krzywoliniowe funkcji zespolonych.
11. Twierdzenie całkowe Cauchy’ego. Istnienie funkcji pierwotnej. Wzór całkowy Cauchy’ego. Uogólniony wzór Cauchy’ego.
12. Rozwijalność funkcji analitycznej w szereg potęgowy. Szeregi Taylora i Lauranta. Punkty zerowe funkcji analitycznej. Twierdzenie o jednoznaczności funkcji analitycznej.
13. Nierówność Cauchy’ego. Funkcje całkowite. Twierdzenie Liouville’a. Lemat Schwarza.
14. Punkty osobliwe. Residuum funkcji. Wyznaczanie residuów. Twierdzenie o
residuach.

Ćwiczenia audytoryjne (30h):
Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładów

Rozwiązywanie problemów (głównie związanych z zagadnieniami praktycznymi) ilustrujących treści przekazywanych na kolejnych wykładach

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:
  1. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
  2. Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
    SW = 1/3 OC + 2/3 OE,
    gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń,
    a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
  3. Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
    Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
    jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
    jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
    jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
    jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).
Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości. Omówienie konspektów podczas konsultacji.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Wiedza z zakresu analizy matematycznej, logiki i teorii mnogości na poziomie absolwenta studiów matematycznych I-go stopnia.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. Walter Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, (PWN 1999)
  2. Ludwik M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków (II. Wybrane zagadnienia), (Wyd. UJ 1997)
  3. Witold Kleiner, Analiza Matematyczna (Tom II), (PWN 1990)
  4. Franciszek Leja, Funkcje zespolone (PWN 1979)
  5. Jan Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych (PWN 2005)
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Triplets of closely embedded Hilbert spaces, Integral Equations Oper. Theory 81, No. 1, 1-33 (2015).

2) Cojuhari, P.A.; Grod, A.; Kuzhel, S; On the S-matrix of Schrödinger operators with non-symmetric zero-range potentials, J. Phys. A, Math. Theor. 47, No. 31, Article ID 315201, 23 p. (2014).

3) Cojuhari, P.A.; On the discrete spectrum of a linear operator pencil arizing in transport theory,
Methods Funct. Anal. Topol. 20, No. 1, 10-16 (2014).

4) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Triplets of closely embedded Dirichlet type spaces on the unit polydisc, Complex Anal. Oper. Theory 7, No. 5, 1525-1544 (2013).

5) Cojuhari, Petru A.; Kuzhel, Sergii; Lax-Phillips scattering theory for 𝒫𝒯-symmetric ρ-perturbed operators, J. Math. Phys. 53, No. 7, 073514, 17 p. (2012).

6) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Embeddings, operator ranges, and Dirac operators,
Complex Anal. Oper. Theory 5, No. 3, 941-953 (2011).

7) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Closely embedded Kreĭn spaces and applications to Dirac operators, J. Math. Anal. Appl. 376, No. 2, 540-550 (2011).

8) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Closed embeddings of Hilbert spaces,
J. Math. Anal. Appl. 369, No. 1, 60-75 (2010).

9) Cojuhari, Petru A.; Nowak, Michał A. ;Projection-iterative methods for a class of difference equations,
Integral Equations Oper. Theory 64, No. 2, 155-175 (2009).

10) Cojuhari, Petru; Gheondea, Aurelian; Kreĭn spaces induced by symmetric operators.
J. Oper. Theory 61, No. 2, 347-367 (2009).

11) Cojuhari, P.A. Discrete spectrum in the gaps for perturbations of periodic Jacobi matrices.
J. Comput. Appl. Math. 225, No. 2, 374-386 (2009).

12) Cojuhari, Petru; Janas, Jan; Unbounded Jacobi matrices with empty absolutely continuous spectrum.
Bull. Pol. Acad. Sci., Math. 56, No. 1, 39-51 (2008).

13) Cojuhari, P.A.; Gomilko, A.M.; On the characterization of scalar type spectral operators.
Stud. Math. 184, No. 2, 121-132 (2008).

14) Cojuhari, P.A. On the spectrum of a class of block Jacobi matrices.
Bakonyi, Mihály (ed.) et al., Operator theory, structured matrices, and dilations. Tiberiu Constantinescu memorial volume. Bucharest: Theta (ISBN 978-973-87899-0-6). Theta Series in Advanced Mathematics 7, 137-152 (2007).

15) Cojuhari, Petru A.; Janas, Jan;
Discreteness of the spectrum for some unbounded Jacobi matrices; Acta Sci. Math. 73, No. 3-4, 649-667 (2007).

16) Cojuhari, Petru A. Finiteness of eigenvalues of the perturbed Dirac operator;
Janas, Jan (ed.) et al., Operator theory, analysis and mathematical physics. Mainly the lectures of the international conference on operator theory and its applications in mathematical physics, OTAMP 2004, Bedlewo, Poland, July 6–11, 2004. Basel: Birkhäuser (ISBN 978-3-7643-8134-9/hbk; 978-3-7643-8135-6/e-book). Operator Theory: Advances and Applications 174, 1-7 (2007).

17) Cojuhari, P.A. Estimates of the discrete spectrum of a linear operator pencil; J. Math. Anal. Appl. 326, No. 2, 1394-1409 (2007).

Informacje dodatkowe:

Brak