Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Analiza Numeryczna
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-102-MO-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka obliczeniowa i komputerowa
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
1
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr hab. Przybyłowicz Paweł (pprzybyl@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Problemy obliczeń numerycznych. Numeryczne metody rozwiązywania równań.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Zna zaawansowane techniki obliczeniowe, wspomagające prace matematyka i rozumie ich ograniczenia MAT2A_W10, MAT2A_W08 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W002 Zna metody numeryczne stosowane do znajdowania przybliżonych rozwiązan zagadnień matematycznych MAT2A_W10 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 Rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów i procesów obliczeniowych MAT2A_U19 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 Potrafi konstruować algorytmy o dobrych własnościach numerycznych, służące do rozwiązywania typowych i nietypowych problemów matematycznych MAT2A_U20 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 Zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia MAT2A_K01 Egzamin
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Zna zaawansowane techniki obliczeniowe, wspomagające prace matematyka i rozumie ich ograniczenia + + - - - - - - - - -
M_W002 Zna metody numeryczne stosowane do znajdowania przybliżonych rozwiązan zagadnień matematycznych + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów i procesów obliczeniowych + + - - - - - - - - -
M_U002 Potrafi konstruować algorytmy o dobrych własnościach numerycznych, służące do rozwiązywania typowych i nietypowych problemów matematycznych + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 Zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 156 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 50 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 40 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 4 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):

1. Arytmetyka numeryczna fl, reprezentacja liczb, typowe operacje zmiennopozycyjne.

2. Podstawowe pojęcia analizy błędów zaokrągleń, równość w sensie 1 (z dowodami), numeryczna stabilność i poprawność algorytmów (definicje formalne).

3. Interpolacja wielomianowa Lagrange’a i Hermite’a – algorytm różnic dzielonych, jego analiza w fl, błąd interpolacji, przejście od postaci Newtona wielomianu do postaci naturalnej, zbieżność procesu interpolacji. Wielomiany Czebyszewa (dowody własności).

4. Interpolacja funkcjami sklejanymi – przedstawienie funkcji sklejanych, funkcje sklejane naturalne i okresowe, algorytmy dla kubicznych funkcji sklejanych, wyrażenie na błąd (dowód).

5. Interpolacja trygonometryczna – postać zespolona i sinusowo—kosinusowa wielomianu trygonometrycznego, przypadek węzłów równoodległych (wyprowadzenie wzorów na współczynniki), algorytm FFT.

6. Abstrakcyjne zadanie aproksymacji. Aproksymacja średniokwadratowa, układ równań
normalnych Gaussa. Wielomiany ortogonalne i ich własności (dowody).

7. Aproksymacja jednostajna – podprzestrzenie Haara, twierdzenie o alternansie (częściowy dowód). Algorytm Remeza, twierdzenie o zbieżności (dowód).

8. Kwadratury – rząd, kwadratury interpolacyjne. Kwadratury Gaussa – wyrażenie na błąd, wagi, zbieżność.

9. Kwadratury Newtona—Cotesa. Wyrażenie na błąd (dowód). Kwadratury złożone. Ekstrapolacja Richardsona, formuła Eulera—Maclaurina (bez dowodu). Metoda Romberga. Informacja o obliczaniu całek niewłaściwych i z osobliwościami.

10. Numeryczne rozwiązywanie układów równań liniowych. Algorytm eliminacji Gaussa z wyborem elementu głównego, jego analiza w fl. Algorytm eliminacji Gaussa dla macierzy symetrycznych dodatnio określonych.

11. Przekształcenia Householdera i ich wykorzystanie do rozkładu ortogonalno-trójkątnego macierzy, rozwiązywania układów równań liniowych i obliczania wyznacznika. Elementy analizy w fl. Metoda ortogonalizacji Grama—Schmidta z poprawianiem. Analiza ortogonalizacji 2 wektorów w fl. Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów. Iteracyjne poprawianie rozwiązania. Metody iteracyjne dla wielkich układów równań liniowych
- oparte na metodzie kolejnych przybliżeń (SOR), metoda Czebyszewa (dowód zbieżności), informacja o wielomianach jądrowych, metody gradientowe (metoda cg).

12. Rozwiązywanie równań nieliniowych. Wykładnik zbieżności, efektywność metod iteracyjnych. Twierdzenie o odwzorowaniach zwężających (przypomnienie), twierdzenie Brouwera o punkcie stałym, twierdzenie Borsuka—Ulama (bez dowodów). Metoda Newtona dla układów równań nieliniowych i twierdzenie o jej zbieżności (bez dowodu).

13. Algebraiczny problem własny. Twierdzenie Gerschgorina. Twierdzenie Jordana (przypomnienie). Wrażliwość wartości własnych. Metody wyznacznikowe – metoda bisekcji, jej analiza w fl.

14. Sprowadzenie macierzy kwadratowej do postaci Hessenberga przez podobieństwa ortogonalne, metoda Hymana obliczania wyznacznika macierzy w postaci Hessenberga. Metoda bisekcji z ciągu Sturma dla macierzy symetrycznych trójdiagonalnych. Metoda QR i jej zbieżność.

Ćwiczenia audytoryjne (30h):

Rozwiązywanie zadań dotyczących treści wykładów

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
Dwa terminy zaliczeń poprawkowych są skorelowane czasowo z egzaminami poprawkowymi.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:

Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest uzyskanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.

Ocena końcowa jest obliczana w zasadzie jako 2/3 oceny z egzaminu + 1/3 oceny z ćwiczeń.

Niewielkie odstępstwa są możliwe w zależności od kompetencji egzaminowanego wykazanej w czasie egzaminu.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Wykład ze Wstępu do analizy numerycznej, ogólne przygotowanie z zakresu analizy i algebry liniowej.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

1. J.M. Jankowscy, M. Dryja, Przegląd metod numerycznych, cz. 1,2, WNT, 1981.

2. J. Stoer, R. Bulirsch, Wstęp do metod numerycznych, cz. 1,2, PWN, 1980.

3. D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, WNT, 2006.

4. G. Dalquist, A. Bjorck Metody numeryczne, PWN, 1983.

5. A. Kiełbasiński, H. Schwetlick, Numeryczna algebra liniowa, WNT, 1992.

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1. Kacewicz, Bolesław; Przybyłowicz, Paweł; Complexity of the derivative-free solution of systems of IVPs with unknown singularity hypersurface; J. Complexity 31, No. 1, 75-97 (2015).

2. Kacewicz, Bolesław; Przybyłowicz, Paweł; Optimal solution of a class of non-autonomous initial-value problems with unknown singularities; J. Comput. Appl. Math. 261, 364-377 (2014).

3. Kacewicz, Bolesław; On the quantum and randomized approximation of linear functionals on function spaces; Quantum Inf. Process. 10, No. 3, 279-296 (2011).

4. Kacewicz, Bolesław; Przybyłowicz, Paweł; Optimal adaptive solution of initial-value problems with unknown singularities; J. Complexity 24, No. 4, 455-476 (2008).

5. Kacewicz, Bolesław; Almost optimal solution of initial-value problems by randomized and quantum algorithms; J. Complexity 22, No. 5, 676-690 (2006).

6. Kacewicz, Bolesław; Improved bounds on the randomized and quantum complexity of initial-value problems; J. Complexity 21, No. 5, 740-756 (2005).

7. Kacewicz, Bolesław; Optimal and suboptimal algorithms in set membership identification;
Math. Comput. Model. Dyn. Syst. 11, No. 2, 159-169 (2005).

8. Kacewicz, Bolesław; Randomized and quantum algorithms yield a speed-up for initial-value problems;
J. Complexity 20, No. 6, 821-834 (2004).

9. Kacewicz, Bolesław; Asymptotic setting (revisited): analysis of a boundary-value problem and a relation to a classical approximation result; J. Complexity 20, No. 5, 796-806 (2004).

Informacje dodatkowe:

Brak