Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Topologia
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-205-MO-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka obliczeniowa i komputerowa
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
2
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr Majdak Witold (majdak@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Podstawowy kurs topologii.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 Student zna definicję, różne sposoby wprowadzania i przykłady topologii, a także podstawowe operacje topologiczne na zbiorach. MAT2A_W01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
M_W002 Student zna równoważne definicje ciągłości odwzorowań w przestrzeniach topologicznych oraz umie ocenić, czy dane zbiory są homeomorficzne. MAT2A_W02, MAT2A_W01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
Umiejętności: potrafi
M_U001 Student potrafi omówić własności zbiorów zwartych oraz zbiorów spójnych. W szczególności student potrafi zdefiniować topologię Tichonowa i podać jej zastosowania. MAT2A_U08, MAT2A_U04, MAT2A_W01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
M_U002 Student potrafi sklasyfikować rozmaitości różniczkowalne wymiaru 1 i 2. MAT2A_U08 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
M_U003 Student zna podstawowe pojęcia teorii homotopii i potrafi skonstruować grupę podstawową przestrzeni topologicznej. MAT2A_U08, MAT2A_U13, MAT2A_W02, MAT2A_U04, MAT2A_W07 Aktywność na zajęciach,
Egzamin
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 Student zna definicję, różne sposoby wprowadzania i przykłady topologii, a także podstawowe operacje topologiczne na zbiorach. + - - - - - - - - - -
M_W002 Student zna równoważne definicje ciągłości odwzorowań w przestrzeniach topologicznych oraz umie ocenić, czy dane zbiory są homeomorficzne. + - - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 Student potrafi omówić własności zbiorów zwartych oraz zbiorów spójnych. W szczególności student potrafi zdefiniować topologię Tichonowa i podać jej zastosowania. + - - - - - - - - - -
M_U002 Student potrafi sklasyfikować rozmaitości różniczkowalne wymiaru 1 i 2. + - - - - - - - - - -
M_U003 Student zna podstawowe pojęcia teorii homotopii i potrafi skonstruować grupę podstawową przestrzeni topologicznej. + - - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 100 godz
Punkty ECTS za moduł 4 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 30 godz
Przygotowanie do zajęć 13 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 55 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):

1. Definicje topologii (różne podejścia). Przestrzenie topologiczne. Przykłady (w szczególności: przestrzeń metryczna jako przestrzeń topologiczna). Zbiory otwarte, zbiory domknięte. Domknięcie, wnętrze i brzegu zbioru. Zbiory gęste i brzegowe. Ośrodkowość.

2. Otoczenie. Baza otoczeń punktu. Pełny układ otoczeń. Baza topologii. Aksjomaty przeliczalności. Związek z ośrodkowością.

3. Przekształcenia i funkcje ciągłe. Kryteria ciągłości. Przekształcenia domknięte, otwarte i homeomorfizmy. Podstawowe własności.

4. Porównywanie topologii. Topologie początkowe i końcowe. Podprzestrzeń. Przestrzeń topologiczna ilorazowa. Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych.

5. Aksjomaty oddzielania (w szczególności: przestrzenie Hausdorffa, regularne oraz normalne). Przykłady. Lemat Uryshona. Twierdzenie Tietzego o przedłużaniu funkcji (bez dowodu).

6. Zbieżność w przestrzeni topologicznej. Ciągi uogólnione i filtry. Przestrzenie ciągowe i przestrzenie typu Frecheta.

7. Przestrzenie zwarte. Zwartość a domkniętość. Normalność przestrzeni zwartych. Zbiory przeliczalnie zwarte i ciągowo zwarte. Twierdzenie Tichonowa.

8. Przekształcenia i funkcje ciągłe na przestrzeniach zwartych. Twierdzenia typu Weierstrassa. Przestrzenie przekształceń ciągłych. Przestrzenie lokalnie zwarte. Uzwarcenie Aleksandrowa (informacyjnie).

9. Przestrzenie metryzowalne. Zwartość w przestrzeniach metrycznych. Twierdzenie Hausdorffa.

10.Przestrzenie funkcyjne. Rodziny funkcji wspólnie ograniczone i równociągłe. Twierdzenie Arzeli-Ascoliego. Zastosowania.

11. Przestrzenie spójne. Operacje na przestrzeniach spójnych. Obraz zbioru spójnego przez przekształcenie ciągłe. Różne rodzaje spójności. Przykłady.

12. Homotopie. Homotopijna równoważność funkcji. Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej.

13. Rozmaitość różniczkowalna. Klasyfikacja rozmaitości różniczkowalnych wymiaru 1 i 2.

14. Grafy. Topologia grafów. Twierdzenie Kuratowskiego o grafach.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

-

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
Sposób obliczania oceny końcowej:

1. Ćwiczenia z przedmiotu są obligatoryjne dla studentów studiów I stopnia oraz opcjonalne dla studentów studiów II stopnia. Zaliczenie ćwiczeń odbywa się na podstawie oceny aktywności studenta i kolokwiów pisemnych.

2. Egzamin z przedmiotu jest egzaminem ustnym.

3. W przypadku wyboru kursu topologii z ćwiczeniami warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny pozytywnej z ćwiczeń.
Ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
SW = 1/3 OC + 2/3 OE,
gdzie OC jest oceną uzyskaną z ćwiczeń, a OE jest oceną uzyskaną z egzaminu.
Ocena końcowa OK. jest obliczana według algorytmu:
Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).

W przypadku wyboru kursu bez ćwiczeń ocena końcowa z przedmiotu w pierwszym terminie pokrywa się z pozytywną oceną z egzaminu.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Wiedza z zakresu wstępu do logiki i teorii mnogości, analizy matematycznej oraz teorii równań różniczkowych na poziomie absolwenta studiów matematycznych pierwszego stopnia.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:
  1. R. Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1976.
  2. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 1980.
  3. N. Bourbaki, Topologie générale, Paris 1953.
  4. J.L. Kelley, General topology, Springer – Verlag New York Berlin Heidelberg 1955.
  5. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1996.
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1) Majdak, Witold; Secelean, Nicolae-Adrian; Suciu, Laurian; Ergodic properties of operators in some semi-Hilbertian spaces, Linear Multilinear Algebra 61, No. 2, 139-159 (2013).

2) Majdak, Witold; Stochel, Jan; A local lifting theorem for jointly subnormal families of unbounded operators, Integral Equations Oper. Theory 69, No. 2, 233-246 (2011).

3) Majdak, Witold, A lifting theorem for unbounded quasinormal operators. (English) Zbl 1123.47011
J. Math. Anal. Appl. 332, No. 2, 934-946 (2007).

Informacje dodatkowe:

Brak