Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Metody numeryczne dla stochastycznych równań różniczkowych- teoria i zastosowania
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-207-MO-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka obliczeniowa i komputerowa
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
2
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr hab. Przybyłowicz Paweł (pprzybyl@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Na zajęciach zostaną przedstawione podstawowe sposoby konstrukcji algorytmów, wraz z analizą ich błędów, dla zadania aproksymacji rozwiązań stochastycznych równań różniczkowych.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 zna zaawansowane techniki obliczeniowe,wspomagające pracę matematyka i rozumie ich ograniczenia, zna podstawy modelownia stochastycznego w matematyce finansowej i aktuarialnej lub w naukach przyrodniczych, w szczególności fizyce, chemii lub biologii MAT2A_W08, MAT2A_W09 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Projekt
M_W002 zna metody numeryczne stosowane do znajdowania przybliżonych rozwiązań zagadnień matematycznych (na przykład równań różniczkowych) stawianych przez dziedziny stosowane (np. technologie przemysłowe, zarządzanie itp.) MAT2A_W10 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Projekt
Umiejętności: potrafi
M_U001 potrafi konstruować algorytmy o dobrych własnościach numerycznych, służące do rozwiązywania typowych i nietypowych problemów matematycznych MAT2A_U20 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Projekt
M_U002 rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów i procesów obliczeniowych MAT2A_U19 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Projekt
M_U003 zna podstawowe rozkłady probabilistyczne i ich własności; potrafi je stosować w zagadnieniach praktycznych, potrafi stosować procesy stochastyczne jako narzędzie do modelowania zjawisk i analizy ich ewolucji MAT2A_U11, MAT2A_U18 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Projekt
M_U004 zna podstawowe rozkłady probabilistyczne i ich własności; potrafi je stosować w zagadnieniach praktycznych, potrafi stosować procesy stochastyczne jako narzędzie do modelowania zjawisk i analizy ich ewolucji rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów i procesów obliczeniowych potrafi konstruować algorytmy o dobrych własnościach numerycznych, służące do rozwiązywania typowych i nietypowych problemów matematycznych MAT2A_U20, MAT2A_U19, MAT2A_U11, MAT2A_U18 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Projekt
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje wliteraturze, także w językach obcych MAT2A_K06 Projekt
M_K002 rozumie i docenia znaczenie uczciwości intelektualnej w działaniach własnych i innych osób; postępuje etycznie MAT2A_K04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Projekt
M_K003 potrafi pracować zespołowo; rozumie konieczność systematycznej pracy nad wszelkimi projektami, które mają długofalowy charakter MAT2A_K03 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Projekt
M_K004 potrafi pracować zespołowo; rozumie konieczność systematycznej pracy nad wszelkimi projektami, które mają długofalowy charakter rozumie i docenia znaczenie uczciwości intelektualnej w działaniach własnych i innych osób; postępuje etycznie potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, także w językach obcych MAT2A_K03, MAT2A_K06, MAT2A_K04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Projekt
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
30 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 zna zaawansowane techniki obliczeniowe,wspomagające pracę matematyka i rozumie ich ograniczenia, zna podstawy modelownia stochastycznego w matematyce finansowej i aktuarialnej lub w naukach przyrodniczych, w szczególności fizyce, chemii lub biologii - - - - + - - - - - -
M_W002 zna metody numeryczne stosowane do znajdowania przybliżonych rozwiązań zagadnień matematycznych (na przykład równań różniczkowych) stawianych przez dziedziny stosowane (np. technologie przemysłowe, zarządzanie itp.) - - - - + - - - - - -
Umiejętności
M_U001 potrafi konstruować algorytmy o dobrych własnościach numerycznych, służące do rozwiązywania typowych i nietypowych problemów matematycznych - - - - + - - - - - -
M_U002 rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów i procesów obliczeniowych - - - - + - - - - - -
M_U003 zna podstawowe rozkłady probabilistyczne i ich własności; potrafi je stosować w zagadnieniach praktycznych, potrafi stosować procesy stochastyczne jako narzędzie do modelowania zjawisk i analizy ich ewolucji - - - - + - - - - - -
M_U004 zna podstawowe rozkłady probabilistyczne i ich własności; potrafi je stosować w zagadnieniach praktycznych, potrafi stosować procesy stochastyczne jako narzędzie do modelowania zjawisk i analizy ich ewolucji rozumie matematyczne podstawy analizy algorytmów i procesów obliczeniowych potrafi konstruować algorytmy o dobrych własnościach numerycznych, służące do rozwiązywania typowych i nietypowych problemów matematycznych - - - - + - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje wliteraturze, także w językach obcych - - - - + - - - - - -
M_K002 rozumie i docenia znaczenie uczciwości intelektualnej w działaniach własnych i innych osób; postępuje etycznie - - - - + - - - - - -
M_K003 potrafi pracować zespołowo; rozumie konieczność systematycznej pracy nad wszelkimi projektami, które mają długofalowy charakter - - - - + - - - - - -
M_K004 potrafi pracować zespołowo; rozumie konieczność systematycznej pracy nad wszelkimi projektami, które mają długofalowy charakter rozumie i docenia znaczenie uczciwości intelektualnej w działaniach własnych i innych osób; postępuje etycznie potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, także w językach obcych - - - - + - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 57 godz
Punkty ECTS za moduł 2 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 30 godz
przygotowanie projektu, prezentacji, pracy pisemnej, sprawozdania 10 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 15 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Konwersatorium (30h):

Część teoretyczna (20h – prowadzona w formie konwersatorium, z elementami wykładu):

1. Przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń z teorii procesów stochastycznych, definicja i własności procesu Wienera oraz mostu Browna.
2. Przypomnienie definicji i podstawowych własności całki stochastycznej w sensie Ito, formuła Ito, stochastyczne równania różniczkowe (istnienie i jedyność silnego rozwiązania, oszacowania rozwiązania w normie Lp, regularność średniokwadratowa rozwiązania).
3. Błąd najlepszej L2-aproksymacji trajektorii procesu Wienera.
4. Definicje silnej i słabej aproksymacji rozwiązań stochastycznych równań różniczkowych. Schemat Eulera i analiza jego średniokwadratowego błędu dla dyskretyzacji nierównomiernych.
5. Schemat Milsteina w przypadku skalarnym i wielowymiarowym, warunki komutacji. Analiza średniokwadratowego błędu schematu Milsteina dla dyskretyzacji nierównomiernych.
6. Ogólne informacje na temat schematów wyższego rzędu, konstrukcja oparta na rozwinięciu Ito-Taylora, wielokrotnych całkach Ito i zbiorach hierarchicznych.
7. Adaptacyjna kontrola długości kroku dla skalarnych równań z addytywnym szumem Wienera. Ograniczenia z dołu i optymalności schematu Eulera opartego na siatce adaptacyjnej.

Część praktyczna (10h – realizowana w wybranym języku programowania, np. Python / Java):

1. Podstawy symulacji trajektorii procesu Wienera (metoda przyrostowa, rozwiniecie Karhunena-Loeve, konstrukcja Levy’ego-Ciesielskiego), podstawowe metody generowania liczb pseudolosowych.
2. Implementacja schematów Eulera i Milstena. Sposoby empirycznej estymacji błędów aproksymacji za pomocą symulacji Monte-Carlo oraz empirycznej estymacji tempa zbieżności.
3. Zastosowania poznanych schematów do symulacji modeli z matematyki finansowej (model Blacka-Scholesa) i biologii (stochastyczny model Volterry-Lotki).
4. Słaba aproksymacja stochastycznych równań różniczkowych, zastosowanie do wyceny opcji.

Dodatkowo studenci będą we własnym zakresie realizować projekty w tematyce przedmiotu. Tematyka projektu zostanie indywidualnie ustalona z każdym studentem.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Konwersatorium: Nie określono
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Zasady udziału w zajęciach:
  • Konwersatorium:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Nie określono
Sposób obliczania oceny końcowej:

1. Ocena końcowa OK jest oceną z projektu końcowego:
SW =OK= OPk.
2. Istnieje też możliwość zaliczenia przedmiotu z egzaminem. W tej opcji ocenę końcową OK wyznacza się na podstawie średniej ważonej SW obliczonej według wzoru
SW = 1/2 OE + 1/2 OPk,
gdzie OE jest oceną uzyskaną z egzaminu ustnego,
a OPk jest oceną uzyskaną z projektu końcowego.
3. Ocena końcowa OK jest obliczana według algorytmu:
Jeżeli SW ≥ 4.75, to OK = 5.0 (bdb),
jeżeli 4.75 > SW ≥ 4.25, to OK = 4.5 (db),
jeżeli 4.25 > SW ≥ 3.75, to OK = 4.0 (db),
jeżeli 3.75 > SW ≥ 3.25, to OK = 3.5 (dst),
jeżeli 3.25 > SW ≥ 3.00, to OK = 3.0 (dst).

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Wiedza z zakresu teorii równań różniczkowych, analizy numerycznej oraz rachunku prawdopodobieństwa na poziomie absolwenta studiów matematycznych I-go stopnia.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

1. Kloeden, P.E., Platen, E., Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1992.
2. Janicki, A., Izydorczyk, A., Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym. in Polish, WNT Warszawa, 2001.
3. Kloeden, P.E., Platen, E., Schurz, H., Numerical Solution of SDE Through Computer Experiments, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1994.
4. Karatzas, I., Shreve, S.E. Brownian Motion and Stochastic Calculus. 2nd Edition, Springer-Verlag, New York, 1998.
5. Ritter, K., Average Case Analysis of Numerical Problems. Lecture Notes in Math. 1733, Springer Verlag, Berlin, 2000.
6. Hofmann, N., Mueller-Gronbach, T., Ritter, K., Optimal approximation of stochastic differential equations by adaptive step-size control. Math. Comp. 69 (2000), 1017-1034.

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

Nie podano dodatkowych publikacji

Informacje dodatkowe:

Przedmiot dopuszcza wersję “z egzaminem” – 4 ECTS