Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Operator Theory
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-105-MU-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka ubezpieczeniowa
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
1
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Angielski
Forma studiów:
Stacjonarne
Prowadzący moduł:
dr hab. Rudol Krzysztof (rudol@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Student knows basic results from sectral theory of bounded (as well as unbounded) linear operators on Hilbert spaces and examples of their applicationsapplications.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 -Student understands general pronciples governing the behaviour of linear rquations. He (she) knows basic methods of investigating linear operators in various situations and knows their relations to other branches of mathematics MAT2A_U22, MAT2A_W04, MAT2A_W03 Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W002 -Student knows basic results from sectral theory of bounded (as well as unbounded) linear operators on Hilbert spaces and examples of their applicationsapplications MAT2A_W05, MAT2A_W07, MAT2A_W06, MAT2A_W04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 -Student can use different methods of estimatimating action of a given operator T, depending on the chosen model. He /she can apply informations on the spectrum of T and its parts. Student can recognize structures related to systems of commuting operators, by using Banach and Hilbert space techniques MAT2A_U22, MAT2A_U09, MAT2A_U13, MAT2A_U10 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 -Student can estimate difficulties resulting in different approaches and knows basic sources of specialized results. He knows about the history of operator theory and some of its challanging open problems MAT2A_K01, MAT2A_U22, MAT2A_K04, MAT2A_K06 Aktywność na zajęciach,
Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
45 30 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 -Student understands general pronciples governing the behaviour of linear rquations. He (she) knows basic methods of investigating linear operators in various situations and knows their relations to other branches of mathematics + + - - - - - - - - -
M_W002 -Student knows basic results from sectral theory of bounded (as well as unbounded) linear operators on Hilbert spaces and examples of their applicationsapplications + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 -Student can use different methods of estimatimating action of a given operator T, depending on the chosen model. He /she can apply informations on the spectrum of T and its parts. Student can recognize structures related to systems of commuting operators, by using Banach and Hilbert space techniques + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 -Student can estimate difficulties resulting in different approaches and knows basic sources of specialized results. He knows about the history of operator theory and some of its challanging open problems + - - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 150 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 45 godz
Przygotowanie do zajęć 57 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 46 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):
Operator theory

1. Brief review of basic fact and terminology related to complete normed spaces and linear functionals.

2. Finite, infinite and block matrices as linear operators. Schur test for boundedness. The adjoint and the hermitian adjoint of an operator.

3. Finite rank and compact linear operators. Examples of integral operators. Operators with compact resolvent. Application to some differential equations.

4. Hilbert-Schmidt operators. Examples of integral operators.

5. Spectral representation of compact selfadjoint operators in Hilbert spaces.

6. Applications of spectral Thorem for compact operators. Polar decomposition.

7. Fredholm alternative, application to integral equations.

8. Sesquilinear forms corresponding to Hilbert space operators. Lax-Milgram theorem.

9. Numerical range. Comparing the numerical and spectral radii of an operator

10. General Spectral Thorem for normal operators.

11. Examples of spectral measures and applications of the Spectral Theorem.

12. Elementary properties of closed unbounded operators. Examples of differential operators. Cayley transform of symmetric operators.

13. Spectral theorem for unbounded operators.

14. Spectra of functions of operators.

15 Some recent results and open problems in operator theory.

Ćwiczenia audytoryjne (15h):
tutorials on operator theory

Tutorials will discuss concrete examples and applications. The aim is to deepen understanding of the developed theory and to encourage students to try “hands on” approach to the problems.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

Dwa terminy zaliczeń poprawkowych.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:

30% of the final grade comes from assesement at tutorials, 70% from the exam.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

basic calculus courses including Lebesgue integral theory.
basic course in linear algebra

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

1. N.I.Ahiezer. I.M. Glazman, Theory of Lienar Operators In Hilbert Spaces, Ungar, N.Y., 1961
2. J. B. Conway, Course in functional analysis, Springer-Verlag, New York, 1985.
3. G. K. Lax, Functional Analysis, Warszawa, Wiley-Interscience, 2002.
4. G. Pedersen, Analysis Now, Springer-Verlag, N.Y. 1989.
5. W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1973.
Some problems, hints and examples will be provided on my webpage’s section devoted for this course (section under construction as on 21. 05. 2013)

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1) K. Rudol, Extensions of the Foias – Mlak spectral mapping theorem, Univ. Iagell. Acta
Math. (Zeszyty Naukowe UJ) 34, (1997), 101-111.

2) K. Rudol, Some results related to Beurling’s theorem. Univ. Iagell. Acta Math.
(Zeszyty Naukowe UJ) 38 (2000) Fasc. 38, 290-298.

3) K. Rudol, Corona theorem and isometries Opuscula Math.24 (2004).

4) Spectra of subnormal pairs, Opuscula Math. 27, (2007), 301-304.

5) Z.Ambrozinski, K. Rudol, Matrices de ned by frames, Opuscula Math. 29,
(2009), 365-375.

6) K. Rudol, Matrices related to some Fock space operators, Opuscula Math. 31, (2011),
289-296

7) M.Kosiek, K. Rudol, Dual algebras and A-measures, Journal of function spaces.

Informacje dodatkowe:

Brak