Moduł oferowany także w ramach programów studiów:
Informacje ogólne:
Nazwa:
Teoria Dystrybucji (E)
Tok studiów:
2019/2020
Kod:
AMAT-2-013-MI-s
Wydział:
Matematyki Stosowanej
Poziom studiów:
Studia II stopnia
Specjalność:
Matematyka w informatyce
Kierunek:
Matematyka
Semestr:
0
Profil:
Ogólnoakademicki (A)
Język wykładowy:
Polski
Forma studiów:
Stacjonarne
Strona www:
 
Prowadzący moduł:
dr Golenia Jolanta (golenia@agh.edu.pl)
Treści programowe zapewniające uzyskanie efektów uczenia się dla modułu zajęć

Uogólnienia pojęcia funkcji. Przykłady fizyczne wymagające takiego uogólnienia. Działania na dystrybucjach. Zastosowania. Przestrzenie dystrybucji. Transformata Fouriera dystrybucji. Sploty.

Opis efektów uczenia się dla modułu zajęć
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Powiązania z KEU Sposób weryfikacji i oceny efektów uczenia się osiągniętych przez studenta w ramach poszczególnych form zajęć i dla całego modułu zajęć
Wiedza: zna i rozumie
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii dystrybucji (zbieżność w przestrzeni dystrybucji, działania, ich własności, dystrybucje temperowane, transformacja Fouriera) MAT2A_W05, MAT2A_W04, MAT2A_W07, MAT2A_W06 Aktywność na zajęciach,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna,
Egzamin
M_W002 zna przykłady zastosowań teorii dystrybucji w teorii równań różniczkowych MAT2A_W07, MAT2A_W06 Aktywność na zajęciach,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna,
Egzamin
M_W003 zna potrzebę uogólnienia pojęcia klasycznej funkcji i zna przykłady fizyczne wymagające takiego uogólnienia MAT2A_W07 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Umiejętności: potrafi
M_U001 potrafi wykonywać podstawowe działania na dystrybucjach, umie wykorzystać poznaną teorię w konkretnych zastosowaniach MAT2A_U16 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki w teorii dystrybucji MAT2A_U04 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Kompetencje społeczne: jest gotów do
M_K001 rozumie potrzebę pogłębiania swojej wiedzy, docenia pracę w grupie, umie dobrze formułować pytania MAT2A_K03, MAT2A_K01 Aktywność na zajęciach,
Egzamin,
Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Liczba godzin zajęć w ramach poszczególnych form zajęć:
SUMA (godz.)
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
60 30 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matryca kierunkowych efektów uczenia się w odniesieniu do form zajęć i sposobu zaliczenia, które pozwalają na ich uzyskanie
Kod MEU Student, który zaliczył moduł zajęć zna i rozumie/potrafi/jest gotów do Forma zajęć dydaktycznych
Wykład
Ćwicz. aud
Ćwicz. lab
Ćw. proj.
Konw.
Zaj. sem.
Zaj. prakt
Zaj. terenowe
Zaj. warsztatowe
Prace kontr. przejść.
Lektorat
Wiedza
M_W001 zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii dystrybucji (zbieżność w przestrzeni dystrybucji, działania, ich własności, dystrybucje temperowane, transformacja Fouriera) + + - - - - - - - - -
M_W002 zna przykłady zastosowań teorii dystrybucji w teorii równań różniczkowych + + - - - - - - - - -
M_W003 zna potrzebę uogólnienia pojęcia klasycznej funkcji i zna przykłady fizyczne wymagające takiego uogólnienia + + - - - - - - - - -
Umiejętności
M_U001 potrafi wykonywać podstawowe działania na dystrybucjach, umie wykorzystać poznaną teorię w konkretnych zastosowaniach + + - - - - - - - - -
M_U002 potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów matematyki w teorii dystrybucji + + - - - - - - - - -
Kompetencje społeczne
M_K001 rozumie potrzebę pogłębiania swojej wiedzy, docenia pracę w grupie, umie dobrze formułować pytania + + - - - - - - - - -
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta Obciążenie studenta
Sumaryczne obciążenie pracą studenta 150 godz
Punkty ECTS za moduł 6 ECTS
Udział w zajęciach dydaktycznych/praktyka 60 godz
Przygotowanie do zajęć 31 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć 52 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe 2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe 5 godz
Szczegółowe treści kształcenia w ramach poszczególnych form zajęć (szczegółowy program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład (30h):

1. Konieczność uogólnienia pojęcia funkcji klasycznych. Przykłady fizyczne wymagające takiego uogólnienia. Definicja rozwiązania uogólnionego równania różniczkowego. Związek między rozwiązaniem klasycznym i uogólnionym.

2. Funkcje gładkie i funkcje o zwartych nośnikach. Przestrzeń funkcji próbnych D, topologia w tej przestrzeni. Działania w przestrzeni funkcji próbnych.

3. Przestrzeń dystrybucji D’. Przykłady dystrybucji. Dystrybucje regularne i syngularne. Delta Diraca jako przykład dystrybucji syngularnej. Równość dystrybucji.

4. Działania na dystrybucjach: zamiana zmiennych, mnożenie dystrybucji przez funkcję gładką. Różniczkowanie dystrybucji, własności różniczkowania, związki między pochodną klasyczną i pochodną uogólnioną.

5. Nośnik dystrybucji. Twierdzenie o rozkładzie jedności.

6. Równania różniczkowe w przestrzeni dystrybucji D’. Twierdzenie o rozwiązaniu równania f’(x)=0 w przestrzeni D’. Twierdzenie o rozwiązaniu układu równań różniczkowych liniowych o współczynnikach z przestrzeni funkcji gładkich. Definicja funkcji pierwotnej.

7. Pewne równanie algebraiczne w przestrzeni D’ i jego zastosowania do równań różniczkowych w przestrzeni D’.

8. Rozwiązanie podstawowe operatorów różniczkowych liniowych. Przykłady rozwiązań podstawowych. Zastosowania w teorii równań różniczkowych.

9. Definicja iloczynu tensorowego i jego własności.

10. Splot dystrybucji, problem istnienia. Przykłady dystrybucji, dla których splot jest dobrze określony.

11. Własności splotu, różniczkowanie splotu, zastosowanie do równań różniczkowych.

12. Przestrzeń Schwartza S, własności. Działania oraz topologia w tej przestrzeni.

13. Przestrzeń dystrybucji temperowanych S’. Przykłady dystrybucji temperowanych. Działania w przestrzeni S’. Topologia w tej przestrzeni.

14. Transformacja Fouriera w przestrzeni Schwartza S i przestrzeni dystrybucji temperowanych S’. Własności transformacji Fouriera. Przykłady transformat. Uwagi o zastosowaniach w teorii równań różniczkowych.

Ćwiczenia audytoryjne (30h):
Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładu

Rozwiązywanie problemów teoretycznych i zadań praktycznych dotyczących treści przekazywanych na kolejnych wykładach.

Pozostałe informacje
Metody i techniki kształcenia:
  • Wykład: Wykład jest klasycznym wykładem tablicowym. Mile widziana aktywność studentów podczas wykładu - np. zadawanie pytań wykładowcy.
  • Ćwiczenia audytoryjne: Podczas zajęć audytoryjnych studenci na tablicy rozwiązują zadane wcześniej problemy. Prowadzący na bieżąco dokonuje stosowanych wyjaśnień i moderuje dyskusję z grupą nad danym problemem.
Warunki i sposób zaliczenia poszczególnych form zajęć, w tym zasady zaliczeń poprawkowych, a także warunki dopuszczenia do egzaminu:

W przypadku braku zaliczenia z ćwiczeń w terminie podstawowym (przed rozpoczęciem sesji egzaminacyjnej) student ma dwa zaliczenia poprawkowe w formie pisemnej, które odbędą się w terminie i formie ogłoszonej przez prowadzącego zajęcia.

Zasady udziału w zajęciach:
  • Wykład:
    – Obecność obowiązkowa: Nie
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci uczestniczą w zajęciach poznając kolejne treści nauczania zgodnie z syllabusem przedmiotu. Studenci winni na bieżąco zadawać pytania i wyjaśniać wątpliwości. Rejestracja audiowizualna wykładu wymaga zgody prowadzącego.
  • Ćwiczenia audytoryjne:
    – Obecność obowiązkowa: Tak
    – Zasady udziału w zajęciach: Studenci przystępując do ćwiczeń są zobowiązani do przygotowania się w zakresie wskazanym każdorazowo przez prowadzącego (np. w formie zestawów zadań). Ocena pracy studenta może bazować na wypowiedziach ustnych lub pisemnych w formie kolokwium, co zgodnie z regulaminem studiów AGH przekłada się na ocenę końcową z tej formy zajęć.
Sposób obliczania oceny końcowej:

Ocena końcowa jest średnią ocen: z zaliczenia ćwiczeń oraz z egzaminu.

Sposób i tryb wyrównywania zaległości powstałych wskutek nieobecności studenta na zajęciach:

Student powinien zgłosić się do prowadzącego w celu ustalenia indywidualnego sposobu nadrobienia zaległości.

Wymagania wstępne i dodatkowe, z uwzględnieniem sekwencyjności modułów :

Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.

Zalecana literatura i pomoce naukowe:

1) V.S. Vladimirov, Uravnienija Matiematicieskoj Fiziki, Nauka, Moskwa 1970.

2) V.A. Vladimirov, Wstęp do teorii dystrybucji (skrypt), WMS AGH, Kraków 2007.

3) J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.

Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu:

1) Blackmore, D.; Golenia, J.; Prykarpatsky, A.K.; Prykarpatsky, Ya.A.;
Invariant measures for discrete dynamical systems and ergodic properties of generalized Boole-type transformations, Ukr. Math. J. 65, No. 1, 47-63 (2013) and Ukr. Mat. Zh. 65, No. 1, 44-57 (2013).

2) Prykarpatsky, Yarema A.; Blackmore, Denis; Golenia, Jolanta; Prykarpatsky, Anatoliy K.;
A vertex operator representation of solutions to the Gurevich-Zybin hydrodynamical equation;
Opusc. Math. 33, No. 1, 139-149 (2013).

3) Blackmore, Denis; Prykarpatsky, Yarema; Golenia, Jolanta; Prykarpatsky, Anatoliy;
The AKNS hierarchy and the Gurevich-Zubin dynamical system integrability revisited;
Mat. Visn. Nauk. Tov. Im. Shevchenka 8, 258-282 (2011).

4) Golenia, Jolanta; Pavlov, Maxim V.; Popowicz, Ziemowit; Prykarpatsky, Anatoliy K.;
On a nonlocal Ostrovsky-Whitham type dynamical system, its Riemann type inhomogeneous regularizations and their integrability; SIGMA, Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 6, Paper 002, 13 p., electronic only (2010).

5) Prykarpatsky, A.K.; Golenia, J.; Bogolubov, N.N. jun.; Taneri, U.
Introductory background to modern quantum mathematics with application to nonlinear dynamical systems; Begehr, H. G. W. (ed.) et al., Further progress in analysis. Proceedings of the 6th international ISAAC congress, Ankara, Turkey, August 13–18, 2007. Hackensack, NJ: World Scientific (ISBN 978-981-283-732-5/hbk). 760-779 (2009).

6) Golenia, Jolanta; Prykarpatsky, Yarema A.; Wachnicki, Eugeniusz;
The Cartan-Monge geometric approach to the generalized characteristics method and its application to the heat equation u t -u xx =0;
Opusc. Math. 29, No. 1, 27-39 (2009).

7) Bogolyubov, N.N.jun.; Golenia, J.; Prykarpatsky, A.K.; Taneri, U.
Quantum mathematics: backgrounds and some applications to nonlinear dynamical systems;
Nonlinear Oscil., N.Y. 11, No. 1, 4-17 (2008) and Nelinijni Kolyvannya 11, No. 1, 7-20 (2008).

8) Prykarpatsky, Anatoliy K.; Bogoliubov, Nikolai N. jun.; Golenia, Jolanta; Taneri, Ufuk
Introductive backgrounds to modern quantum mathematics with application to nonlinear dynamical systems; Int. J. Theor. Phys. 47, No. 11, 2882-2897 (2008).

9) Prykarpatsky, Anatoliy K.; Bogoliubov, Nikolai N. jun.; Golenia, Jolanta
A symplectic generalization of the Peradzyński helicity theorem and some applications;
Int. J. Theor. Phys. 47, No. 7, 1919-1928 (2008).

10) Golenia, J.; Hentosh, O.Ye.; Prykarpatsky, A.K.
Integrable three-dimensional coupled nonlinear dynamical systems related to centrally extended operator Lie algebras and their Lax type three-linearization;
Cent. Eur. J. Math. 5, No. 1, 84-104 (2007).

Informacje dodatkowe:

Brak